Республиканская Олимпиада

[Pyphagor]

ewert писал(а):

да они не могут быть неверны за своей тривиальностью

Не согласен. Ваши рассуждения не вытекают из построения противоречия.
Или я, по крайней мере, не вижу как это происходит.

[Профессор Снэйп]

С формальной точки зрения рассуждения ewert не верны, но содержат верную идею, которая может легко быть формализована.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

С формальной точки зрения рассуждения ewert не верны, но

Вы ведь логик, да? тогда могли бы заметить, что формально неверным является Ваше высказывание. Можно было бы сказать, что мои рассуждения "неполны", или "неаккуратны", или "небрежны", или что "в приличном обществе так не говорят". Однако назвать их "неверными" -- нельзя; нельзя даже "нестрогими".

Ну хорошо, попробую утешить ваши души.

Предположим, что $(x_{n+1}-x_{n})\not\to0$. Тогда существует $C>0$ такая, что для любого $N$ найдётся $n>N$, для которого $|x_{n+1}-x_{n}|>2\,C$. Обозначим $M=2\,\sup\limits_k|x_k|$; выберем $m$ так, что $m\cdot C>M$ и затем $\varepsilon$ так, что $\varepsilon\cdot{(m-1)(m-2)\over2}<m\cdot C$.
Теперь по этому $\varepsilon$ выберем такое $N$, что при всех $n>N,\ i>0$ выполнено $|(x_{n+i+1}-x_{n+i})-(x_{n+i}-x_{n+i-1})|<\varepsilon$. Обозначим $(x_{n+i+1}-x_{n+i})-(x_{n+1}-x_{n})\equiv r_i$; тогда по неравенству треугольника $|r_i|<i\cdot\varepsilon$. Теперь

$$\left\vert x_{n+m}-x_n\right\vert=\left\vert\sum_{i=1}^m(x_{n+i}-x_{n+i-1})\right\vert=\left\vert m\cdot(x_{n+1}-x_{n})+\sum_{i=1}^{m-1}r_{i}\right\vert>$$

$$>m\cdot|x_{n+1}-x_{n}|-\varepsilon\cdot{(m-1)(m-2)\over2}>m\cdot|x_{n+1}-x_{n}|-m\cdot C.$$

Если теперь по уже выбранным $N$ и $\varepsilon$ взять какое-либо $n>N$, для которого $|x_{n+1}-x_{n}|>2\,C$, то получим $\left\vert x_{n+m}-x_n\right\vert>m\cdot C>M$, что противоречит предположению $|x_k|\leqslant{M\over2}\ (\forall k)$.

Если Вам кажется, что такой способ оформления доказательства (ровно того же самого доказательства!) лучше, то, мне кажется, совершенно напрасно. Правда, одно достоинство у него всё же есть: здесь совершенно очевидно, что вещественность последовательности совсем не при чём.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Если Вам кажется, что такой способ оформления доказательства (ровно того же самого доказательства!) лучше, то, мне кажется, совершенно напрасно.

Должен согласиться - рассуждение стало безупречно строгим, но, как располневшая и постаревшая женщина, потеряло всякое изящество

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

С формальной точки зрения рассуждения ewert не верны, но

Вы ведь логик, да? тогда могли бы заметить, что формально неверным является Ваше высказывание. Можно было бы сказать, что мои рассуждения "неполны", или "неаккуратны", или "небрежны", или что "в приличном обществе так не говорят". Однако назвать их "неверными" -- нельзя; нельзя даже "нестрогими".

Вот моё-то высказывание как раз и является формально верным. А в вашем тексте ошибка есть уже здесь:

ewert писал(а):

...сколь угодно далеко найдется пара, для которой $(x_{n} - x_{n+1})>2$.

Так как достаточно легко привести пример последовательности, которая не стремится к нулю, но не достигает значений, больших $2$.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

ewert писал(а):
...сколь угодно далеко найдется пара, для которой $(x_{n} - x_{n+1})>2$.


Так как достаточно легко привести пример последовательности, которая не стремится к нулю, но не достигает значений, больших $2$.

Я - председатель "Общества по борьбе с "передергиванием" цитат" , поэтому вынужден заступиться за ewertа. Он писал не так, а вот как:

ewert писал(а):

Не ограничивая общности, можно считать, что сколь угодно далеко найдется пара, для которой $(x_{n} - x_{n+1})>2$.

И читать это следует так: "Всегда можно умножить последовательность на такую константу, что данное утв. станет выполняться, и такое умножение не повлияет на выполнение условий задачи. Так что все было сказано корректно!