Уравнения Мещерского и Циолковского

[Topka]

В учебнике Сивухина "Механика" на странице 120 делается предположение о том, что скорость истечения газов относительно ракеты не затрагивает основные черты явления. Вначале же предполагается, что скорость ракеты изменяется, а скорость газа - нет. Но, если отн. скорость равна разности вектора скорости газа с вектором скорости ракеты, то, либо скорости газа и ракеты постоянны, либо не постоянны. Из этого выводится противоречие. Или я ошибаюсь?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- сформулируйте вопрос так, чтобы его можно было понять;
- уберите сканы, это достаточно широко известная информация (если очень хочется - ограничьтесь ссылкой на книгу с указанием страницы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 19.06.2017, 23:45 --

Честно говоря, после просмотра исправленного сообщения первой реакцией было оставить тему в Карантине до появления более внятной формулировки. Но в процессе написания соответствующего ответа я, кажется, понял, что именно Вы хотите спросить.

$v_\text{отн}$ в обозначениях Сивухина - это скорость истечения газа из ракеты относительно ракеты. В общем-то вполне естественно предположить для простоты, что эта скорость постоянна. Поскольку она является разностью скоростей газа и ракеты в некоторой внешней ИСО, то да - при разгоне ракеты скорость газа во внешней ИСО $v_\text{газ}$ тоже меняется. Однако Сивухин нигде не предполагает, что скорость газа постоянна, поэтому никакого противоречия тут нет.

[Topka]

Pphantom в сообщении #1227239 писал(а):

Сивухин нигде не предполагает, что скорость газа постоянна

На самом деле скорость газа всегда и везде предполагается постоянной величиной, насколько я понял. А так же в Сивухине предположение, вроде бы, было сделано, но не было оглашено, т.к. только в случае постоянной скорости газа мы имеем право узнать импульс движения газов, образовавшихся за время $dt$, подобным образом $dm_\text{газ}v_\text{газ}$.

[Pphantom]

Вы неправильно поняли, и для записи импульса это предположение не требуется.

[Topka]

Pphantom в сообщении #1227314 писал(а):

для записи импульса это предположение не требуется

Почему?

[iifat]

На промежутке времени $dt$? Конечно не меняется. Все дифуры составляются, исходя из этого. Он же бесконечно малый.

[Евгений Машеров]

Topka в сообщении #1227309 писал(а):

На самом деле скорость газа всегда и везде предполагается постоянной величиной, насколько я понял. А так же в Сивухине предположение, вроде бы, было сделано, но не было оглашено, т.к. только в случае постоянной скорости газа мы имеем право узнать импульс движения газов, образовавшихся за время $dt$, подобным образом $dm_\text{газ}v_\text{газ}$.

Вообще говоря, не предполагается. В реальной ракете вполне может быть управление тягой двигателя, что приведёт к изменению скорости истекания газов. А изменение импульса за бесконечно малый промежуток $dt$ может быть найдено и без этого предположения, оно нужно для расчёта изменения за конечный промежуток, что позволит упростить выкладки до "школьного уровня".

[Topka]

iifat в сообщении #1227323 писал(а):

На промежутке времени $dt$? Конечно не меняется.

Не понял. Если промежуток бесконечно малый, и функция от времени непостоянна, то на любом бесконечно малом промежутке есть хоть и небольшое, но изменение функции. Поэтому я и поставил под сомнение правомочность подобного акта.

Евгений Машеров в сообщении #1227366 писал(а):

А изменение импульса за бесконечно малый промежуток dt может быть найдено и без этого предположения, оно нужно для расчёта изменения за конечный промежуток, что позволит упростить выкладки до "школьного уровня".

Т.е., как я понимаю, это предположение было сделано нарочно, и уравнение, составленное из него, не во всей точности соответствует условиям?

[Евгений Машеров]

Topka в сообщении #1227404 писал(а):

Если промежуток бесконечно малый, и функция от времени непостоянна, то на любом бесконечно малом промежутке есть хоть и небольшое, но изменение функции. Поэтому я и поставил под сомнение правомочность подобного акта.

Мне кажется, Вам стоило бы ознакомиться с основами матанализа.

Topka в сообщении #1227404 писал(а):

Т.е., как я понимаю, это предположение было сделано нарочно, и уравнение, составленное из него, не во всей точности соответствует условиям?

Это упрощающее предположение, позволившее вывести простое и понятное Вам выражение, а не ограничиться выписыванием интеграла, дабы Вы его сами численно брали.

[Topka]

Евгений Машеров в сообщении #1227409 писал(а):

Мне кажется, Вам стоило бы ознакомиться с основами матанализа.

А в чем я неправ? Производная, например, от функции вида $f(t)g(t)$ узнается следующим образом $\frac{(f(t)+df(t))(g(t)+dg(t))-f(t)g(t)}{dt}$

Почему же производная от импульса газа за время $dt$ равна $\frac{dm_\text{газ}v_\text{газ}}{dt}$?

[Евгений Машеров]

А теперь следующую строчку про производную произведения...

[rustot]

Должно быть не $\vec{v}$ а $\Delta \vec{v}$, конечная скорость газа минус начальная скорость газа, последняя равна скорости ракеты

[Topka]

Евгений Машеров в сообщении #1227421 писал(а):

А теперь следующую строчку про производную произведения...

$\frac{(f(t)+df(t))(g(t)+dg(t))-f(t)g(t)}{dt} = \frac{f(t)g(t)+f(t)dg(t)+df(t)g(t)+df(t)dg(t)-f(t)g(t)}{dt} = \frac{f(t)dg(t)+df(t)g(t)+df(t)dg(t)}{dt} = f(t)\frac{dg(t)}{dt}+g(t)\frac{df(t)}{dt}+\frac{df(t)}{dt}dg(t) = f(t)\frac{dg(t)}{dt}+g(t)\frac{df(t)}{dt}$

rustot в сообщении #1227422 писал(а):

Должно быть не $\vec{v}$ а $\Delta \vec{v}$, конечная скорость газа минус начальная скорость газа, последняя равна скорости ракеты

Это уже больше похоже на правду. Только почему начальная скорость газа равна скорости ракеты?

[rustot]

Topka в сообщении #1227433 писал(а):

Это уже больше похоже на правду. Только почему начальная скорость газа равна скорости ракеты?

потому-что до начала процесса сгорания все его частицы двигались вместе с ракетой