Моделирование излучения в космологии разными ТЭИ

[Ascold]

Заметил, что в космологии любят моделировать не только массивное вещество, но и фотоны идеальной жидкостью с соотв. уравнением состояния. А почему бы излучение не моделировать тензором энергии-импульса электромагнитного поля, ведь фридмановская космология классическая, не квантовая? Или здесь дело в том, что вводя материю в виде жидкостей, проще напрямую сопоставлять плотности соотв. энергий, как делается у Горбунова и Рубакова, например?

[Munin]

Фридмановская космология классическая, но излучение обычно квантовое. Тепловое излучение некогерентно, и ТЭИ фотонного газа адекватно её описывает, а ТЭИ электромагнитного поля - нет. Для ТЭИ электромагнитного поля вам нужны значения $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B},$ а где их взять? В среднем они нулевые, а "в несреднем" квантовые, классических отклонений от нуля у них нет.

[Ascold]

Munin в сообщении #1222762 писал(а):

Тепловое излучение некогерентно

Точно же.
Тогда ещё интересно: есть так называемый тензор энергии-импульса чистого излучения $T_{ij}=(W/c^2)k_ik_j,$ который связан с волнами. Каков смысл применения его в космологии?

[Munin]

Честно говоря, не знаю, но я и в космологию на глубины Горбунова-Рубакова не залезал...

[Ms-dos4]

Ascold
Если вы рассматриваете конкретную космологическую модель, например Фридмановскую космологию и хотите рассмотреть на ней поле, которое задаёт темп расширения, то тензор энергии-импульса приходится получать. Т.е. вы на фиксированной метрике пишете уравнения для ЭМ поля, решаете их и получаете ваш ТЭИ. Так например делается в случае неабелевых калибровочных полей, которые рассматриваются довольно часто (вот тут я могу сказать точно, для Янга-Миллса есть решения, которые эффективно выглядят именно как идеальная жидкость). А иначе и нельзя - вам же нужно однородное изотропное решение (т.е. тут реализуются уже конкретные решения).

Есть конечно путь и другой - решать именно как совместную систему, т.е. поле определяет и метрику (одно из простых решений например - сферически-симметричное решение Нордстрёма). Но что тут есть для космологии я не знаю. Можно посмотреть Крамера, что там есть по решениям.

Ну и наконец можно рассматривать поля на Фридмановской космологии как возмущения, и, например, следить за их эволюцией при уже заданной эволюции Вселенной.

[SergeyGubanov]

Ascold в сообщении #1222775 писал(а):

есть так называемый тензор энергии-импульса чистого излучения $T_{ij}=(W/c^2)k_i k_j,$ который связан с волнами. Каков смысл применения его в космологии?

Это для направленного пучка света, потока ультрарелятивистских частиц. У него нет поперечного давления -- частицы летят в одну сторону.

Тензор энергии импульса пыли $T^{\mu \nu} = \rho \, u^{\mu} u^{\nu}$, где $\rho$ -- плотность пыли, $u^{\mu}$ -- четырёхскорость $g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 1$. Теперь представьте поток ультрарелятивистских пылинок. Тензор энергии импульса по форме будет тот же самый, но только четырёхскорость другая, теперь это изотропный четырёхвектор $k^{\mu}$

$$T^{\mu \nu} = N \, k^{\mu} k^{\nu} $$

$$ g_{\mu \nu} k^{\mu} k^{\nu} = 0$$

Функции $N(x)$ и $k^{\mu}(x)$ должны удовлетворять уравнениям непрерывности и геодезичности пучка:

$$ \nabla_{\mu} \left( N \, k^{\mu} \right) = 0, \qquad k^{\mu} \nabla_{\mu} k^{\nu} = 0. $$

Если мы захотим рассмотреть задачу об ультрарелятивистском взрыве небесного тела (сверхновая, квазар), то надо будет учитывать вот этот самый тензор энергии импульса -- ультрарелятивистского потока продуктов взрыва (излучения) распространяющегося от небесного тела.

[Ascold]

SergeyGubanov в сообщении #1224431 писал(а):

Функции $N(x)$ и $k^{\mu}(x)$ должны удовлетворять уравнениям непрерывности и геодезичности пучка:

$$ \nabla_{\mu} \left( N \, k^{\mu} \right) = 0, \qquad k^{\mu} \nabla_{\mu} k^{\nu} = 0. $$

А где можно посмотреть про эти условия? Просто если первое ещё более-менее интуитивно ясно, то второе - непонятно абсолютно.

[SergeyGubanov]

Ascold, второе - уравнение геодезического потока.

Уравнение геодезической линии в координатной форме $x^{\mu}(s)$:

$$ \frac{d^2 x^{\mu}}{ds^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds} = 0 \eqno(1) $$

Вместо решения уравнения второго порядка (1) геодезическую линию $x^{\mu}(s)$ можно найти решая уравнение первого порядка:

$$ \frac{dx^{\mu}}{ds} = u^{\mu}(x) \eqno(2) $$

Здесь $u^{\mu}(x)$ -- векторное поле задающее геодезический поток. Комбинируя (1) и (2) получаем уравнение геодезического потока

$$ \frac{\partial u^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} u^{\alpha} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta} \equiv u^{\alpha} \left( \frac{\partial u^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} u^{\beta} \right) \equiv u^{\alpha} \left( \nabla_{\alpha} u^{\mu} \right) = 0 \eqno(3) $$

Благодаря уравнению геодезического потока $u^{\alpha} \left( \nabla_{\alpha} u^{\mu} \right) = 0$, а так же уравнению непрерывности $\nabla_{\mu} \left( \rho \, u^{\mu} \right) = 0$ тензор энергии импульса идеальной пыли $T^{\mu \nu} = \rho \, u^{\mu} u^{\nu}$ ковариантно сохраняется:

$$ \nabla_{\mu} T^{\mu \nu} = 0 \eqno(4) $$