Закон сохранения момента импульса.

[Solaris86]

Задача такая.
Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного в верхнем конце стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается, делая $10 \frac {\text{об}}{\text{с}}$. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол $\varphi = 180^{\circ}$ и колесо окажется на нижнем конце стержня? Суммарный момент инерции человека и скамьи $I=6 \text{кг}\cdot \text{м}^2$, радиус колеса $R=20$ см. Массу $m = 3 \text{кг}$ колеса можно считать равномерно распределенной по ободу. Считайте, что центр масс человека с колесом находится на оси платформы.
Момент инерции и момент импульса - это вообще полный мрак для меня, всегда их боялся, но вот тут столкнулся-таки.
Для начала, я не понимаю, почему при вращении в верхнем конце стержня скамейка остаётся неподвижной, что её останавливает? И почему она вдруг начала двигаться после того, как стержень переместили на 180 градусов и оно стало крутить в обратную сторону в нижнем конце стержня?

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1226884 писал(а):

Для начала, я не понимаю, почему при вращении в верхнем конце стержня скамейка остаётся неподвижной

Хм. Так она вроде бы по условию неподвижна, нет?

Solaris86 в сообщении #1226884 писал(а):

Момент инерции и момент импульса - это вообще полный мрак для меня, всегда их боялся, но вот тут столкнулся-таки.

Ничего особенно страшного в них нет. Ну, с момента импульса начнём, что ли. Что это такое - знаете?

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1226884 писал(а):

Для начала, я не понимаю, почему при вращении в верхнем конце стержня скамейка остаётся неподвижной, что её останавливает?

По-видимому, в условии не хватает неявно подразумеваемой детали - колесо на оси вращается без трения.

[Solaris86]

Metford в сообщении #1226886 писал(а):

Хм. Так она вроде бы по условию неподвижна, нет?

Да, по условию.

Pphantom в сообщении #1226894 писал(а):

По-видимому, в условии не хватает неявно подразумеваемой детали - колесо на оси вращается без трения.

Если без трения, то зачатки моего понимания тут же гибнут) Если колесо крутится без трения, то как оно начнёт взаимодействовать с осью, чтобы ось начала вращаться, а вместе с осью и человек со скамейкой?

Metford в сообщении #1226886 писал(а):

Ничего особенно страшного в них нет. Ну, с момента импульса начнём, что ли. Что это такое - знаете?

Ну, я так понимаю, это количество движения вращающегося тела.
$L = J \cdot \omega$

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1226909 писал(а):

Ну, я так понимаю, это количество движения вращающегося тела.
$L = J \cdot \omega$

Для начала сойдёт. Только формула, которую Вы привели - это всё-таки не определение. Это простейший вариант одного свойства момента импульса. Плохо в том, что Вы записали - это отсутствие векторов.
Отсюда возникает вопрос о правильной формулировке определения и о том, как определяется направление момента импульса.
Потом можно двигаться дальше.

[Dmitriy40]

(Методическое уточнение)

Metford, я правильно понимаю что в задачах подобного рода можно рассматривать лишь начальное состояние и конечное и не заморачиваться с динамикой перехода, сократив её до "ну, как-нибудь перейдёт, наверное, раз по условию произошло"?

[Solaris86]

Metford в сообщении #1226916 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1226909 писал(а):

Ну, я так понимаю, это количество движения вращающегося тела.
$L = J \cdot \omega$

Для начала сойдёт. Только формула, которую Вы привели - это всё-таки не определение. Это простейший вариант одного свойства момента импульса. Плохо в том, что Вы записали - это отсутствие векторов.
Отсюда возникает вопрос о правильной формулировке определения и о том, как определяется направление момента импульса.
Потом можно двигаться дальше.

В общем виде: $\mathbf L = [\mathbf r \times \mathbf p]$
В нашем случае: $\mathbf L = J \cdot \mathbf \omega$
Омега - вектор тоже, только не работает с ней команда mathbf

-- 18.06.2017, 22:39 --

Вот видео, где наглядно показано, что когда оси вращения колеса и скамейки совпадают, скамейка крутится в противоположную вращению колеса сторону (это происходит и вверху, так что в задаче что-то странное дано в условии о крутящемся колесе и неподвижной скамье), но почему они крутится в противоположную сторону, неясно.
https://www.youtube.com/watch?v=58MwXX541Dg

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1226928 писал(а):

Омега - вектор тоже, только не работает с ней команда mathbf

А Вы пишите вектор явно - с помощью команды \vec{}

Solaris86 в сообщении #1226928 писал(а):

В нашем случае: $\mathbf L = J \cdot \mathbf \omega$

Мне кажется, что Вы плохо представляете себе, откуда это берётся, но пока оставим. Пока. Эта формула будет расчётной. Но начать нужно скорее с теоремы об изменении момента импульса, чтобы понять, что происходит.

[Solaris86]

Metford в сообщении #1226932 писал(а):

Но начать нужно скорее с теоремы об изменении момента импульса, чтобы понять, что происходит.

$\frac {d\vec{L}}{dt} = d\vec{M}$

[Erleker]

Полагая, что $d$ справа это опечатка, это верно.

[Metford]

Дифференциал справа лишний. Т.е. смысл какой: изменение момента импульса вызывается действием момента некоторой силы. Но Вы написали закон для одной частицы, похоже. Если слева иметь в виду момент импульса системы, то справа нужно ставить момент внешних сил, приложенных к системе. Вот теперь и скажите, есть ли в Вашем случае внешние силы? Какие, если есть?

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1226909 писал(а):

Если без трения, то зачатки моего понимания тут же гибнут) Если колесо крутится без трения, то как оно начнёт взаимодействовать с осью, чтобы ось начала вращаться, а вместе с осью и человек со скамейкой?

Человеку придется повернуть колесо, и отсутствие трения совсем не означает, что при таком повороте колесо не будет взаимодействовать с остальной частью системы.

Dmitriy40 в сообщении #1226926 писал(а):

я правильно понимаю что в задачах подобного рода можно рассматривать лишь начальное состояние и конечное и не заморачиваться с динамикой перехода, сократив её до "ну, как-нибудь перейдёт, наверное, раз по условию произошло"?

Да.

[Metford]

(Оффтоп)

Dmitriy40
Простите, не увидел сразу Ваш вопрос. Pphantom уже ответил на него. Добавлю только, что я хотел немного вдаться в детали именно в методических целях. Чтобы закон сохранения прояснился.

Solaris86 в сообщении #1226928 писал(а):

Вот видео, где наглядно показано, что когда оси вращения колеса и скамейки совпадают, скамейка крутится в противоположную вращению колеса сторону (это происходит и вверху, так что в задаче что-то странное дано в условии о крутящемся колесе и неподвижной скамье), но почему они крутится в противоположную сторону, неясно.

Вот разберёмся с законом сохранения момента - всё встанет на свои места.

[Denis Russkih]

Solaris86 в сообщении #1226884 писал(а):

Скамейка неподвижна, колесо вращается

Solaris86 в сообщении #1226884 писал(а):

Для начала, я не понимаю, почему при вращении в верхнем конце стержня скамейка остаётся неподвижной

Колесо тут вращается по инерции, насколько я понимаю.

Человеку просто вручили уже вращающееся колесо — скамейка при этом не обязана никуда крутиться, вращение маховика "безреактивно".

Вот если бы человек сам раскрутил колесо, стоя на этой скамье — тогда да, скамейка вращалась бы в противоположную сторону.

[fred1996]

Ключевой момент во всей этой конструкции тот, что систему, включающую в себя: скамейку, человека и колесо, можно считать в определенном смысле "замкнутой". То есть в нашем случае ни сила тяжести на эти тела, ни реакция опроы на скамейку не создают дополнительны момент на эту систему.
Таким образом можно воспользоваться законом сохранения момента количества движения для этой системы и, конечно, в векторном виде, чтобы не наврать со знаками хотя бы.
А как мы помним, заоны сохранения позволяют нам пропустить промежуточные состояния системы, которые в общем случае могут быть достаточно сложными.
Главное, это начальное и конечное состояние.