Как изменится напряжение на катушке, если увеличить w

[Atom001]

Как изменится напряжение на катушке, если увеличить число витков в два раза. Катушка содержит сердечник, который изначально размагничен. К выводам катушки подключают источник постоянного напряжения E. Последовательно с катушкой подключен резистор с сопротивлением $R$.

Я рассуждал так.
По второму закону Кирхгофа: $E=iR+L\frac{di}{dt}$.
Решаю полученное ДУ: $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{Rt}{L}}\right)$
Записываю ток для случаев до и после увеличения числа витков:
$i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{Rt}{L}}\right)$
$i'(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{Rt}{L'}}\right)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{Rt}{4L}}\right)$
Нахожу напряжение на катушке до и после увеличения числа витков:
$u(t)=L\frac{di}{dt}=Ee^{-\frac{Rt}{L}}$
$u'(t)=L'\frac{di'}{dt}=Ee^{-\frac{Rt}{4L}}$
Раскладываю оба напряжения в ряд Маклорена по первым двум членам:
$u(t)=E\left(1-\frac{Rt}{L}\right)$
$u'(t)=E\left(1-\frac{Rt}{4L}\right)$
Нахожу отношение напряжений:
$\frac{u'(t)}{u(t)}=\frac{1-\frac{Rt}{4L}}{1-\frac{Rt}{L}}$
И тогда получается странная вещь - в начальный момент времени и на бесконечности напряжения относятся по-разному:
$\frac{u'(t)}{u(t)}\bigg|_0=1$

$\frac{u'(t)}{u(t)}\bigg|_\infty=\frac{1}{4}$

Это почему так?

[AnatolyBa]

Во-первых, когда вы взяли два члена из ряда - на бесконечности это неприменимо.
Во-вторых, да отношение напряжений не постоянно. Почему вас это удивляет?

[Atom001]

AnatolyBa в сообщении #1222385 писал(а):

Во-первых, когда вы взяли два члена из ряда - на бесконечности это неприменимо.

Согласен, упустил этот момент.

AnatolyBa в сообщении #1222385 писал(а):

Во-вторых, да отношение напряжений не постоянно. Почему вас это удивляет?

На это есть две причины.
1. Вопрос звучит так, как будто отношение напряжений должно быть постоянным во времени.
2. Я видел, как другие люди решают подобную задачу через равенство $F=IW$ (к сожалению, ход решения я не знаю). Так вот там у них отношение получалось постоянным.

[AnatolyBa]

Atom001 в сообщении #1222386 писал(а):

Вопрос звучит так, как будто отношение напряжений должно быть постоянным во времени.

А по-моему не звучит. Может вы что-то упустили в формулировке?

[Mihaylo]

Затухание процесса будет разным, не следует ждать постоянства отношения все время $t$. Хотя в точках $t=0$ и $t=\infty$ отношение равно единице.

[Atom001]

Mihaylo в сообщении #1222391 писал(а):

А по-моему не звучит.

Да, очевидно, Вы правы. Полученным результатом спокойной можно ответить на поставленный вопрос.

Mihaylo в сообщении #1222391 писал(а):

Затухание процесса будет разным, не следует ждать постоянства отношения все время $t$. Хотя в точках $t=0$ и $t=\infty$ отношение равно единице.

Сейчас я это понял.

-- 05.06.2017, 22:21 --

Спасибо!

[rustot]

$(E e^{-t/4 \tau}) / (E e^{-t/\tau}) = e^{3 t /4 \tau}$

отношение напряжений на бесконечности стремится не к 1 а к бесконечности

[EUgeneUS]

Хм. Я прочитал условие так:
1. Собрали схему.
2. В какой-то момент времени $t_0$ подключили источник напряжения.
3. В какой-то другой последующий момент времени $t_1$ скачком изменили количество витков в обмотке.
4. Как изменится напряжение на катушке в момент времени $t_1$?

Условие можно прочитать и еще более буквально: сначала изменяем количество витков (и спрашиваем, как изменится напряжение), а потом подключаем источник напряжения. Тогда ответ тривиален - никак не изменится.

[rustot]

Если на ходу обмотку из сдвоенного провода перекоммутировать, в последовательное соединение, что как раз удвоит количество витков, то ток по каждому из проводов в первое мгновение останется тем же, а значит во внешней цепи уполовинится, что уполовинит падение на резисторе и соответственно увеличит на катушке

Но вопрос по-моему все-таки не об изменении "на лету".

[Erleker]

А мне все-таки кажется, что вопрос именно про мнгновенное изменение.Ведь в условии же не скзано найти отношение для момента времени.
И тогда - по закону сохранения энергии катушки найти новый ток и сказать, что напряжение увеличится.

[EUgeneUS]

rustot в сообщении #1222684 писал(а):

Но вопрос по-моему все-таки не об изменении "на лету".

ТС, очевидно, пересказывает условия по памяти. Тут можно только гадать.
Но с точки зрения банальной эрудиции, скачкообразный процесс гораздо интереснее.

rustot в сообщении #1222684 писал(а):

Если на ходу обмотку из сдвоенного провода перекоммутировать, в последовательное соединение, что как раз удвоит количество витков, то ток по каждому из проводов в первое мгновение останется тем же

Чей-та? Банальная эрудиция подсказывает, что непрерывным останется магнитный поток (или энергия магнитного поля, что тоже самое), а вот напряжение или ток в отдельно взятой стране проволке может измениться скачком.

[Erleker]

Остается постоянным $LI^2/2$, откуда ток для $4L$ уменьшается в 2 раза.Напряжение $E-IR$ увеличивается.

[EUgeneUS]

Erleker в сообщении #1222695 писал(а):

Остается постоянным $LI^2/2$,

Непрерывным. По этому условию надо сшить решения для изменения тока в точке перекоммутации для $L$ (слева) и $4L$ (справа),
потом взять производную слева и умножить на $L$ - напряжение "до"; производную справа и умножить на $4L$ - напряжение "после".

[Erleker]

EUgeneUS в сообщении #1222699 писал(а):

Непрерывным.

Ну, так ведь отсюда сразу и следует ответ.Зачем еще что-то?

[EUgeneUS]

Erleker в сообщении #1222703 писал(а):

Зачем еще что-то?

Потому что ограниченность банальной эрудиции не позволяет увидеть ответ сразу.
Кстати, если выразить ответ через E и напряжение на катушке до коммутации, получается забавно.