Тензорный закон преобразования

[Men007]

arseniiv
Все теперь стало ясно.
Вот только небольшой, последний вопрос: для компонента $T_{1'1'2'}$ я правильно записал разложение :

$$\begin{align} T_{1'1'2'} &= \sum_{i,j = 1,k = 2}^2 C_{1'}^i C_{1'}^j C_{2'}^k T_{ijk} = \\ &= C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{2'}^1 T_{111} + C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{2'}^2 T_{112} + \\ &+ C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{2'}^1 T_{121} + C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{2'}^2 T_{122} + \\ &+ C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{2'}^1 T_{211} + C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{2'}^2 T_{212} + \\ &+ C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{2'}^1 T_{221} + C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{2'}^2 T_{222}. \end{align}$$

[arseniiv]

Да, всё нормально кроме знака суммы. Суммируете вы всё правильно — все компоненты пробегают все значения, но в знаке суммы указали $\sum\limits_{i,j=1,k=2}^2$, что можно понять как суммирование по $i,j\in\{1,2\}$ и $k=2$, хотя $k=1$ тоже в игре. То, какие у вас выбраны штрихованные индексы, никак к этому знаку не относится.

Напомню, что в корректном выражении компонент какого-то тензора через компоненты других каждый индекс встречается либо раз, и тогда он свободный, либо два раза, и тогда одно вхождение должно быть ковариантным, а другое контравариантным, и такой индекс «немой». По каждому немому индексу в таком выражении подразумевается суммирование по всем его возможным значениям. В корректном равенстве подобных выражений множества свободных индексов и их вариантности должны совпадать. Это все правила.