2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О дифференциале функции
Сообщение16.06.2017, 15:09 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Здравствуйте.
Когда мы определяем дифференциал $dy$ функции $f(x)$ равенством:
$f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}$, где
$\Delta x$ - приращение независимой переменной (не пишу $dx$) чтобы помнить об этом :),
то понятно что $dy$ это линейная часть приращения функции по $\Delta x$. И
$\Delta y=A \Delta x + B\Delta x^2 + C\Delta x^3+...$, и $dy=A\Delta x$,
где $A=f'(x)$. Но это значит, что уже на этом этапе мы говорим что мы можем записать приращение функции $\Delta y$ в таком виде как многочлен по степенях $\Delta x$. То есть, когда в учебниках вводят дифференциал то предполагают что записать $\Delta y$ мы так можем не обьясняя это. Например, если $y=f(x)=\cos(x)$, то здесь пока не очевидно что можно записать $\Delta y$ в виде записаном више. Ведь теория рядов в учебниках идет довольно таки позже.
Это у меня даже не вопрос, просто интересно, правильно ли я всё понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение16.06.2017, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
Неправильно. Ряды здесь ни при чём. Освежите в памяти определение дифференцируемости функции в точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение16.06.2017, 15:27 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Mihr, спасибо. Да, говорится что функция дифференцируема в точке, если мы можем представить в етой точке её приращение в таком виде как выше, и определяют дифференциал как линейный член по $\Delta x$.

Значит, условие дифференцируемости дает нам существование производной, ведь само определение производной $\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)$ говорит нам о том, что $\Delta y$ можно и нужно представить в таком виде, чтобы можно было разделить на $\Delta x$, и "обнулить" те $\Delta x$ что остались.

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение16.06.2017, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4992
misha.physics в сообщении #1226150 писал(а):
Значит, условие дифференцируемости дает нам существование производной

Немного коряво сказано, но, вероятно, Вы поняли правильно. Полезно иметь в виду: понятие дифференцируемости и понятие производной можно ввести независимо друг от друга. Что обычно и делается. Это потом уже доказывается, что коэффициент $A$ в выражении для дифференциала и есть значение производной в той самой точке, в которой строится дифференциал.

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение16.06.2017, 15:46 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
misha.physics в сообщении #1226150 писал(а):
говорится что функция дифференцируема в точке, если мы можем представить в етой точке её приращение в таком виде как выше
misha.physics в сообщении #1226143 писал(а):
$\Delta y=A \Delta x + B\Delta x^2 + C\Delta x^3+...$
Нет.

Функция $f$, определённая около фиксированной точки $x$, называется дифференцируемой в $x$, если функцию $f(x+h)-f(x)$ переменной $h$ (определённую для $h$ близких к $0$) можно представить в виде $h(A+\beta(h))$, где $A$ -- число, а $\beta(h)\to 0$ при $h\to 0$.

Читайте учебник.

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение17.06.2017, 00:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
misha.physics в сообщении #1226143 писал(а):
Когда мы определяем дифференциал $dy$ функции $f(x)$ равенством:
$f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}$
Не очень хорошее равенство, т. к. слева функция одного аргумента $x$, а справа функция двух — $x,\Delta x$ (дифференциал тоже функция двух). Обычно ведь пишут $df = f'(x)\Delta x$, зачем вы разделили? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение18.06.2017, 00:10 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
arseniiv, разделил, потому что мне яснее это понять так:
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{\Delta x}$,
отсюда сразу видно, что $dy$ должна быть линейной частью от приращения $\Delta y$ по $\Delta x$. И после разделения $dy$ на $\Delta x$, предел брать уже не придеться, так как $\Delta x$ уже нигде не будет.

Вот, как раз, $dy$ это функция $x$ и $\Delta x$, но после того как мы поделим $dy$ на $\Delta x$, зависимость этого частного (то есть $f'(x)$) от $\Delta x$ пропадет.

(Это я коряво неверное высказался для математиков :-) )

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение18.06.2017, 02:50 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну тут как-то всё с ног на голову поставлено всё-таки. Почему вы тогда $dy$ не сделаете функцией четырёх переменных $x, \Delta x,\xi$ и $\mathfrak X$? (Добавили бы к знаменателю $\xi$ и $\mathfrak X$, конечно, тоже.)

Вообще выражение $\lim\limits_{h\to h_0} g(h)$ не зависит от $h$ (аналогично тому как от $h$ не зависит $\int\limits_a^b g(h)\,dh$), так что нельзя просто взять и не брать предел. Его можно не брать ровно в том случае, когда функция $g$ в точке $h_0$ непрерывна, и это часто как раз и есть определение непрерывности функции. И даже тогда получится $g(h_0)$. Если это делать в вашем случае, получится $\dfrac{\Delta y|_{\Delta x=0}}{0} = \dfrac00$$x$ из области определения $f$), что, разумеется, не определено.

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение18.06.2017, 12:55 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
arseniiv,
Я не так строго все понял, но я имел ввиду, что $f'(x)= \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$,
$\Delta y=dy+o(\Delta x)$, где $dy=A \Delta x$.
И когда ми поделим $\Delta y$ на $\Delta x$ и возьмем предел, то это будет то же если мы поделим $dy$ на $\Delta x$, и предел здесь уже брать не нужно, потому что единственное линейное $\Delta x$ в $dy$ исчезло после деления на знаменатель. То есть здесь у меня не получается $\frac{0}{0}$.

Это наверное не формальное обьяснение, но надеюсь что хоть принципиально правильно :)

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение18.06.2017, 18:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну так вы определитесь, вы понимаете дифференциал как главную линейную часть приращения или как что-то, удовлетворяющее своему равенству $f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}$. В определении не может присутствовать никаких доказательств, они все должны быть до него.

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение18.06.2017, 19:27 


05/09/16
12041
misha.physics в сообщении #1226755 писал(а):
Я не так строго все понял, но я имел ввиду, что $f'(x)= \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$,
$\Delta y=dy+o(\Delta x)$, где $dy=A \Delta x$.

Вот это вот о малое может быть не таким уж и малым.
Ну например, на вершине параболы дифференциал (параболы) равен нулю, и приращение параболы в сторону от вершины целиком состоит из этого о малого.

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение18.06.2017, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
wrest в сообщении #1226873 писал(а):
Вот это вот о малое может быть не таким уж и малым.

Не очень хорошая по-моему фраза. В Вашем примере важно то, с чего начинается разложение - со слагаемого какого порядка малости.

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение18.06.2017, 23:23 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
arseniiv в сообщении #1226850 писал(а):
Ну так вы определитесь, вы понимаете дифференциал как главную линейную часть приращения или как что-то, удовлетворяющее своему равенству $f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}$. В определении не может присутствовать никаких доказательств, они все должны быть до него.

А, я думал что это одно и тоже, просто сказано другими словами. Из первого следует (я не задумывался над строгим доказательством, просто это мне логически понятно) второе, а из второго - первое. Как я понял можно выбрать за определение дифференциала любое из этих понятий, или поискать ещё какие-то, эквивалентные.

(Вообще, с понятием определения я не очень строг (может это и есть логическая часть математики...) так как не математик).

 Профиль  
                  
 
 Re: О дифференциале функции
Сообщение24.08.2017, 19:16 
Модератор


19/10/15
1196
 !  Обсуждение новых вопросов отделено в тему Вопросы по дифференциальной геометрии

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group