Почти одинаковые слагаемые

[Ktina]

Сколькими способами можно разбить число 2017 на почти одинаковые натуральные слагаемые?
Под почти одинаковыми подразумеваются слагаемые, попарно различающиеся не более чем на единичку. Порядок слагаемых не имеет значения.

[Ktina]

Может, условие слишком отягощённо сформулировано?
Попарно различающиеся не более чем на единичку - означает, что никакие два из слагаемых не отличаются более чем на 1. То есть, либо все слагаемые равны одному и тому же числу, либо каждое из слагаемых равно одному из двух чисел, одно из которых на 1 больше другого.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #1230414 писал(а):

Может, условие слишком отягощённо сформулировано?

Наоборот, условие вообще ничем не отягощено. Ведь слагаемых может быть любое число от 1 до 2017 включительно.

[wrest]

То есть, 2017 надо представить в виде $ap+b(p+1)=2017$ ($a$ и $p$ положительные целые, $b$ неотрицательное целое) и надо соответственно определить количество различающихся троек $a,b,p$
Для $p=1$ получаем $a+2b=2017$, тогда $a$ любое нечетное не большее $2017$ и таких троек $1009$ (то есть тройки $(1,1008,1);(3,1007,1);(5,1006,1)...(2017,0,1)$
Для $p=2$ получаем $2a+3b=2017$, тогда $a=2,5,8...,1007$ т.е. всего $336$ троек, $(2,671,2);(5,669,2);(8,667,2)...(1007,1,2)$
Для $p=3$ получаем 168 троек.
Для $p=4$ получаем 101 тройку.
Ну и так далее.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1230429 писал(а):

То есть, 2017 надо представить в виде $ap+b(p+1)=2017$ ($a$ и $p$ положительные целые, $b$ неотрицательное целое) и надо соответственно определить количество различающихся троек $a,b,p$
Для $p=1$ получаем $a+2b=2017$, тогда $a$ любое нечетное не большее $2017$ и таких троек $1009$ (то есть тройки $(1,1008,1);(3,1007,1);(5,1006,1)...(2017,0,1)$
Для $p=2$ получаем $2a+3b=2017$, тогда $a=2,5,8...,1007$ т.е. всего $336$ троек, $(2,671,2);(5,669,2);(8,667,2)...(1007,1,2)$
Для $p=3$ получаем 168 троек.
Для $p=4$ получаем 101 тройку.
Ну и так далее.

А если так:
Для $a+b=1$ получаем 1 тройку.
Для $a+b=2$ получаем 1 тройку.
Для $a+b=3$ получаем 1 тройку.
Ну и так далее.

[wrest]

TOTAL в сообщении #1230467 писал(а):

А если так:

Ну если тройки при этом будут разные все, то можно и так.

У меня получилось 2015 троек, т.е. 2017 можно представить в виде суммы почти одинаковых чисел 2015 способами.

А вот для числа 2016 -- получилось... нет, не 2014. Получилось 1980 способов
Но зато 2014 способов получилось для числа 2018.

Ваши результаты совпадают?

[wrest]

wrest в сообщении #1230484 писал(а):

У меня получилось 2015 троек, т.е. 2017 можно представить в виде суммы почти одинаковых чисел 2015 способами.

Посчитал еще раз.
Получилось 2016 способов: забыл учесть 1+1+1..
И еще: если слагаемое одно (само число), то учитываем такой способ? Если учитываем, то количество способов растет еще на один и составляет 2017.

Несколько фактов по 2017:
Всего возможных пар слагаемых 87 (плюс единственный случай когда все слагаемые равны)
Первая (по возрастанию) пара слагаемых из которых можно составить сумму только одним способом -- 35 и 36
После пары слагаемых 42 и 43 уже нет таких, что сумму можно составить более чем одним способом.
Первая (по возрастанию) пара слагаемых из которых не удалось составить (т.е. ноль способов) суммы: 47 и 48.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1230484 писал(а):

Ну если тройки при этом будут разные все, то можно и так.

Можно говорить и о парах, т. к. если $ap + b(p + 1) = aq + b(q + 1)$, получаем $(a + b)p = (a + b)q$, откуда $a + b = 0$ или $p = q$. Первое верно может быть только если нам нужно получить сам ноль, и только если допустимы пустые суммы, так что здесь оно в любом случае не проявится. Единственный не рассмотренный здесь случай — это когда слагаемое одного из видов отсутствует, и тогда мы можем представить сумму и как $0(p - 1) + bp$, и как $bp + 0(p + 1)$, но всё будет прекрасно, если запретить пары с $a = 0$ (или, наоборот, пары с $b = 0$). Заодно и случай с $a + b - 0$ выше выкидывается.

[wrest]

arseniiv
Кроме как перебором можно задачу решить?

А... похоже на то, что если исходное число простое, то количество способов составить сумму по условию задачи равно это число минус единица (а если допускается сумма из одного слагаемого, то количество способов -- это само данное число).
Видать TOTAL на это намекал, но я намек не понял.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1230553 писал(а):

Кроме как перебором можно задачу решить?

Я-то как раз не в курсе, если в общем случае.

[ИСН]

Чудно вы как-то считаете. Разбиваем число $n$ на $k$ слагаемых, где $1\le k\le n$ (или $1<$, смотря по деталям формулировки). Можем мы это сделать? Да, можем: разложим на равные кучки, а если поровну не разложилось, то есть остаток, который сам меньше, чем кучек, ну и раскидываем его по единице в часть кучек. Сколькими способами можем? Да одним же. Ну и всё.

[Ktina]

ИСН
Большое спасибо!