Уравнение y^2+(m^4+n^4)x^4=1 в рациональных числах

[scwec]

Докажите, что уравнение $y^2+(m^4+n^4)x^4=1$ при любых рациональных $m,n$ и $mn>0$ имеет решение в рациональных числах $x,y$, отличное от $x=0,y=\pm{1}$.

[SVD-d]

А $y=0$, $x = \sqrt[4]{\frac{1}{m^{4} + n^{4}}}$ не подойдёт?

[denisart]

SVD-d в сообщении #1227133 писал(а):

А $y=0$, $x = \sqrt[4]{\frac{1}{m^{4} + n^{4}}}$ не подойдёт?

а при $n=1, m=1$?

[scwec]

В предложенном SVD-d решении для любой пары рациональных $m,n$ и $mn\ne{0}$
$x$ является иррациональным числом (ВТФ).
Для образца привожу два решения для $m=n=1$:
простое $x=\dfrac{2}{3}, y=\dfrac{7}{9}$ и более экзотическое $x=\dfrac{84}{113}, y=\dfrac{7967}{12769}$.

[scwec]

Одно из решений исходного уравнения такое: $x=\dfrac{m+n}{m^2+mn+n^2}, y=\dfrac{mn(2m^2+3mn+2n^2)}{(m^2+mn+n^2)^2}$, (вообще, существует бесконечное множество рациональных решений исходного уравнения).
Если $y$ при каких-то $m,n$ окажется полным квадратом, т.е. $y=Y^2$ ($Y$ - рациональное число) то $Y^4+(mx)^4+(nx)^4=1$, что является необыкновенной удачей, поскольку в настоящее время известно только несколько таких примеров и все они наперечет.
Попытайтесь найти такие рациональные $m,n$, что $mn(2m^2+3mn+2n^2)=Y_1^2$, или докажите, что это в данном случае невозможно.