О дифференциале функции

[misha.physics]

Здравствуйте.
Когда мы определяем дифференциал $dy$ функции $f(x)$ равенством:
$f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}$, где
$\Delta x$ - приращение независимой переменной (не пишу $dx$) чтобы помнить об этом :),
то понятно что $dy$ это линейная часть приращения функции по $\Delta x$. И
$\Delta y=A \Delta x + B\Delta x^2 + C\Delta x^3+...$, и $dy=A\Delta x$,
где $A=f'(x)$. Но это значит, что уже на этом этапе мы говорим что мы можем записать приращение функции $\Delta y$ в таком виде как многочлен по степенях $\Delta x$. То есть, когда в учебниках вводят дифференциал то предполагают что записать $\Delta y$ мы так можем не обьясняя это. Например, если $y=f(x)=\cos(x)$, то здесь пока не очевидно что можно записать $\Delta y$ в виде записаном више. Ведь теория рядов в учебниках идет довольно таки позже.
Это у меня даже не вопрос, просто интересно, правильно ли я всё понимаю?

[Mihr]

Неправильно. Ряды здесь ни при чём. Освежите в памяти определение дифференцируемости функции в точке.

[misha.physics]

Mihr, спасибо. Да, говорится что функция дифференцируема в точке, если мы можем представить в етой точке её приращение в таком виде как выше, и определяют дифференциал как линейный член по $\Delta x$.

Значит, условие дифференцируемости дает нам существование производной, ведь само определение производной $\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)$ говорит нам о том, что $\Delta y$ можно и нужно представить в таком виде, чтобы можно было разделить на $\Delta x$, и "обнулить" те $\Delta x$ что остались.

[Mihr]

misha.physics в сообщении #1226150 писал(а):

Значит, условие дифференцируемости дает нам существование производной

Немного коряво сказано, но, вероятно, Вы поняли правильно. Полезно иметь в виду: понятие дифференцируемости и понятие производной можно ввести независимо друг от друга. Что обычно и делается. Это потом уже доказывается, что коэффициент $A$ в выражении для дифференциала и есть значение производной в той самой точке, в которой строится дифференциал.

[Slav-27]

misha.physics в сообщении #1226150 писал(а):

говорится что функция дифференцируема в точке, если мы можем представить в етой точке её приращение в таком виде как выше

misha.physics в сообщении #1226143 писал(а):

$\Delta y=A \Delta x + B\Delta x^2 + C\Delta x^3+...$

Нет.

Функция $f$, определённая около фиксированной точки $x$, называется дифференцируемой в $x$, если функцию $f(x+h)-f(x)$ переменной $h$ (определённую для $h$ близких к $0$) можно представить в виде $h(A+\beta(h))$, где $A$ -- число, а $\beta(h)\to 0$ при $h\to 0$.

Читайте учебник.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1226143 писал(а):

Когда мы определяем дифференциал $dy$ функции $f(x)$ равенством:
$f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}$

Не очень хорошее равенство, т. к. слева функция одного аргумента $x$, а справа функция двух — $x,\Delta x$ (дифференциал тоже функция двух). Обычно ведь пишут $df = f'(x)\Delta x$, зачем вы разделили?

[misha.physics]

arseniiv, разделил, потому что мне яснее это понять так:
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{\Delta x}$,
отсюда сразу видно, что $dy$ должна быть линейной частью от приращения $\Delta y$ по $\Delta x$. И после разделения $dy$ на $\Delta x$, предел брать уже не придеться, так как $\Delta x$ уже нигде не будет.

Вот, как раз, $dy$ это функция $x$ и $\Delta x$, но после того как мы поделим $dy$ на $\Delta x$, зависимость этого частного (то есть $f'(x)$) от $\Delta x$ пропадет.

(Это я коряво неверное высказался для математиков )

[arseniiv]

Ну тут как-то всё с ног на голову поставлено всё-таки. Почему вы тогда $dy$ не сделаете функцией четырёх переменных $x, \Delta x,\xi$ и $\mathfrak X$? (Добавили бы к знаменателю $\xi$ и $\mathfrak X$, конечно, тоже.)

Вообще выражение $\lim\limits_{h\to h_0} g(h)$ не зависит от $h$ (аналогично тому как от $h$ не зависит $\int\limits_a^b g(h)\,dh$), так что нельзя просто взять и не брать предел. Его можно не брать ровно в том случае, когда функция $g$ в точке $h_0$ непрерывна, и это часто как раз и есть определение непрерывности функции. И даже тогда получится $g(h_0)$. Если это делать в вашем случае, получится $\dfrac{\Delta y|_{\Delta x=0}}{0} = \dfrac00$ (в $x$ из области определения $f$), что, разумеется, не определено.

[misha.physics]

arseniiv,
Я не так строго все понял, но я имел ввиду, что $f'(x)= \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$,
$\Delta y=dy+o(\Delta x)$, где $dy=A \Delta x$.
И когда ми поделим $\Delta y$ на $\Delta x$ и возьмем предел, то это будет то же если мы поделим $dy$ на $\Delta x$, и предел здесь уже брать не нужно, потому что единственное линейное $\Delta x$ в $dy$ исчезло после деления на знаменатель. То есть здесь у меня не получается $\frac{0}{0}$.

Это наверное не формальное обьяснение, но надеюсь что хоть принципиально правильно :)

[arseniiv]

Ну так вы определитесь, вы понимаете дифференциал как главную линейную часть приращения или как что-то, удовлетворяющее своему равенству $f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}$. В определении не может присутствовать никаких доказательств, они все должны быть до него.

[wrest]

misha.physics в сообщении #1226755 писал(а):

Я не так строго все понял, но я имел ввиду, что $f'(x)= \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$,
$\Delta y=dy+o(\Delta x)$, где $dy=A \Delta x$.

Вот это вот о малое может быть не таким уж и малым.
Ну например, на вершине параболы дифференциал (параболы) равен нулю, и приращение параболы в сторону от вершины целиком состоит из этого о малого.

[Metford]

wrest в сообщении #1226873 писал(а):

Вот это вот о малое может быть не таким уж и малым.

Не очень хорошая по-моему фраза. В Вашем примере важно то, с чего начинается разложение - со слагаемого какого порядка малости.

[misha.physics]

arseniiv в сообщении #1226850 писал(а):

Ну так вы определитесь, вы понимаете дифференциал как главную линейную часть приращения или как что-то, удовлетворяющее своему равенству $f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}$. В определении не может присутствовать никаких доказательств, они все должны быть до него.

А, я думал что это одно и тоже, просто сказано другими словами. Из первого следует (я не задумывался над строгим доказательством, просто это мне логически понятно) второе, а из второго - первое. Как я понял можно выбрать за определение дифференциала любое из этих понятий, или поискать ещё какие-то, эквивалентные.

(Вообще, с понятием определения я не очень строг (может это и есть логическая часть математики...) так как не математик).

[Karan]

Обсуждение новых вопросов отделено в тему Вопросы по дифференциальной геометрии