Уравнение Шрёдингера и эффективная масса

[Ascold]

Я бесконечно далёк от физики твёрдого тела, но люди спрашивают вроде бы простую вещь, которая непонятна.
Есть электрон в некотором поле $U$, вводится стандартно эффективная масса

$$m_e=\hbar^2\left( \frac{d^2U}{dk^2}\right)^{-1}$$

и решается стационарное уравнение Шрёдингера:

$$-\frac{\hbar^2}{2}\nabla\cdot\left( \frac{1}{m_e(x)}\nabla \psi(x)\right)+V_e(x)\psi(x)=E\psi(x).$$

А как его получить, это уравнение, как увидеть почему эффективная масса стоит не слева в знаменателе, как в обычном УШ, а после левого оператора $\nabla $ ?

[madschumacher]

Ascold в сообщении #1232083 писал(а):

А как его получить, это уравнение, как увидеть почему эффективная масса стоит не слева в знаменателе, как в обычном УШ, а после левого оператора $\nabla$ ?

Если сделать так, то кинетическая энергия не окажется самосопряжённым оператором.

(МНОГАБУКАФФ)

А давайте мы попробуем сделать так, как Вы предполагаете.
Как известно, Гамильтониан -- самосопряжённый оператор, поэтому покажем, что кинетическая энергия вида
$\hat{T}=-\frac{\hbar^2}{2 m(x)} \nabla^2 $ -- тоже самосопряжённый оператор, по известной схеме:

$ \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \hat{T} g dx }_{\langle f, \hat{T} g \rangle} = \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} g (\hat{T}f^*) dx }_{\langle \hat{T} f, g \rangle} $.

$ \langle f, \hat{T} g \rangle = - \frac{\hbar^2}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \frac{1}{m(x)} \underbrace{ g'' dx }_{dg'} = - \frac{\hbar^2}{2} \left( \underbrace{ f^* \frac{1}{m(x)} g' |_{-\infty}^{+\infty} }_{=0} - \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{f^*}{m(x)}\right)' g' dx \right) = \ldots = - \frac{\hbar^2}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \underbrace{ \left( \frac{f^*}{m(x)}\right)'' }_{\underbrace{\frac{(f^*)''}{m(x)}}_{\propto \hat{T}f^*} + \underbrace{2(f^*)'(\frac{1}{m(x)})' + f^*(\frac{1}{m(x)})'' }_{=\text{WTF?!}}}g dx \neq \langle \hat{T} f, g \rangle$

А если взять $\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2} \nabla \frac{1}{m(x)} \nabla$, то такой фигни не получится, и кинетическая энергия таки окажется самосопряжённым оператором.

[Ascold]

madschumacher в сообщении #1232090 писал(а):

Если сделать так, то кинетическая энергия не окажется самосопряжённым оператором.

Благодарю за столь исчерпывающий ответ про то, почему эффективную массу нельзя поставить слева, мне, к сожалению, не пришло на ум проверить оператор кин. энергии на эрмитовость.
Ещё буду признателен, если кто-нибудь укажет литературу, в которой указанное выше уравнение честно выведено, т.е. доказывается, что с использованием эффективной массы как здесь https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1 ... 1%81%D0%B0 гамильтониан выглядит именно так, а не иначе. Я гуглил one band Schrodinger equation in effective mass approximation и нашлось что-то не то. Можно просто сказать, конечно, что раз перешли к как бы электрону в вакууме, но с массой $m_{eff}$, то и УШ ожидаемо будет иметь вид "как настоящее", а куда массу воткнуть - вопрос вещественности энергии, но как-то это неаккуратно.

(Оффтоп)

И кстати - как на этом форуме делать умлауты - {\''o} даёт ${\''o}$, а не $o$ с двумя точками?

[Munin]

Если вы хотите написать Schrödinger, то достаточно скопипастить из википедии.

[Cos(x-pi/2)]

Это не выводится "на пальцах". Это не уравнение Шредингера, а шредингеро-подобное уравнение для "огибающей" функции в методе, известном как "приближение огибающих функций". Встречается в расчётах гетероструктур. Часто цитируемый учебник по этой теме:

G. Bastard. "Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures"

Cм. там главу 3. Такое уравнение там называется моделью Ben Daniel-Duke. По-видимому, "ноги растут" у неё отсюда:
D. J. BenDaniel and C. B. Duke
Phys. Rev. 152, 683 (1966)

madschumacher уже пояснил, почему зависящая от координаты эффективная масса пишется под знаком оператора дифференцирования: чтобы иметь самосопряжённый "гамильтониан" для огибающей функции. Это самое прямое и простое пояснение.