Определение параметров системы ОДУ

[Gargantua]

Здравствуйте. Имеется математическая модель, описываемая нормальными ОДУ 4-го порядка с гладкой правой частью.
$\dot{x}=$f(x,\lambda_1,\dots,\lambda_m,\lambda_{m+1},\dots\lambda_p) , где $\lambda_1,\dots,\lambda_m-$фиксированные параметры, $\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p-$неизвестные параметры. Известно, что решением системы является периодическая функция.
Необходимо определить , при каких значениях неизвестных параметров решение исходного уравнения имеет заданный период колебаний $T_i$ для набора значений известных параметров, т.е.:
$T(x_j(t))=T_j,\quad j=1\dots N$,
где $x_j(t)-$решение уравнений $\dot{x_j}=$f(x_j,\lambda_1^j,\dots,\lambda_m^j,\lambda_{m+1},\dots\lambda_p).
Дополнительно предполагая известными из наблюдений величины $x_j^{t_k}=x_j^k$ (шаблон сетки можем выбирать произвольным), я могу взять интеграл от обеих частей уравнения и, воспользовавшись условием периодичности $x(0)=x(T_j)$, получить систему алгебраических уравнений: $\int\limits_{0}^{T_j}f(x_j,\lambda_1^j,\dots,\lambda_m^j,\lambda_{m+1},\dots\lambda_p)=0$ относительно $\lambda_{m+1},\dots\lambda_p$. Выражая интеграл каким-либо численным методом через значения в известных точках, прихожу к системе $g_j(\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p)=0,\quad j=1\dots N$, где $g_j(\cdot)$-функции, получающиеся после приближенного представления интеграла. По полученной системе определяю функционал и соответствующую задачу минимизации $\sum\limits_{j=1}^{N}g_j^2(\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p) \rightarrow min$.
Имеет ли право на существование такой подход? И можно ли решить задачу по-другому?

[dsge]

Начальное значение $x(0)$ задано?

[Gargantua]

dsge
Да

[dsge]

Gargantua в сообщении #1230143 писал(а):

при каких значениях неизвестных параметров решение исходного уравнения имеет заданный период колебаний $T_i$ для набора значений известных параметров, т.е.:
$T(x_j(t))=T_j,\quad j=1\dots N$,

Непонятно, что такое $T_j$. Для каждого $T_j$ надо найти набор параметров, для которого существует периодическое решение периода $T_j$? Или надо найти квазипериодическое решение с периодами $T(x_j(t))=T_j,\quad j=1\dots N$ для одного набора параметров? Или надо найти один набор параметров, соответствующий $N$ периодическим решениям?

[Singular]

Gargantua в сообщении #1230143 писал(а):

Здравствуйте. Имеется математическая модель, описываемая нормальными ОДУ 4-го порядка с гладкой правой частью.
$\dot{x}=$f(x,\lambda_1,\dots,\lambda_m,\lambda_{m+1},\dots\lambda_p)

Речь идёт о нормальной системе четырех ОДУ?

[Gargantua]

dsge
Надо найти такой набор параметров $\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p$, что для каждого $j=1,\dots,N$ решение системы $\dot{x}=$f(x,\lambda_1^j,\dots,\lambda_m^j,\lambda_{m+1},\dots\lambda_p)$ имеет период $T_j$. Предполагается, что все компоненты вектора решения $x(t)$ имеют один и тот же период.
Singular
Да.

[dsge]

У вас $p-m$ неизвестных, и $4N$ уравнений, которые без дополнительных условий могут быть несовместны, или иметь бесконечно много решений.

[Gargantua]

dsge
Eсли ранг якобиана системы функций $g(\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p)$ больше $p-m$, то система несовместна и необходимо искать псевдорешение. Именно этот случай я имел в виду в самом первом сообщении, поскольку $N>>p-m$. Надеюсь, что на практике это условие на ранг якобиана будет выполнено.

[dsge]

Если $N>>p-m$, то ранг якобиана не может быть больше $p-m$.

Gargantua в сообщении #1230346 писал(а):

Eсли ранг якобиана системы функций $g(\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p)$ больше $p-m$, то система несовместна и необходимо искать псевдорешение.

Это псевдорешение почти наверняка не даст периодического решения системы.

[Gargantua]

dsge
Вы имеете в виду, что при найденных $\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p$ решение системы ОДУ будет непериодическим?
Я заметил сейчас, что ведь и сама система $g(\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p)=0$ не является точным условием периодичности, поскольку мы пришли к ней в результате численного представления интеграла. Тогда, действительно, периодическим решение ОДУ не будет. Но, может быть, получится при этом система, обладающая решением, период которого близок к требуемому?

[dsge]

Gargantua в сообщении #1230356 писал(а):

Я заметил сейчас, что ведь и сама система $g(\lambda_{m+1},\dots,\lambda_p)=0$ не является точным условием периодичности, поскольку мы пришли к ней в результате численного представления интеграла.

Это не проблема, интеграл можно вычислить с любой точностью.
Что мешает избавиться от избыточности, наложив ограничение $4N=p-m$?

[Gargantua]

dsge
Ничего не мешает. Пожалуй, Вы правы.