Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов

[Cos(x-pi/2)]

Да, Ascold, коллеги Вам уже ответили.

Исходный вопрос был о пропагаторе. Пропагатор сопоставляется в диаграммах только внутренней линии - между двумя вершинами; а к вершинам ещё что-то прикручено, и к тому ещё нечто, и т. д. Вот, чтобы избежать разбора конкретных диаграмм, можно вместо двух вершин с окружающими потрохами представить себе две пространственно-временные области, где действуют "источник" и "приёмник" (или "детектор") частицы. Пропагатор $G(x-x')$ связывает точку $x'$ в одной такой области с точкой $x$ в другой области. (Поскольку по всем $x$ и $x'$ ведётся интегрирование, то он связывает также пары точек $x,x'$ и внутри каждой из областей.) Наша цель - проследить, как этот формализм соотносится с понятием "амплитуда вероятности".

Добавлю малость к

Ascold в сообщении #1222868 писал(а):

Т.е. в этой концепции источников-приёмников свободной частицы подразумевается, что в силу её "свободности" нельзя её обнаружить, кроме как создать или уничтожить?

Да, и аналогия с осциллятором помогает это понять (вот и здесь это обсуждалось).

(как старая пластинка, повторю одно и то же :))

Ведь, что умеет делать классический осциллятор $Q(t)$ в тех промежутках времени, где на него не действует внешняя сила $F(t)$? Он умеет только либо покоиться, либо - совершать колебание на собственной частоте $\omega_0$ (потому что там он удовлетворяет уравнению движения с нулевой правой частью: $(d^2/dt^2+\omega_0^2)Q(t)=0.$

В KM этому соответствует: либо основное состояние (с энергией $E_0=0,$ давайте условимся отсчитывать энергию квантового осциллятора от уровня энергии "нулевых колебаний"), либо, в общем случае, - суперпозиция стационарных состояний $|n \rangle$, со всевозможными $n=0,1,2,...$ и с энергией $\langle E \rangle = \hbar \omega_0 \langle n \rangle.$ Квадрат модуля коэффициента при $|n\rangle$ в такой суперпозиции это вероятность обнаружить $n$ квантов энергии $\hbar \omega_0,$ т. е. обнаружить состояние с энергией $E_n=\hbar \omega_0 \, n.$

В КТП для "свободного поля" всё как в КМ для осциллятора, но только осциллятор теперь не один, а их бесконечно много: каждый осциллятор имеет свой "номер" $\mathbf{k}$ и частоту $\omega_{\mathbf{k}}.$ В "номер" могут входить также индексы "типа поляризации", но здесь для простоты забудем о них. И ещё одна мелочь возникает в КТП: суммарная энергия нулевых колебаний бесконечного количества осцилляторов бесконечна; но чёрт с ней, мы её принимаем за начало отсчёта энергии возбуждённых состояний поля.

$\mathbf{k}$-й осциллятор поля в стационарном состоянии $|n_{\mathbf{k}}\rangle$ имеет энергию $E_{n_{\mathbf{k}}}=\hbar \omega_{\mathbf{k}} \, n_{\mathbf{k}}$. "Частица" в этой модели - не какая-то "крупинка материи", где-то летящая по траектории свободной материальной точки, а просто порция энергии $\hbar \omega_{\mathbf{k}}$ и импульса $\hbar \mathbf{k}.$ Она "размазана" по пространству: с вероятностью $dV/V$ она находится в элементе объёма $dV$ в любом месте произвольно большого номировочного объёма $V$ (потому что волновая функция частицы - плоская волна, её модуль - константа. Речь здесь не о волновой функции осциллятора, выражающейся через полиномы Эрмита с убывающей экспонентой). Что умеет такая свободная частица? Она умеет либо быть, либо не быть, и всё.

Внешняя сила $F(t)$ даёт вклад $-QF(t)$ в потенциальную энергию классического осциллятора. В КМ $Q$ становится оператором координаты, и внешняя сила даёт вклад $-QF(t)$ в гамильтониан. В релятивистской КТП предпочтительнее лагранжиан и действие - эти величины можно выбрать лоренц-инвариантными; аналогом $QF(t)$ становится интеграл по всем точкам $x$ от выражения типа $\psi(x)J(x).$

На том интервале времени, где действует $J$, т. е. $J(x) \neq0,$ чёрт-те что творится: частицы могут рождаться источником и тут же им поглощаться, и опять рождаться, и т.д. Говоря классическим языком, это "вынужденные колебания" полевых осцилляторов, они не обязаны совершаться на собственных частотах поля, а имеют сложную форму, широкий спектр частот $\omega \neq \omega_{\mathbf{k}}.$ Но "до того" и "после того", т. е. в тех промежутках времени, где $J(x) = 0,$ поле свободное - оно умеет колебаться только на частотах $\omega_{\mathbf{k}},$ и умеет покоиться. В КТП это означает либо присутствие, либо отсутствие частиц с энергиями $\hbar \omega_{\mathbf{k}}$ и импульсами $\hbar \mathbf{k}.$ Другими словами, источник умеет только рождать и поглощать частицы; ничего другого в этой модели не предусмотрено.

(P.S. об операторе эволюции позже отвечу, там много писанины получается, не умею кратко...)

[Cos(x-pi/2)]

(матричные элементы оператора эволюции)

Пусть $|n\rangle$ означает стационарное состояние "мира" с $n$ свободными частицами без учёта зависимости от времени $t$, т. е. при $t=0.$ Это аналог $n$-го стационарного состояния осциллятора в КМ, но здесь $n$ символизирует в общем случае не одно число, а бесконечный перечень чисел частиц $n_{\mathbf{k}}$ со всевозможными импульсами $\mathbf{k}$ (вместе с другими квантовыми числами - проекциями спина, знаками зарядов и т. п., так что античастицы тоже входят в этот перечень. Здесь для краткости не пишу такие другие квантовые числа). Тогда:

$|n,t\rangle = e^{-iE_nt}|n\rangle=e^{-iHt}|n\rangle$

означает то же стационарное состояние с учётом зависимости от времени; здесь $E_n$ - суммарная энергия всех указанных $n$ частиц, $H$ - не зависящий от времени гамильтониан "свободной" теории, с отсчётом энергии от "энергии нулевых колебаний".

Пусть источник $J(t, \mathbf{r})$ работает только в интервале $t_{\text{нач}}<t<t_{\text{кон}},$ а вне этого интервала $J=0.$ Тогда оператор эволюции $U_J(t,t')$ от прошлого момента времени $t'<t_{\text{нач}}$ к будущему моменту времени $t>t_{\text{кон}}$ можем записать в виде

$U_J(t,t')=e^{-iH(t-t_{\text{кон}})}\, U_J(t_{\text{кон}},t_{\text{нач}}) \, e^{-iH(t_{\text{нач}}-t')}.$

Для его матричного элемента между состоянием с $n'$ частицами в прошлом и состоянием с $n$ частицами в будущем вводим краткое обозначение $\langle n|n'\rangle_J:$

$\langle n,t|U_J(t,t')|n',t'\rangle=\langle n|n'\rangle_J \, .$

С учётом того, что

$e^{-iH(t_{\text{нач}}-t')}|n',t'\rangle=e^{-iE_{n'}t_{\text{нач}}} |n' \rangle \,$

$e^{iH(t-t_{\text{кон}})}|n,t\rangle=e^{-iE_nt_{\text{кон}}} |n\rangle \,$

и что гамильтониан эрмитов, имеем:

$\langle n|n'\rangle_J=\langle n,t|U_J(t,t')|n',t'\rangle=e^{iE_nt_{\text{кон}}-iE_{n'}t_{\text{нач}}} \, \langle n|U_J(t_{\text{кон}},t_{\text{нач}})|n'\rangle \, .$



Для переходов из начального вакуумного состояния здесь $n'=0$ и $E_{n'}=0,$ так что:

$\langle n|0\rangle_J=\langle n,t|U_J(t,t')|0,t'\rangle=e^{iE_nt_{\text{кон}}} \, \langle n|U_J(t_{\text{кон}},t_{\text{нач}})|0\rangle \, .$



Сдвинем источник $J(t, \mathbf{r})$ вместе с его интервалом активности $(t_{\text{кон}},t_{\text{нач}})$ на время $\tau$ в прошлое. Это значит, что мы заменяем его новым источником $J_{\text{нов}}(t, \mathbf{r})=J(t+\tau, \mathbf{r}),$ который работает как и старый источник, но на новом интервале времени: $(t_{\text{кон}}-\tau,t_{\text{нач}}-\tau).$ Тогда

$\langle n|U_{J_{\text{нов}}}(t_{\text{кон}}-\tau,t_{\text{нач}}-\tau)|0\rangle = \langle n|U_J(t_{\text{кон}},t_{\text{нач}})|0\rangle \, ,$

Однако фазовый множитель $e^{iE_nt_{\text{кон}}}$ при замене $t_{\text{кон}}$ на $t_{\text{кон}}-\tau$ изменится, и мы получим то, в чём желали убедиться:

$\langle n|0\rangle_{J_{\text{нов}}}=e^{-iE_n \tau} \langle n|0\rangle_J \, .$



Теперь немного иной взгляд. Матричный элемент $\langle n|0\rangle_J$ можно представить как скалярное произведение

$\langle n|0\rangle_J=\langle n,t|\Psi \rangle$

базисного состояния $|n,t\rangle$ и состояния $|\Psi \rangle,$ образовавшегося к моменту времени $t$ вследствие действия источника $J$ на вакуумное состояние в прошлом:

$|\Psi \rangle= U_J(t,t')|0,t' \rangle \, .$

Образно говоря, в координатном представлении состояние $|\Psi\rangle$ представляет собой в общем случае "многочастичное облако вероятности", порождённое источником $J.$ Пусть теперь $J_{\text{нов}}$ - источник, сдвинутый в пространстве на вектор $\mathbf{a}.$ Ясно, что и порождаемое им "многочастичное облако вероятности" $|\Psi_{\text{нов}}\rangle$ окажется сдвинутым на $\mathbf{a}.$ В квантовой теории оператор сдвига, действующий на состояния системы, есть $e^{-i\mathbf{\hat P \cdot a}},$ где $\mathbf{\hat P}$ - эрмитов оператор суммарного импульса системы (это можно считать определением оператора импульса), так что:

$|\Psi_{\text{нов}}\rangle=e^{-i\mathbf{\hat P \cdot a}} |\Psi \rangle \, .$

Вставим в $\langle n,t|\Psi \rangle$ единичный оператор $1=e^{i\mathbf{\hat P \cdot a}}e^{-i\mathbf{\hat P \cdot a}},$ перенесём эрмитовым сопряжением действие операторного сомножителя $e^{i\mathbf{\hat P \cdot a}}$ на $\langle n,t|,$ и учтём, что $|n, t\rangle$ - собственное состояние для оператора импульса с собственным значением $\mathbf{P}:$

$e^{-i\mathbf{\hat P \cdot a}} |n,t \rangle = e^{-i\mathbf{P \cdot a}}|n,t \rangle \, ,$

где $\mathbf{P}=\sum_{\mathbf{k}} \mathbf{k} \, n_{\mathbf{k}}$ - суммарный импульс всех частиц, присутствующих в перечне $n.$ Таким образом:

$\langle n,t|\Psi \rangle=\langle n,t| e^{i\mathbf{\hat P \cdot a}}e^{-i\mathbf{\hat P \cdot a}}|\Psi \rangle=e^{i\mathbf{P \cdot a}} \langle n,t|\Psi_{\text{нов}} \rangle \, .$

Левая сторона в этой цепочке равенств есть $\langle n|0\rangle_J,$ а в правой стороне имеем $\langle n,t|\Psi_{\text{нов}}\rangle =\langle n|0\rangle_{J_{\text{нов}}}.$ Получилось то, в чём мы желали убедиться:

$\langle n|0\rangle_{J_{\text{нов}}}=e^{-i\mathbf{P \cdot a}} \langle n|0\rangle_J \, .$

(P.S. Наверное, хорошо бы заодно написать пояснения об условиях унитарности и о вакуумной амплитуде. Подумываю об этом...)

[Ascold]

Благодарю за подробное разъяснение.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1218836 писал(а):

1-частичный вклад в амплитуду перехода $\langle 0|0 \rangle_{K,J}$ из начального вакуума в конечный вакуум при наличии источников $K$ и $J,$ указанным образом упорядоченных во времени, должен иметь вид суммы вкладов, отвечающих различным импульсам частицы:

$\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, .$

Правильно я понимаю, что обоснование этого утверждения - ну, что амплитуды последовательных переходов надо перемножить, а затем по всем $\mathbf{k}$ просуммировать, лежит в области интегрирования по путям или я чего-то не вижу, что позволило бы сходу обосновать это рассуждениями в обычной КМ?

Цитата:

Чтобы получить обратным фурье-преобразованием искомое поле $\psi(x),$ надо в интеграле по $\omega$ задать правило обхода полюсов $1/k^2=1/(\omega^2-|\mathbf{k}|^2).$ В КТП работает правило Фейнмана: к собственным частотам поля (у нас это $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|)$ добавляется бесконечно малая отрицательная мнимая часть $-i0.$

Вот здесь непонятно: фейнмановский пропагатор - это когда один полюс чуть выше, второй - чуть ниже оси $Re(w).$ В КТП с каноническим квантованием скалярного поля это правило возникало легко: мы изначально знали, как выглядит хронометрически упорядоченная амплитуда перехода, и под эту формулу подводили $\pm i0$ в полюсах для контурного интеграла по частоте, здесь же "ответ" не известен заранее, хотя видно, что если, к примеру, загнать оба полюса выше или ниже вещественной оси, то не получится такого элегантного результата с выделением из левого поля лишь левых составляющих.

[Munin]

Ascold в сообщении #1223420 писал(а):

лежит в области интегрирования по путям или я чего-то не вижу, что позволило бы сходу обосновать это рассуждениями в обычной КМ?

Вообще-то если вы не знаете, как интегрирование по путям обосновывается в КМ, вам это стоит добрать. Потому что это очень естественная идея, и например, "обычная КМ" - это и есть интеграл по траекториям :-)

Фейнман. Квантовая электродинамика.
Фейнман, Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям.
Фейнмановские лекции по физике, вып. 8-9.

[Ascold]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1223439 писал(а):

Вообще-то если вы не знаете, как интегрирование по путям обосновывается в КМ, вам это стоит добрать. Потому что это очень естественная идея, и например, "обычная КМ" - это и есть интеграл по траекториям

Благодарю за книжки, правда я чуть-чуть знаю про континуальный интеграл - у Райдера читал соотв. главу, впрочем, как-нибудь освежу и углублю знания по этому вопросу.

[Munin]

В общем, для меня уже нет КМ без path sum, я даже не понимаю, как отделить её от остальной КМ.

[Cos(x-pi/2)]

Можно, конечно, через интеграл по траекториям (в КТП - по полям). Можно и без него:

Рассматриваем случай, когда источник $K$ действует после $J.$ Раз источники $K$ и $J$ не перекрываются во времени, то мы можем выбрать любой момент времени $t_0$ "между" ними, т. е. - после выключения источника $J,$ но до включения $K.$

Понятно, что в интервале от начального момента времени $t'$ до $t_0$ изменять число частиц мог только $J,$ а после $t_0$ - мог только $K.$ Оператор всей эволюции запишется в виде произведения двух операторов эволюции, первый зависит от $J,$ а второй от $K:$

$\langle 0|0\rangle_{K,J}=\langle 0,t|\, U_{K,J}(t,t')\,|0,t'\rangle=\langle 0,t | \, U_K(t,t_0)\,U_J(t_0,t')\,|0,t'\rangle \, .$

Вставим единичный оператор $1=\sum_n|n,t_0\rangle \, \langle n,t_0 |$ между этими операторами, и вернёмся к кратким обозначениям матричных элементов:

$\langle 0|0\rangle_{K,J}=\sum_n\langle 0,t|\,U_K(t,t_0)\,|n,t_0\rangle \, \langle n,t_0| \, U_J(t_0,t')\,|0,t'\rangle \,=\, \sum_n \, \langle 0|n\rangle_K \, \langle n|0 \rangle_J \, .$

Выпишем слагаемые этой суммы в порядке увеличения числа частиц в "перечне частиц", который здесь обозначен как $n.$ Значению $n=0$ отвечает отсутствие частиц после окончания работы источника $J.$ Затем идут слагаемые с $n=1,$ т. е. с одной частицей, рождённой источником $J;$ эти слагаемые различаются импульсом $\mathbf{k}$ частицы, поэтому вместо $n=1$ мы напишем символ $1_{\mathbf{k}}.$ Тем самым получился интересовавший нас одночастичный вклад. Далее идут двух- и более многочастичные слагаемые со всевозможными значениями импульсов частиц; в случае слабых источников они имеют более высокий порядок малости, чем предыдущие слагаемые, поэтому мы здесь просто обозначим их многоточием:

$\langle 0|0\rangle_{K,J}\, = \, \langle 0|0\rangle_K \, \langle 0|0 \rangle_J \,+ \, \sum_{\mathbf{k}}\,\langle 0|1_{\mathbf{k}}\rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, + \, ... \, .$


Ответ на второй вопрос. Всё-таки "ответ" насчёт $i0$-правила я посчитал известным заранее - из литературы по КТП; ведь форумные пояснения служат лишь дополнением (а не заменой) к серьёзному изложению в книгах.

Пытаться пояснить, опять-таки не строго, наверное, можно так. Хотели получить решение $\psi$ неоднородного уравнения (с источником $J$), но не самое общее, а обращающееся в ноль при $J \to 0,$ потому что хотели поле $\psi$ интерпретировать как "связанное с источником". Поэтому мы не стали прибавлять решения однородного уравнения, не связанные с $J.$

И хотелось, чтобы на временах после окончания работы $J$ поле $\psi$ содержало составляющие только с положительными частотами, а на временах до включения $J$ - составляющие только с отрицательными частотами. Это желание навеяно стремлением реинтерпретировать поле с отрицательными частотами позади от источника во времени, как поле античастиц, приходящих в источник из прошлого с положительными энергиями. Фейнмановское $i0$-правило даёт такую функцию Грина, которая обеспечивает именно указанную раскладку положительно- и отрицательно-частотных волн "по обе стороны" от источника на оси времени.