Как решить уравнения Максвелла для Витка с током

[kda17]

Исходные данные: По единственному круглому витку течет постоянный ток.
Цель: Определить индукцию магнитного поля в каждой точке пространства.

Известно что: Индукцию магнитного поля легко найти используя закон Био-Савара-Лапласа. Аналитическое решение, правда, если не ошибаюсь, существует только для индукции на оси витка, но это не важно - ведь можно и численными методами посчитать.

Интересует: Как получить результат, применяя НЕ закон Био-Савара, а уравнения Максвелла, ведь, если не ошибаюсь, последние являются наиболее общим описанием процессов в электродинамике.

Принцип решения для бесконечного прямого провода, соленоида и тора известен - здесь вроде бы так же просто не получится.

[Ms-dos4]

kda17
Закон Био-Савара является следствием уравнений Максвелла (при определённых условиях, конечно).
P.S.Решение вне оси также считается аналитически, но не в элементарных функциях.

[lel0lel]

Записать уравнение для векторного потенциала $\vec{A}$. Возможно, что решать будет удобно в цилиндрических координатах (в силу геометрии тока). Затем $\vec{H}=\operatorname{rot}\vec{A}$.

[Ms-dos4]

lel0lel
В стационарных полях, выражение для векторного потенциала (в случае $\[\mu = {\text{const}}\]$), получающееся из уравнений Максвелла, после взятия ротора и даёт закон Био-Савара. Поэтому сказанное "использовать уравнения Максвелла, а не закон Био-Савара" лишено смысла.

[Metford]

Ms-dos4 в сообщении #1232886 писал(а):

Поэтому сказанное "использовать уравнения Максвелла, а не закон Био-Савара" лишено смысла.

Ну, не знаю. Я, например, сразу подумал, что речь идёт именно о решении уравнения Пуассона для векторного потенциала. Вот хочется человеку поискать приключений...
Только приключения какие-то неинтересные. Единственное, что нужно аккуратно сделать - это краевое условие записать, а дальше, скорее всего, довольно нудные выкладки. Которые к тому же не приведут, по всей видимости, к элементарным функциям в общем случае.

[svv]

К. Шимони. Теоретическая электротехника.
§48. Примеры определения векторного потенциала.
Пример 3 (векторный потенциал кольцевого тока) (стр.280)

Возможно, будет интересен также следующий параграф. И вообще, книга ценная.

[Ms-dos4]

Metford
Ну так я к тому, что если $\[\mu = {\text{const}}\]$ (физически, конечно, $\[\mu = 1\]$), то решение уравнения Пуссона $\[{\nabla ^2}\vec A = - \frac{{4\pi }}{c}\vec j\]$ формально и называется формулой Био-Савара (можно взять ротор и получить в явном виде напряжённость). И в таком случае никаких вопросов к граничным условиям нет, потому, что их просто нет. Если же у вас $\[\mu \]$ неодинаково во всём пространстве (что довольно специфичный случай, согласитесь), то да, конечно, так просто всё не получится. Однако данной задаче, как я понял, проводник считается тонким, поэтому таких вопросов вообще не возникает.

[Metford]

Ms-dos4
Вы, конечно, правы в том, откуда закон Био-Савара-Лапласа берётся. Просто существует категория задач, в которых сказано что-то вроде "а вы вот обойдитесь без взятия этого интеграла, а решите уравнение - хоть разделением переменных, хоть как". Таких задач у Алексеева или Батыгина-Топтыгина немало. Тут уже вопрос не в том, как проще решать, а чего автор задачи хочет. Так что я с Вами и не спорил особенно...

[kda17]

Под формулой Био-Савара подразумеваю:

$$\vec{dB}=\frac{\mu_0\mu}{4\pi}\cdot\frac{\vec{dI}\times\vec{r}}{r^3}$$

где $\vec{dI}$ - определяется расположением и длиной элемента проводника и величиной тока в нем, $\vec{r}$ - задает расположение точки наблюдения.

Из уравнений Максвелла, вероятно, надо использовать:

$$\nabla\times\vec{H}=\vec{j}$$

и

$$\left(\nabla\cdot\vec{B}\right)=0$$

(в первой формуле векторное, во второй - скалярное произведение).

Про систему координат понятно. Но что делать с получаемым дифф уравнением? Интегрировать? По контуру/по площадке? Там ведь поле не симметрично относительно центра витка - наверно из-за этого и не представляю с какого конца взяться.

P.S. С векторными потенциалами по правде говоря никогда дела не имел - только с E, D, B и H - по книжке Савельева когда-то учился. Книжку К. Шимони нашел, правда, не уверен, что соответствую ее уровню...

[Ms-dos4]

kda17
Вообще говоря, формула Био-Савара это ($\[\mu = 1\]$) это

$$\[\vec H = \frac{1}{c}\int {\frac{{[\vec j,\vec R]}}{{{R^3}}}} dV\]$$

или, иногда, ей называют выражение для векторного потенцила

$$\[\vec A = \frac{1}{c}\int {\frac{{\vec j}}{R}} dV\]$$

В случае тонкого проводника получается ровно то, что написалы вы - $$\[\vec A = \frac{{\mu I}}{c}\int {\frac{{d\vec l}}{R}} \]$ и

$$\[\vec B = \frac{{\mu I}}{c}\int {\frac{{[d\vec l,\vec R]}}{{{R^3}}}} \]$$

(тут и предполагать $\[\mu = 1\]$ не нужно).

Эти формулы легко получаются из двух уравнений Максвелла

$$\[\left\{ \begin{gathered} \nabla \vec B = 0 \hfill \\ [\nabla ,\vec H] = \frac{{4\pi }}{c}\vec j \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

введение векторного потенциала $\[\vec B = [\nabla ,\vec A]\]$ и калибровки $\[\nabla \vec A = 0\]$. Т.к. $\[\vec B = \mu \vec H\]$, подставляя во второе уравнение системы, в случае $\[\mu = {\text{const}}\]$ получим уравнение Пуассона на векторный потенциал.

$$\[{\nabla ^2}\vec A = - \frac{{4\pi }}{c}\mu \vec j\]$$

Его решением и является вышеприведённое выражение для векторного потенциала.

[rustot]

kda17 в сообщении #1232881 писал(а):

Как получить результат, применяя НЕ закон Био-Савара, а уравнения Максвелла, ведь, если не ошибаюсь, последние являются наиболее общим описанием процессов в электродинамике.

Из уравнения максвелла вы получаете простые производные магнитного поля для рассматриваемого случая электромагнитного поля с нулевыми производными по времени и отсутствия сред с намагниченностью

$\nabla\vec{B} = 0$
$\nabla\times\vec{B} = \frac{4\pi}{c}\vec{j}$

Из них вообще говоря нельзя восстановить поле, поскольку множество разных полей имеют те же самые производные. Зато можно узнать на сколько изменяется поле этими производными. То есть найти такое поле, каким бы оно стало, если бы без витка с током оно было везде нулевым. Либо прибавку к нему если нулевым оно не было. То есть вот было в этом объеме какое то поле с нулевыми производными, потом появился виток с током и поле изменилось НА найденное значение.

А для этого можно воспользоваться разложением Гельмгольца $\vec{K} = -\nabla\mathcal{G}(\nabla\vec{K}) +\nabla\times\mathcal{G}(\nabla\times\vec{K}) + \vec{C}$, где $\vec{C}$ это самое произвольно "фоновое" поле с нулевыми производными, "константа интегрирования"

Для $\vec{B}$ первое слагаемое нулевое, третье нам неинтересно и остается второе:

$\vec{B} = \nabla\times\mathcal{G}(\frac{4\pi}{c}\vec{j}) = \nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int \frac{\frac{4\pi}{c}\vec{j}}{r} dV) = \frac{1}{c}\int (\nabla\times\frac{\vec{j}}{r}) dV$

$\nabla\times(\vec{j}\cdot \frac{1}{r}) = (\nabla\frac{1}{r})\times \vec{j} = ((\frac{d}{dr}\frac{1}{r})\nabla r)\times\vec{j} = (-\frac{1}{r^2}\cdot\frac{\vec{r}}{r})\times\vec{j} = \frac{\vec{j}\times\vec{r}}{r^3}$

$\vec{B} = \frac{1}{c}\int \frac{\vec{j}\times\vec{r}}{r^3} dV$

То есть не получится у нас "из уравнений Максвелла" но при этом "без Био-Савара-Лапласа", мы неизбежно именно его из уравнений Максвелла и выведем, рассматривая именно тот частный случай, для которого был записан этот частный закон.

[Munin]

rustot
Конспективно до непонятности :-)

[rustot]

Ну я не знаю что тут подробнее расписывать.

Если известна производная $\nabla\vec{K}$ то мы не можем по ней восстановить поле $\vec{K}$, но можем построить поле $\vec{N}$ с такой же производной $\nabla\vec{N} = \nabla\vec{K}$, убывающее на бесконечности и стремящееся к нулю при стремлении производной к нулю

$\vec{N} = -\nabla\mathcal{G}(\nabla\vec{K})$, где $\mathcal{G}(n) = \frac{1}{4\pi}\int \frac{n(\vec{r})}{r} dV_r$ - "ньютониан"

Аналогично с производной $\nabla\times\vec{K}$, мы можем построить поле $\vec{M}$ с такой же производной $\nabla\times\vec{M} = \nabla\times\vec{K}$

$\vec{M} = \nabla\times\mathcal{G}(\nabla\times\vec{K})$

И теперь если мы сложим поля $\vec{N}+\vec{M}$ то мы и получим поле $\vec{K}$ за исключением случая если поле $\vec{K}$ имело дополнительную составляющую с нулевыми производными. В каком случае может быть такая составляюшая? Ну оно может быть и "просто так", но применительно к электромагнитному полю это чисто формальная возможность, потому-что такая добавка была бы неубывающей на бесконечности, нефизичной, ее разом на всю вселенную добавлять бы пришлось. Другое дело что это составляющая может иметь ненулевые производные, но ненулевые они за пределами рассматриваемой в нашей задачи области пространства, для нашей области пространства это будет просто "добавка извне" про которую мы ничего не знаем и рассчитать не можем, знаем только что в пределах нашей области пространства у нее нулевые производные.

И вот если это проделать с производными от магнитного поля, полученными из уравнений максвелла для случая статичного поля созданного током, то и получим уравнение Био-Савара-Лапласа

[kda17]

rustot писал(а):

То есть не получится у нас "из уравнений Максвелла" но при этом "без Био-Савара-Лапласа", мы неизбежно именно его из уравнений Максвелла и выведем

Вас понял. Цель - вручную осуществить этот вывод. Только вот предлагаемый математический аппарат пугает(

Ms-dos4 писал(а):

Вообще говоря, формула Био-Савара это ($\[\mu = 1\]$) это

$$\[\vec H = \frac{1}{c}\int {\frac{{[\vec j,\vec R]}}{{{R^3}}}} dV\]$$

Да, думаю, что вот именно ее и хочу получить.

Ms-dos4 писал(а):

Эти формулы легко получаются из двух уравнений Максвелла

$$\[\left\{ \begin{gathered} \nabla \vec B = 0 \hfill \\ [\nabla ,\vec H] = \frac{{4\pi }}{c}\vec j \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

И при этом очень хотелось бы обойтись без векторных потенциалов, поэтому, записываю эти уравнения так:

$$\[\left\{ \begin{gathered} \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z} = \frac{{4\pi }}{c} j_x \\ -\frac{\partial H_z}{\partial x} + \frac{\partial H_x}{\partial z} = \frac{{4\pi }}{c} j_y \\ \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} = \frac{{4\pi }}{c} j_z \end{gathered} \right.\]$$

Только вот как теперь это преобразовать, чтобы можно было решить? (Диффуры решаю, правда с частными производными решал только примитивные.) И вообще к какому виду надо стараться прийти?

[Metford]

kda17 в сообщении #1234701 писал(а):

И при этом очень хотелось бы обойтись без векторных потенциалов

За что Вы так не любите векторный потенциал? Он очень милый...
Удовлетворяет он стандартному уравнению Пуассона. Его Ms-dos4 уже приводил раньше. А у вектора плотности тока в данном случае в подходящих координатах (цилиндрических) только одна компонента. Куда лучше-то? А вот в прямоугольных координатах всё гораздо хуже. Как и следует ожидать при попытке впихнуть круглое в квадратное.

kda17 в сообщении #1234701 писал(а):

Да, думаю, что вот именно ее и хочу получить.

Вывод закона Био-Савара-Лапласа из уравнений Максвелла в любом хорошем учебнике есть.