Приливы и отливы. ФЛФ задача 7.11 к вып. 1

[wrest]

Uchitel'_istorii в сообщении #1230499 писал(а):

Гравиметр считает и результирующее ускорение. Мне кажется, недостаточно просто подсчитать поле Луны на ближней и дальней сторонах Земли.

Не знаю, я вращение Земли вокруг оси, обращение Земли вокруг центра масс Луна-Земля, обращение вокруг Солнца, наклон оси вращение Земли к эклиптике и прочая... в расчет не принимал.

Ибо "приливные силы" это конкретные силы, возникающие в неоднородном гравитационном поле. Они "вытягивают" тело в направлении центра притяжения и сплющивают поперек этого направления.

-- 29.06.2017, 15:27 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1230499 писал(а):

Но нигде не сказано , что тело, попавшее в поле, ведет себя , как точка. Фейнман это дает в гл. 13.

Если поле однородное, то ведёт. А если неоднородное -- то нет.

-- 29.06.2017, 15:50 --

Uchitel'_istorii
Кстати, а о какой центробежной силе вы все время упоминаете? Где её центр и что от неё бежит?

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1230499 писал(а):

Это я пытался доказать, что при такой замене сумма всех гравитационных сил не изменится

Странный способ доказательства. В общем, не доказали.

Uchitel'_istorii в сообщении #1230499 писал(а):

По тексту неясно, почему суммарная центробежная сила и суммарная гравитационная сила сбалансированы в центре Земли.

В общем, никакой центробежной силы нет. Научитесь решать задачу в ИСО.

Uchitel'_istorii в сообщении #1230499 писал(а):

По моим построениям тоже получается

Не делайте построений (тем более, что вы их не умеете делать). Делайте расчёты. Их проще проверять и найти ошибку.

[wrest]

Uchitel'_istorii
Я глянул (наконец-то) саму задачу 7.11.

Uchitel'_istorii в сообщении #1230499 писал(а):

Мне кажется, недостаточно просто подсчитать поле Луны на ближней и дальней сторонах Земли.

Достаточно. То вращение, о котором вы, вероятно, говорите, -- это месячное обращение Луны вокруг Земли. А вам надо посчитать суточный ход ускорения свободного падения. Для этого расчета вращение Луны вокруг Земли несущественно.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Не делайте построений (тем более, что вы их не умеете делать). Делайте расчёты. Их проще проверять и найти ошибку.

Я без построений не могу начать расчеты.

Munin в сообщении #1230512 писал(а):

Цитата:

В общем, никакой центробежной силы нет. Научитесь решать задачу в ИСО.

Возьмем ИСО XY , связанную с барицентром системы Земля - Луна: http://dlm3.meta.ua/pic/0/140/194/T1rY1toivR.PNG
(Луна - далеко справа.)
На тело в т.A действуют всего 2 силы: сила притяжения Земли и сила притяжения Луны. Результирующее ускорение = a_{\text{body,A}} = 9.8 + G\tfrac{M_{\text{moon}}}{(R_{\text{earth-moon}}+R_{\text{earth}})^2} = 9.8000321 \text{m/sec}^2}
Рабочее тело гравиметра в точке A упадет за 1 сек на s_{\text{body,A}} = 0.5a_{\text{body,A}}=4.900016 \text{ m}.
В то же время Земля упадет на s_{\text{earth,A}} = 29.8 ^2 / 2 \cdot (4800+6400)\cdot 10^3 = 0,000079 \text{ m}.
Ускорение вычисленное гравиметром:g_A = 2 (s_{\text{body,A}} - s_{\text{earth,A}})= 9.799874 \text{ m/sec}^2}.

Аналогично рассуждая, находим для точек B, C:
a_{\text{body,B}} = 9.8 \text{m/sec}^2};
s_{\text{body,B}} = 12.8 + 0.5a_{\text{body,B}}=17.7 \text{ m};
s_{\text{earth,B}} = 12.8+ 0.8 \cdot 21.3 ^2 / 2 \cdot (\sqrt{4800^2+6400^2})\cdot 10^3 = 12.8000238 \text{ m}
g_A = 2 (s_{\text{body,B}} - s_{\text{earth,B}})= 9.7999524 \text{ m/sec}^2}

a_{\text{body,C}} = 9,7999657 \text{m/sec}^2};
s_{\text{body,C}} = 0.5a_{\text{body,C}}=4.89998 \text{ m};
s_{\text{earth,C}} = 4.26 ^2 / 2 \cdot 1600 \cdot 10^3 = 0.00000567 \text{ m}
g_A = 2 (s_{\text{body,C}} - s_{\text{earth,C}})= 9.7999487 \text{ m/sec}^2}

В итоге ничего не получилось. Возник вопрос: правильно ли вычислены скорости? Т.е. падает ли Земля как целое (то о чем писал Роджерс, что все точки описывают одинаковые окружности радиуса 4800 км) или проворачивается во время падения .

Цитата:

Uchitel'_istorii
Кстати, а о какой центробежной силе вы все время упоминаете? Где её центр и что от неё бежит?

Вращение Земли вокруг барицентра.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1230556 писал(а):

Я без построений не могу начать расчеты.

Учитесь. Все умеют.

-- 29.06.2017 20:01:24 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1230556 писал(а):

В то же время Земля упадет на $s_{\text{earth,A}} = 29.8 ^2 / 2 \cdot (4800+6400)\cdot 10^3 = 0,000079 \text{ m}$.

Откуда у вас взялись эти формулы? Из пальца высосали?

Сначала все вычисления в буквенном виде, потом в самом конце подставляете числа. Этому все школьники учатся.

[wrest]

Uchitel'_istorii в сообщении #1230556 писал(а):

падает ли Земля как целое

Да, кроме океанов. На них приливы.

Uchitel'_istorii в сообщении #1230556 писал(а):

$9.7999487$

Очень трудно за этим следить, напишите в виде $9,8-x$, и притом $x$ в форме $D,DD\cdot 10^{-D}$ где $D$ - цифры.

-- 29.06.2017, 20:21 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1230556 писал(а):

Возьмем ИСО XY , связанную с барицентром системы Земля - Луна:

Ну лучше тут писать все-таки не ИСО а просто - СО.
Начало СО в барицентре, это ясно.
А что с осями - они куда направлены? Икс например постоянно направлен на Луну?

[Munin]

wrest в сообщении #1230566 писал(а):

Очень трудно за этим следить, напишите в виде $9,8-x$, и притом $x$ в форме $D,DD\cdot 10^{-D}$ где $D$ - цифры.

Согласен, но всё-таки сначала - в виде формул.

[wrest]

Uchitel'_istorii в сообщении #1230556 писал(а):

или проворачивается во время падения .

А, вот это я не заметил. Чтобы ответить нужно сперва спросить "относительно чего?" и/или "вокруг чего?"

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Откуда у вас взялись эти формулы? Из пальца высосали?

Из рисунка 7-4 (upd.) и подписи к нему: http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_07.html#Ch7-F4

Обозначения:
$a_{\text{body,A,x}}- проекция на ось X результирующего ускорения тела в т. A;
$v_{\text{body,A,x}}- проекция на ось X скорости тела в т. A;
$G - гравитационная постоянная;
$M_{\text{earth}} - масса Земли;
$M_{\text{moon}} - масса Луны;
$R_{\text{earth-moon}} - среднее расстояние между центрами Земли и Луны (предполагаем, что орбиты Земли и Луны вокруг барицентра - круговые);
$R_{\text{earth}} - средний радиус Земли (предполагаем, что Земля - шар);
$R_{\text{earth-barycenter}} - расстояние между центром Земли и барицентром системы Земля - Луна;
$\omega - угловая скорость системы Земля - Луна.
$s_{\text{body,A,x}} - проекция на ось X расстояния, проходимого телом в т. A за время $t ;
$s_{\text{earth,A,x}} - проекция на ось X расстояния, проходимого поверхностью Земли в т. A за время $t ;
$g_{\text{by gravimeter,A}} - измеренное гравиметром значение ускорения свободного падения в т. A.
Обозначения для других точек и других осей получаются заменой соотв. индексов.
Используется невращающаяся система отсчета XY с центром в барицентре системы Земля - Луна. За малый промежуток времени $t отклонением барицентра от прямого направления вследствие притяжения Солнцем пренебрегаем.

a_{\text{body,A,x}} = G\tfrac{M_{\text{earth}}}{{R_{\text{earth}}}^2} + G\tfrac{M_{\text{moon}}}{(R_{\text{earth-moon}}+R_{\text{earth}})^2};
a_{\text{body,A,y}} = 0;
v_{\text{body,A,x}} = 0;
v_{\text{body,A,y}} = - \omega^2 R_{\text{earth-barycenter}};
s_{\text{body,A,x}} = 0.5(a_{\text{body,A,x}})t^2;
s_{\text{earth,A,x}} = 0.5G\tfrac{M_{\text{moon}}}{(R_{\text{earth-moon}})^2} t^2;
g_{\text{by gravimeter,A}} = 2 (s_{\text{body,A, x}} - s_{\text{earth,A, x}}) / t^2.
По оси Y Земля, тело и камера гравиметра должны переместиться на одинаковое расстояние (в начальный момент времени Земля, гравиметр и тело - одно целое), поэтому в уравнение g_{\text{by gravimeter,A}} входят проекции на ось X .

a_{\text{body,B,x}} \approx G\tfrac{M_{\text{moon}}}{(R_{\text{earth-moon}})^2};
a_{\text{body,B,y}} \approx - G\tfrac{M_{\text{earth}}}{{R_{\text{earth}}}^2};
v_{\text{body,B,x}} = 0;
v_{\text{body,B,y}} = - \omega^2 R_{\text{earth-barycenter}};
s_{\text{body,B,y}} = 0.5(a_{\text{body,B,y}})t^2 + (v_{\text{body,B,y}}) t;
s_{\text{earth,B,y}} = (v_{\text{body,B,y}} ) t;
g_{\text{by gravimeter,B}} = 2 (s_{\text{body,B, y}} - s_{\text{earth,B, y}}) / t^2.

a_{\text{body,C,x}} = - G\tfrac{M_{\text{earth}}}{{R_{\text{earth}}}^2} + G\tfrac{M_{\text{moon}}}{(R_{\text{earth-moon}}-R_{\text{earth}})^2};
a_{\text{body,C,y}} = 0;
v_{\text{body,C,x}} = 0;
v_{\text{body,C,y}} = - \omega^2 R_{\text{earth-barycenter}};
s_{\text{body,C,x}} = 0.5(a_{\text{body,C,x}})t^2;
s_{\text{earth,C,x}} = 0.5G\tfrac{M_{\text{moon}}}{(R_{\text{earth-moon}})^2} t^2;
g_{\text{by gravimeter,C}} = 2 (s_{\text{body,C, x}} - s_{\text{earth,C, x}}) / t^2.

Для промежуточной точки поверхности Земли : g_{\text{by gravimeter,P}} = 2 \sqrt{(s_{\text{body,P, x}} - s_{\text{earth,P, x}})^2+ (s_{\text{body,P, y}} - s_{\text{earth,P, y}})^2 }/ t^2.

Возможно можно упростить формулы, пересчитав всё через среднее гравитационное ускорение Луны.

В решение не заглядывал, но скорее всего , это всё - не то, т.к. в тексте Фейнман поясняет через центробежное ускорение (официально мы это еще не прошли, поэтому он пишет в кавычках), а векторную алгебру Фейнман давал много позже.

wrest в сообщении #1230579 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1230556 писал(а):

или проворачивается во время падения .

А, вот это я не заметил. Чтобы ответить нужно сперва спросить "относительно чего?" и/или "вокруг чего?"

Имелось в виду проворачивание вокруг барицентра. Судя по всему, проворачивания нет, т.к. иначе ось Земли должна была бы прецессировать с периодом 27.32 дня, чего не наблюдается. Но почему она не прецессирует, аргументировать не могу.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1230607 писал(а):

Из рисунка 7-4: http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_07.html#Ch7-F4

Извините, на этом рисунке нет таких формул.

[DimaM]

wrest в сообщении #1230503 писал(а):

Если поле однородное, то ведёт. А если неоднородное -- то нет.

Еще Ньютон показал, что две сферически-симметричные массы взаимодействуют так же, как две точечные.
Так что вам следует как минимум уточнить ваше утверждение.

[Uchitel'_istorii]

Если разбить Землю на кубики массой 1 кг, то получается, что сумма по всем кубикам гравитационной силы Луны не одинакова для дальней и ближней к Луне половин Земли. Значит, средняя гравитационная сила должна быть не в центре Земли, а ближе к Луне (по моим подсчетам 106 км от центра Земли). Отсюда неясно, почему центростремительная сила при вращении каждого кубика по окружности 4800 км равна гравитационной силе Луны именно в центре Земли.

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1230645 писал(а):

Если разбить Землю на кубики массой 1 кг, то получается, что сумма по всем кубикам гравитационной силы Луны не одинакова для дальней и ближней к Луне половин Земли. Значит, средняя гравитационная сила должна быть не в центре Земли, а ближе к Луне (по моим подсчетам 106 км от центра Земли).

Надо, поди, на "половины" сферической поверхностью с центром в Луне резать.

Uchitel'_istorii в сообщении #1230645 писал(а):

Отсюда неясно, почему центростремительная сила при вращении каждого кубика по окружности 4800 км равна гравитационной силе Луны именно в центре Земли.

И еще раз напомню результат, полученный еще Ньютоном: однородная сфера взаимодействует с внешними объектами точно так же, как точечная масса, помещенная в центре.

[wrest]

(DimaM)

DimaM в сообщении #1230642 писал(а):

Так что вам следует как минимум уточнить ваше утверждение.

Это только запутает, кмк.
Уточняю. В неоднородном поле приливные силы могут деформировать тело, так что будет трудно сказать что оно "двигается как точка". Плюс насчет "поворачивается" -- ну и поворачиваться в неоднородном поле тело может, вот гантель например.

[wrest]

Uchitel'_istorii в сообщении #1230645 писал(а):

Значит, средняя гравитационная сила должна быть не в центре Земли, а ближе к Луне (по моим подсчетам 106 км от центра Земли

Ваш подсчёт неверный, к сожалению. В центральном гравитационном поле центр масс и центр тяжести шара совпадают. Для получения этого надо очень аккуратно все просуммировать. Земля не шар, но кажется поправка будет несущественной.