Дроби меньше единицы в гипероператорах

[kthxbye]

Разберем на примере тетрации $(a \uparrow \uparrow b)$. Если $0,06593 \leqslant a \leqslant 1,444667861$, то $\lim\limits_{b\to\infty}^{a} (a \uparrow \uparrow b)=k$, где $k$ - единственная (для каждого $a$) константа, такая, что $0,367885 \leqslant k \leqslant$e$. Если $a>1,444667861$, то $\lim\limits_{b\to\infty}^{a} (a \uparrow \uparrow b)=\infty$; если $a<0,06593$, то $\lim\limits_{b\to\infty}^{a} (a \uparrow \uparrow b)=h$, где $h$ - чередующаяся константа, такая, что $\lim\limits_{b\to\infty}^{a} h_{1}=1$ и $\lim\limits_{b\to\infty}^{a} h_{2}=0$. Что это за константы ($0,06593$ и $1,444667861$) и почему вторая соответствует $e$? Как выполнять операцию, если $b<1$ или не целое? Справедливо ли выражение $2 \uparrow \uparrow \pi=2^{2^{2^{\pi-3}}}$?

[StaticZero]

Что означает букевка $a$ над знаком предела?

[arseniiv]

kthxbye, пофиксите, пожалуйста, лишние $ в формулах, пока возможно. Один в начале и один в конце.

[kthxbye]

StaticZero, с пределами не дружу, прошу простить. Что там должно быть?

arseniiv, виновники понесли заслуженное наказание.

[Slav-27]

Речь, надо понимать, о следующей задаче:

Рассмотрим последовательность $x, x^x, x^{x^x}, x^{x^{x^x}} \dots$ ($x>0$). Определить, для каких $x$ она сходится.

Хорошая задача на пределы.
Вы совершенно верно заметили (с помощью численных экспериментов?), что есть постоянные $a$ и $b$, такие что при $a\leqslant x \leqslant b$ она сходится, а при остальных $x$ -- расходится. Попробуйте теперь доказать.

(Могу вам даже подсказать, что $a=(1/e)^e$, а $b=e^{1/e}$.)

kthxbye в сообщении #1231537 писал(а):

Как выполнять операцию, если $b<1$ или не целое?

Тут дело плохо, в том смысле что очевидного или хотя бы общепринятого кандидата на роль "тетрации с нецелым показателем" нету.

Поэтому вопрос

kthxbye в сообщении #1231537 писал(а):

Справедливо ли выражение $2\uparrow\uparrow\pi=2^{2^{2^{\pi-3}}}$

бессмысленный, пока вы не уточните, какое именно число именно вы обозначаете $2\uparrow\uparrow\pi$.

[StaticZero]

(Оффтоп)

Ну, обычно пишут просто $\lim \limits_{x\to\infty}$, а у вас ещё над знаком $\lim$ висит буква $a$.