Вторая квадратичная форма. Площадь элемента

[StaticZero]

Как-то уже затрагивал эту тему в связи с поверхностными интегралами, но теперь она представляет самостоятельный для меня интерес.

Как я понял, первой квадратичной формой называют форму вида квадрата длины элементарного кусочка кривой на поверхности

$$ dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2, $$

которая при наличии однозначной параметризации $x=x(u, v)$, $y=y(u, v)$, $z=z(u, v)$ приводится к виду

$$ dl^2 = E \ du^2 + 2 F \ du \ dv + G \ dv^2, $$

из коэффициентов формы образуется метрический тензор и тра-ля-ля, который показывает, чему равна длина куска кривой.

За что отвечает вторая квадратичная форма? Есть ли у неё некий "базовый" смысл подобный тому, который имеет первая квадратичная форма?

PS Вопрос про элемент площади появится потом, я тоже хочу его обсудить тут, как касающийся геометрии поверхностей, но не могу пока восстановить свои выкладки :(

[пианист]

Характеристика, насколько поверхность в данной точке изогнута.
Аналог кривизны кривой применительно к поверхности.

[svv]

Яснее всего, по-моему, определение $L=\mathbf r_{uu}\cdot \mathbf n$ и т.д.

Скалярное произведение с единичной нормалью используется для выделения выделяет нормальной составляющей $\mathbf r_{uu}$. Касательная составляющая малополезна: она характеризует, скорее, тангенциальную кривизну координатной линии $u$, чем саму поверхность.

[StaticZero]

svv в сообщении #1223621 писал(а):

определение $L=\mathbf r_{uu}\cdot \mathbf n$

Это для второй формы, да?

А кто такой $u$, по которому дифференцируем радиус-вектор?

[svv]

$u$ и $v$ тут те же, что в Вашем первом сообщении. Я опустил ещё $M=\mathbf r_{uv}\cdot \mathbf n=\mathbf r_{vu}\cdot \mathbf n$ и $N=\mathbf r_{vv}\cdot \mathbf n$. Всё очень красиво.

-- Пт июн 09, 2017 13:47:14 --

StaticZero в сообщении #1223623 писал(а):

Это для второй формы, да?

Погодите... так Вы её ещё не видели?

[Munin]

StaticZero в сообщении #1223517 писал(а):

За что отвечает вторая квадратичная форма? Есть ли у неё некий "базовый" смысл подобный тому, который имеет первая квадратичная форма?

Вторая квадратичная форма - это попытка описать поверхность не "внутри", а "извне".

Вы знаете, что к каждой кривой можно провести касательную, а к каждой (достаточно гладкой) поверхности - касательную плоскость. Может быть, вы слышали, что к кривой можно провести и "касательную окружность", которая будет показывать её степень кривизны в точке касания - $1/r,$ где $r$ - радиус окружности. (Это называется "касанием второго порядка", кажется. Высшими порядками заниматься не будем.)

Давайте сделаем такую идею и для поверхности. Что будем проводить к ней "по касательной"? Можно было бы придумать какой-нибудь эллипсоид. Но можно поступить по-другому. Возьмём касательную плоскость за систему координат, и выберем на ней функцию - тогда график этой функции - поверхность - будет как-то касаться исходной поверхности, аппроксимировать её.

Для касания второго порядка, нам достаточно взять функцию второго порядка. То есть, квадратичную форму. Все наши графики будут или параболоидами двух типов, или параболическими цилиндрами.

Вот эта квадратичная форма и будет "второй квадратичной формой поверхности" в заданной точке.

[StaticZero]

svv в сообщении #1223625 писал(а):

Я опустил ещё $M=\mathbf r_{uv}\cdot \mathbf n=\mathbf r_{vu}\cdot \mathbf n$ и $N=\mathbf r_{vv}\cdot \mathbf n$. Всё очень красиво.

Да, красиво. Только непонятно

Ну то есть в каком смысле непонятно. В первой квадратичной форме все решается, когда вычисляем в декартовых координатах элемент длины, потом пишем $dx = x_u \ du + x_v \ dv$, подставляем, все получается.

Чтобы найти вид второй формы, какую штуку нужно вычислять, чтоб, записав её как-нибудь в декартовых координатах и сделав там замену переменных, все получилось?

[Munin]

Что решается? Чтобы что получилось?

Вы хотите ответ на какую-то задачу найти и с помощью 1-й формы, и с помощью 2-й? Вы не понимаете, эти две формы - для разных целей.

[StaticZero]

Munin в сообщении #1223631 писал(а):

Возьмём касательную плоскость за систему координат

Ну, у каждой кривой можно выделить плоскость, в которой лежит пачка векторов нормали и тангенциальное направление, которому коллинеарны касательные векторы. У плоскости наоборот, есть нормальное направление, которому коллинеарны нормальные векторы, и плоскость, содержащая пачку тангенциальных.

Мы берём две свободные координаты в плоскости тангенциальных векторов?

-- 09.06.2017, 13:58 --

Munin в сообщении #1223637 писал(а):

Вы хотите ответ на какую-то задачу найти и с помощью 1-й формы, и с помощью 2-й? Вы не понимаете, эти две формы - для разных целей

Ищу инструмент, которым можно пользоваться относительно просто для восстановления правильного вида квадратичной формы from scratch. Для первой вот нашёл -- надо посчитать $dl$.

Я вроде понял, что эти формы по сути своей разнородные объекты.

[Munin]

StaticZero в сообщении #1223639 писал(а):

Мы берём две свободные координаты в плоскости тангенциальных векторов?

Да. Правда, привязываем их к параметризации плоскости, но это уже мелочь.

StaticZero в сообщении #1223639 писал(а):

Ищу инструмент, которым можно пользоваться относительно просто для восстановления правильного вида квадратичной формы from scratch.

А в учебнике что написано? Обычно там как раз это и говорится.

[StaticZero]

Munin в сообщении #1223645 писал(а):

А в учебнике что написано? Обычно там как раз это и говорится

Вот. У меня есть пособие по геометрии поверхностей. Там написано, что нужно перемножить скалярно приращение радиус-вектора на приращение вектора нормали и это хорошее инвариантно определение, как с длиной $dl$.

Хорошо. Радиус-вектор при этом выбирается так, что написано $d\mathbf r= \mathbf r_u \ du + \mathbf r_v \ dv$. Только как-то плохо написано, что собой все ж он представляет: радиус-вектор из начала координат любой системы или той, что привязана к точке поверхности касательной плоскостью?

Второй вопрос -- как правильно вообразить себе приращение (полный дифференциал) вектора нормали. Но это чуть позже, ещё не уложилось в голове это все.

Вот, прошу, чтоб вы не за меня учебник прочли, а чтобы -- если, конечно, не трудно -- попробовали пояснить идею -- откуда такое определение взялось?

-- 09.06.2017, 14:42 --

Munin в сообщении #1223645 писал(а):

Да. Правда, привязываем их к параметризации плоскости, но это уже мелочь.

Касательная плоскость к поверхности $g(x, y, z) = 0$ определяется равенством $(\operatorname{grad} g \cdot d \mathbf r) = 0$, где в качестве радиус-вектора выступает радиус-вектор в любой системе координат. Пусть выбрана одна, назовём "глобальной".

Этим равенством мы определяем, что у нас дифференциалы $dx$, $dy$, $dz$ не являются независимыми. Вектор нормали к поверхности, кроме того, это есть вектор $\operatorname{grad} g$.

Теперь у меня есть небольная путаница. В данной точке поверхности проведем касательную плоскость и выбем в той плоскости два маленьких орта, которые, однако, могут быть какие угодно (не ортогональны друг другу). Называем их $d\mathbf u$, $d\mathbf v$. Это два таких приращения радиус-вектора в "глобальной" систем координат, которые выражаются через уравнение поверхности и оба ортогональны градиенту $g$.

Когда мы рассматриваем параметризацию поверхности $x=x(u, v)$, и так далее, мы каждое приращение $d\mathbf x$ -- проекции радиус-вектора "глобальной" системы координат на её ось иксов -- раскладываем по маленьким ортам $d\mathbf u$ и $d\mathbf v$, аналогично с игреками и зетами. Раз векторы $d\mathbf x$, $d\mathbf y$ и $d\mathbf z$ не являются линейно независимыми, а поверхность налагает лишь одну связь, то два маленьких орта образуют базис.

Когда я запишу первую квадратичную форму в матричном виде, у меня появится некий вектор $d\mathbf s = (du, dv)$, который участвует в равенстве $(d\mathbf s \cdot g \ d\mathbf s) = \ldots$, где $g$ -- метрический тензор.

Верно ли, что вектор $d\mathbf s$, который существенно двумерный, тем самым и есть радиус-вектор, который проведён в локальной системе координат, связанной с касательной плоскостью?

[Munin]

StaticZero в сообщении #1223655 писал(а):

Хорошо. Радиус-вектор при этом выбирается так, что написано $d\mathbf r= \mathbf r_u \ du + \mathbf r_v \ dv$. Только как-то плохо написано, что собой все ж он представляет: радиус-вектор из начала координат любой системы или той, что привязана к точке поверхности касательной плоскостью?

А на $d\mathbf{r}$ это не влияет же.
Вот $\mathbf{r}_u$ и $\mathbf{r}_v$ привязаны к точке плоскости, лежат в касательной плоскости, и привязаны к системе координат на плоскости $(u,v),$ очевидно.

StaticZero в сообщении #1223655 писал(а):

Второй вопрос -- как правильно вообразить себе приращение (полный дифференциал) вектора нормали.

Вектор нормали - единичный. Так что, когда точка скользит по поверхности, вектор нормали качается туда-сюда. И его приращение - перпендикулярно ему самому. То есть, лежит в касательной плоскости.

Когда поверхность "вогнутая", вектор нормали смотрит "внутрь" её искривления, то приращение вектора нормали будет "с минусом", противоположно вектору $d\mathbf{r}.$

А когда поверхность "выпуклая", вектор нормали смотрит "наружу", то приращение вектора нормали будет "с плюсом", сонаправлено вектору $d\mathbf{r}.$

StaticZero в сообщении #1223655 писал(а):

откуда такое определение взялось?

Я так понимаю, тут можно взять несколько эквивалентных определений, так что - "почему бы и нет?".

[StaticZero]

Вкуриваю Позняка, Шикина. Хороший учебник, мне, вроде, нравится.

Маленький вопрос: координатной линией $u$ называется та кривая на поверхности, при движении вдоль которой координата $v$ н изменяется. Это определение строгое, или оно лишнее?

[Munin]

И строгое, и здесь лишнее.