Задача по мат. анализу

[Alexiii]

Дано $B(0,r):=\{(x,y): {x^2+y^2}\le{r^2}\}$
Надо найти $\lim_{r\to 0}\frac{1}{r^2}\iint_{B(0,r)}\sin{\sqrt{|{(\frac{\pi}{2})^2-x-y}|}}dxdy$

есть соображения,что где-то между -$\pi$ и $\pi$ ,но нужен точный ответ. Я что-то туплю,может, поможете разобраться?!
Так как синус в модуле не больше 1,то модуль этого двойного интеграла не больше площади B(0,r), то есть ${\pi}r^2$, а модуль указанного предела будет не больше $\pi$

[Бодигрим]

Обозначим $f(x,y)=\sin\sqrt{\left| (\pi/2)^2-x-y \right|}$. Это непрерывная функция, так что по теореме о среднем $\iint_{B(0,r)} f(x,y) \, dxdy = \pi r^2 f(\xi,\eta) $, где $(\xi,\eta) \in B(0,r)$. Так что искомый предел равен $ \pi f(\xi,\eta) $ при $(\xi,\eta)\to (0,0)$.

[Профессор Снэйп]

Alexiii писал(а):

есть соображения,что где-то между -$\pi$ и $\pi$ ,но нужен точный ответ.

Ой, как мило Прям улыбнуло до ушей!

Под интегралом положительная функция, откуда там $-\pi$ возьмётся?

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

Бодигрим писал(а):

Обозначим $f(x,y)=\sin\sqrt{\left| (\pi/2)^2-x-y \right|}$. Это непрерывная функция, так что по теореме о среднем $\iint_{B(0,r)} f(x,y) \, dxdy = \pi r^2 f(\xi,\eta) $, где $(\xi,\eta) \in B(0,r)$. Так что искомый предел равен $ \pi f(\xi,\eta) $ при $(\xi,\eta)\to (0,0)$.

Да, это, наверное, самый простой способ строго показать, что ответ равен $\pi$. А то, что это так, сразу очевидно.