Найти наименьшее возможное значение интеграла

[maa715]

Такая вот задача:
$f(x)$ - действительная непрерывная функция такая, что:
\int_{0}^{1}{f(x)dx}=1,\;\; \int_{0}^{1}{xf(x)dx}=1.
Найти наименьшее возможное значение интеграла \int_{0}^{1}{f(x)^{2}dx}.

[ex-math]

Ответ 4?

[maa715]

Вроде бы да. По крайней мере у кого не спрашивал, никто не смог найти такую функцию, что интеграл был бы меньше четырёх. Но ведь это ещё не значит, что её не существует?)

[ex-math]

Пусть $t\in\mathbb{R}$. Имеем

$$ \int_0^1f(x)(tx+1)dx=t+1. $$

Применяя неравенство Коши, получим

$$ (t+1)^2\leqslant\int_0^1f^2(x)dx\cdot\int_0^1(tx+1)^2dx=\int_0^1f^2(x)dx\cdot\left(\frac{t^2}3+t+1\right). $$

Значит,

$$ \int_0^1f^2(x)dx\geqslant\frac{t^2+2t+1}{\frac{t^2}3+t+1}. $$

Максимум правой части достигается при $t=-3$ и равен $4$. Взяв $f(x)=6x-2$ убеждаемся в том, что минимальное значение интеграла достигается.

[StaticZero]

Имеем изопериметрическую задачу на экстремум функционала

$$ \int \limits_0^1 y^2 \ \mathrm dx $$

при условиях

$$ \int \limits_0^1 y \ \mathrm dx = 1, \qquad \int \limits_0^1 xy \ \mathrm dx = 1. $$

Согласно правилу множителей Лагранжа, экстремаль исходного функционала с условиями является экстремалью функционала

$$ \int \limits_0^1 (y^2 + \lambda y + \mu x y) \ \mathrm dx, $$

на который не наложены никакие условия. Из-за отсутствия производных уравнение Эйлера-Лагранжа сворачивается в уравнение

$$ 0 = \dfrac{\partial F}{\partial y} = 2 y + \lambda + \mu x, $$

здесь $F = y^2 + \lambda y + \mu x y$.

Итак, экстремали исходного функционала с условиями даются двухпараметрическим семейством прямых

$$ y = - \dfrac{\lambda}{2} - \dfrac{\mu x}{2}. $$

Подстановка этого семейства в условия с последовательным исключением неизвестных даёт $\mu = -12$, $\lambda = 4$, экстремалью является прямая $y = 6x - 2$. Подстановка экстремали в функционал даёт ответ 4.

-- 25.06.2017, 14:34 --

ex-math в сообщении #1229508 писал(а):

Взяв $f(x)=6x-2$ убеждаемся в том, что минимальное значение интеграла достигается.

Ай-яй-яй, а откуда вы взяли эту функцию?

[ex-math]

Сначала решал как и Вы, но это неолимпиадно.
Все просто: когда неравенство Коши обращается в равенство? Когда функции пропорциональны. Ну а какая пропорциональная $-3x+1$ функция имеет единичный интеграл по $[0,1]$? То-то же

[StaticZero]

ex-math в сообщении #1229517 писал(а):

Сначала решал как и Вы, но это неолимпиадно.

Хехе. Вы подогнали решение под функцию

ex-math в сообщении #1229517 писал(а):

Все просто: когда неравенство Коши обращается в равенство? Когда функции пропорциональны. Ну а какая пропорциональная $-3x+1$ функция имеет единичный интеграл по $[0,1]$? То-то же

Угу, спасибо. Про пропорциональность функций я не понял, почему Коши обращается в равенство, но это, наверное, просто.

(Оффтоп)

Вот в "олимпиадных решениях" сплошь и рядом говорят: "давайте рассмотрим некий нужный нам объект такого специального вида", а как понять, что именно такого вида надо рассмотреть, а не другого, никто и никогда не объясняет.

[ex-math]

Ну если $f(x)=cg(x)$, то

$$ \left(\int_0^1f(x)g(x)dx\right)^2=\int_0^1f^2(x)dx\cdot\int_0^1g^2(x)dx. $$

Этого нам достаточно. В обратную сторону тоже верно (почти всюду, но для непрерывных функций это все равно что всюду), но это я сходу не помню как доказать. UPD: а, ну стандартным способом как неравенство Коши доказывается, там все видно становится.

[StaticZero]

ex-math, да, действительно, спасибо.

[DeBill]

maa715
Это с конкурса для школьников USA?

StaticZero в сообщении #1229513 писал(а):

экстремалью функционала

$$ \int \limits_0^1 (y^2 + \lambda y + \mu x y) \ \mathrm dx, $$

Безу Лагранжа:
Выделяя полный квадрат под интегралом, найдем ... (далее - по тексту)

[maa715]

Вообще эта задача со студенческой интернет-олимпиады.
В принципе решение с помощью вариационного исчисления правильно, но задача, действительно, является олимпиадной и должна разрешаться более просто)
С этой стороны решение, основанное на неравенстве Коши, скорее всего ближе к тому, что задумывали авторы.
В любом случае, всем большое спасибо за ваши ответы!

[svv]

$f(x)$ можно представить в виде $\lambda+\mu x+g(x)$, где $g$ ортогональна $f$ в смысле $(f, g)=\int\limits_0^1 f(x)g(x)dx$. Тогда
$\|f\|^2=\|\lambda+\mu x\|^2+\|g\|^2\geqslant \|\lambda+\mu x\|^2$
Значит, достаточно рассмотреть $f(x)=\lambda+\mu x$.