Задачи про лифты

[hedgehogues]

Привет. Я разбираюсь с теорией вероятностей. В связи с этим возникает несколько вопросов. Могли бы Вы проверить несколько моих решений?

Задача раз. В лифт 9-ти этажного дома заходят 4 человека. Какова вероятность, что на 1м этаже выйдет ровно 1 человек?

Решение.
Пусть $A$ -- событие, состоящее в том, что человек выходит из лифта на 1-ом этаже. Тогда $~A$ -- событие, состоящее в том, что человек не выходит на первом этаже. Получим:

$P(A \cdot ~A ^ 3) = P(A)(1 - P(A)) ^ 3 = \dfrac{1}{8}(1 - \dfrac{1}{8})^3$

Задача два. В лифт 9-ти этажного дома заходят 4 человека. Какова вероятность, что на одном из 8 этажей (кроме 1го) выйдет ровно 1 человек?

Решение.
Обозначения те же, с тем дополнением, что A -- выход человека на i-м этаже.

$P(A \cdot ~A ^ 3 + A \cdot ~A ^ 3 + \dots + A \cdot ~A ^ 3) = 8P(A)(1 - P(A)) ^ 3 = 8\dfrac{1}{8}(1 - \dfrac{1}{8})^3 =(1 - \dfrac{1}{8})^3 $


Задача три. В лифт 9-ти этажного дома заходят 4 человека. Какова вероятность, что на одном из 8 этажей выйдут хотя бы 2 человека?

Решение.
Обозначения те же. $B$ -- искомое событие.
Исходя из предыдущей задачи, получим:

$P(B) = 1 - P(A \cdot ~A ^ 3 + A \cdot ~A ^ 3 + \dots + A \cdot ~A ^ 3) = 1 - 8P(A)(1 - P(A)) ^ 3 = 1 - 8\dfrac{1}{8}(1 - \dfrac{1}{8})^3 =1 - (1 - \dfrac{1}{8})^3 $

Замечание к задачам.
Каждый пользователь лифта, независимо от остальных пользователей, с одинаковыми вероятностями выходит на любой из возможных остановок.


Насчёт второй и третьей задач у меня сомнение. Можно ли складывать данные события? Вроде бы да. Кажется, что это можно делать, поскольку события несовместны. Хотя, в том, что они не совместны, я, всё-таки, до конца не могу себя убедить.

[svv]

Скажите, может ли быть такое, что на пятом этаже в лифт садятся четыре человека, двоим надо на первый этаж, а двум другим — на восьмой? Я сам не знаю, но ответ «нет», наверное, повлияет на результат. Замечание к задачам прочитал, а вопрос всё равно остался.

[gris]

(Оффтоп)

svv, о, такое часто бывает. На обеденный перерыв, скажем, все хотят вниз. Самые хитрые <бегут пешком до первого> спускаются на пару этажей, потом едут вверх, а уж потом вниз. Правда, это не с пятого этажа, а, например, с шестнадцатого.

[Лукомор]

hedgehogues в сообщении #1222169 писал(а):

Задача раз. В лифт 9-ти этажного дома заходят 4 человека. Какова вероятность, что на 1м этаже выйдет ровно 1 человек?

Интересное условие!
Они все одновременно заходят, на одном этаже?!
И на каком этаже конкретно?!
Если они все заходят на первом этаже, и лифт едет вверх, то у меня возникают сомнения, что на 1-м этаже вообще кто-то выйдет.
Хотя, есть вариант...
Если они заходят в лифт в подземном паркинге, который в подвале, и едут вверх, то таки-да, кто-то может выйти на первом этаже...
А если они все заходят на 2-м этаже, и лифт едет вниз?! Тогда они все выйдут на первом!

[Aritaborian]

hedgehogues в сообщении #1222169 писал(а):

Задача раз. В лифт 9-ти этажного дома заходят 4 человека.

hedgehogues в сообщении #1222169 писал(а):

Задача два. В лифт 9-ти этажного дома заходят 4 человека.

hedgehogues в сообщении #1222169 писал(а):

Задача три. В лифт 9-ти этажного дома заходят 4 человека.

Во всех трёх случаях все четверо садятся в лифт на девятом этаже? Нееплохо бы указать это явно.

[hedgehogues]

svv в сообщении #1222208 писал(а):

Скажите, может ли быть такое, что на пятом этаже в лифт садятся четыре человека, двоим надо на первый этаж, а двум другим — на восьмой? Я сам не знаю, но ответ «нет», наверное, повлияет на результат. Замечание к задачам прочитал, а вопрос всё равно остался.

Считается, что все садятся на 1м этаже

-- 05.06.2017, 10:55 --

Лукомор в сообщении #1222217 писал(а):

hedgehogues в сообщении #1222169 писал(а):

Задача раз. В лифт 9-ти этажного дома заходят 4 человека. Какова вероятность, что на 1м этаже выйдет ровно 1 человек?

Интересное условие!
Они все одновременно заходят, на одном этаже?!
И на каком этаже конкретно?!
Если они все заходят на первом этаже, и лифт едет вверх, то у меня возникают сомнения, что на 1-м этаже вообще кто-то выйдет.
Хотя, есть вариант...
Если они заходят в лифт в подземном паркинге, который в подвале, и едут вверх, то таки-да, кто-то может выйти на первом этаже...
А если они все заходят на 2-м этаже, и лифт едет вниз?! Тогда они все выйдут на первом!

На 1м этаже, разумеется, никто не выходит. Поэтому рассматриваю 8 вариантов выхода. Лифт всегда едет с 1 этажа.

[Aritaborian]

hedgehogues в сообщении #1222227 писал(а):

На 1м этаже, разумеется, никто не выходит.

hedgehogues в сообщении #1222169 писал(а):

Какова вероятность, что на 1м этаже выйдет ровно 1 человек?

Ну тогда вероятность нулевая.

[hedgehogues]

Aritaborian в сообщении #1222229 писал(а):

hedgehogues в сообщении #1222227 писал(а):

На 1м этаже, разумеется, никто не выходит.

hedgehogues в сообщении #1222169 писал(а):

Какова вероятность, что на 1м этаже выйдет ровно 1 человек?

Ну тогда вероятность нулевая.

Пардон, накосячил. Разумеется, там должно быть написано, что на 2м этаже.

[DeBill]

В условии задачи не сказано, где все это происходит. А это важно: если, например, в России, то - да, на первом никто не выйдет. А вот во Франции - запросто: у них нумерация этажей идет с нуля....

[provincialka]

Все-таки попытки "оживить" вероятностные задачи всегда чреваты... Ну вот понимаю я, что по умолчанию считается, что все этажи равновероятны для выхода человека... Потому что простая учебная задачка...

Но проклятый здравый смысл никак не хочет с этим согласиться.

В общем, в приличной задаче такие вещи должны быть обговорены: что каждый может выйти равновероятно на любом этаже со 2 по 9, независимо друг от друга (а то вдруг они парами едут?)

-- 05.06.2017, 12:34 --

hedgehogues в сообщении #1222169 писал(а):

Пусть $A$ -- событие, состоящее в том, что человек выходит из лифта на 1-ом этаже.

Ну, заменим "1-ом" на "2-ом". Но вы проследили за поведением одного пассажира. А ведь"одним" может оказаться любой из них.
И вообще, следите за обозначениями. Что такое у вас $A^3$? Не указано... Золотое правило ТВ: "события сначала, вероятность -- потом"