Оценка одной тригонометрической суммы через другую

[fractalon]

Пусть $e_p(k) = e^{2 \pi \frac{k}{p} i}$, $f,g: X \to {\mathbb F}_p$ и известно, что
$\sum \limits_{x \in X} {e_p (g(x))} < R$, причём $\sum \limits_{x \in X} {e_p (f(x))} = \sum \limits_{x \in X} {e_p (f(x)+g(x))}$.
Можно ли на этом основании как-то нетривиально оценить $\sum \limits_{x \in X} {e_p (f(x))}$?

[Null]

fractalon в сообщении #1228698 писал(а):

$\sum \limits_{x \in X} {e_p (g(x))} < R$

Сравнение комплексных чисел?
Так же у вас не полностью сформулировано условие: Можно ли использовать в требуемой оценке функцию $g$, или например $|X|$?

[fractalon]

Кажется, вопрос совсем просто решился в отрицательную сторону.
Можно взять следующий набор:

$$ X = \left\lbrace{0,\dots,p-1}\right\rbrace $$

$$f(x)=\begin{cases} x, & x \le \frac{p-1}{2} \\ x - \frac{p-1}{2}, & x > \frac{p-1}{2} \end{cases}$$

$$g(x)=\begin{cases} \frac{p-1}{2} - 2x, & x \le \frac{p-1}{2} \\ \frac{p-1}{2} - 1 - 2 \left({x - \frac{p+1}{2}}\right), & x > \frac{p-1}{2} \end{cases}$$

Тогда требуемое равенство будет выполняться, но будет $\left\lvert{\sum \limits_{x \in X}} {e_p (g(x))}\right\rvert = 0$ и $\left\lvert{\sum \limits_{x \in X}} {e_p (f(x))}\right\rvert = \Omega (p)$