Существуют ли три простых числа?

[Ktina]

Существуют ли три таких различных простых числа $p$, $q$, $r$, что $p^2+10$ делится на $qr$, $q^2+10$ делится на $pr$, а $r^2+10$ делится на $qp$?

Прежде всего, хочу заметить, что автор, по всей видимости, имел в виду именно "попарно различных".
Однако я всё же разберу и этот случай - пусть два из трёх чисел одинаковы, а третье - другое.
Не ограничивая общности, предположим, что $p=q<r$.
Тогда $p^2+10$ должно делиться на $qr$, а значит и на $q$, из чего следует, что $p$ может быть равно только 2 или 5.
Но тогда $r$ может быть равно только 7, а $7^2+10=59$ не кратно ни 2, ни 5.
Мы пришли к противоречию.

Теперь разберёмся с попарно различными.
Не ограничивая общности, предположим, что $p<q<r$.
Поскольку все простые числа являются целыми и положительными, $p^+10$, если он делится на $qr$, должен быть не меньше $qr$, а значит, не меньше $(p+1)(p+2)$. Но их этого немедленно следует, что $p$ может быть равен только 2. Но тогда $2^2+10=14$ нам не подходит, так как делится только на 2 и на 7.
Таким образом, ответ на задачу отрицателен.

Верно ли моё решение (критика приветствуется)?

[Yadryara]

ПМСМ, здесь верно, что решений нет. Только

Ktina в сообщении #1222594 писал(а):

должен быть не меньше $qr$, а значит, не меньше $(p+1)(p+2)$. Но их этого немедленно следует, что $p$ может быть равен только 2.

Не меньше $(p+1)(p+3)$. Так что $p$ не может быть равно даже двум.

[Ktina]

Yadryara
Большое спасибо!