Как понять базу

[Someone]

root721 в сообщении #1221838 писал(а):

$\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = A := \forall V_R (A)\qquad \exists \dot{U}_E (a) \qquad (f(\dot{U}_E(a)) \subset V_R(A))$

Ах, вон что. Так ведь для точки $A$ берётся база непроколотых окрестностей. Иначе постоянная функция не будет иметь предела. А для точки $a$ — база проколотых окрестностей, поскольку само понятие предела, мне кажется, наиболее интересно в том случае, когда $f(a)$ не определено.

Кстати, подумайте, что получится, если для точки $a$ тоже взять базу непроколотых окрестностей.

[george66]

Начнём с понятия "идеал". Идеал -- это совокупность "маленьких" подмножеств некоторого множества $X$. Например, конечные подмножества натурального ряда образуют идеал. Идеал задаётся такими аксиомами:
1)Объединение двух множеств идеала принадлежит идеалу (например, объединение двух конечных множеств конечно). Из этого следует, что объединение любого конечного числа множеств идеала принадлежит идеалу.
2)Если множество принадлежит идеалу, то и любое меньшее множество принадлежит идеалу.
3)Нетривиальность: есть хоть одно множество в идеале, есть хоть одно множество, не принадлежащее идеалу. В силу второй аксиомы это равносильно тому, что $\emptyset$ принадлежит идеалу, а всё $X$ не принадлежит.
Идеал удобно задавать с помощью базы. Например, рассмотрим подмножества натурального ряда вида $\{n\mid n\leqslant k\}$ для разных $k=0,1,2\ldots$ Это база. Объединение двух множеств базы опять будет множеством базы. Семейство всех подмножеств множеств базы образует идеал (конечных подмножеств натурального ряда). На самом деле, от базы требуется более слабое условие: для любых двух множеств базы их объединение включено в некоторое множество базы.
Двойственно к идеалу понятие фильтр. Фильтр -- это семейство множеств "с малыми дополнениями". Подмножества натурального ряда с конечными дополнениями образуют фильтр.
1)Пересечение двух множеств фильтра принадлежит фильтру.
2)Если множество принадлежит фильтру, то любое большее множество принадлежит фильтру.
3)Нетривиальность.
Фильтр удобно задавать с помощью базы.

[root721]

kp9r4d в сообщении #1221844 писал(а):

root721 в сообщении #1221829 писал(а):

В определении одна окрестность проколотая, другая нет. Почему? И почему именно проколотая проколота?

Хмм, а вы понимаете определение предела числовых функция на $\varepsilon,\delta$ языке и почему там требуется $0<|x-x_0|<\delta$ а не $|x-x_0|<\delta$?

Явно не так хорошо как вы. Что нужно прочитать чтобы понимать лучше?

[kp9r4d]

root721 в сообщении #1221847 писал(а):

Явное не так хорошо как вы. Что нужно прочитать чтобы понимать лучше?

Да ничего, наверное, просто помедетировать немного. Скажем, нам бы хотелось, чтобы равенство $\lim_{x \to 0}|\operatorname{sign}(x)| = 1$ было формально верным. Будет ли оно верным, если требовать $|x-x_0| < \delta$, а не $0 < |x-x_0|< \delta$?

[root721]

kp9r4d в сообщении #1221848 писал(а):

root721 в сообщении #1221847 писал(а):

Явное не так хорошо как вы. Что нужно прочитать чтобы понимать лучше?

Скажем, нам бы хотелось, чтобы равенство $\lim_{x \to 0}|\operatorname{sign}(x)| = 1$ было формально верным. Будет ли оно верным, если требовать $|x-x_0| < \delta$, а не $0 < |x-x_0|< \delta$?

Как-то неправильно выглядит

[kp9r4d]

Что именно? Под $\operatorname{sign}$ я понимаю

$$\operatorname{sign}(x)=\begin{cases} 1,&\text{если $x>0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ -1,&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

написал так специально, чтобы не вспоминать как техать кусочные функции, а вы заставили вспомнить всё равно. >:

[root721]

$$\lim\limits_{x \to 0} sign(0) \ne 1$$

Надо больше внимание уделить практике по пределам.

[kp9r4d]

У меня там $|\operatorname{sign}(x)|$.

Если вы говорите про базы, то занимаетесь по первому тому Зорича, скорее всего. Попробуйте ещё раз проработать примеры 8-12 из параграфа IV.1

[root721]

kp9r4d в сообщении #1221856 писал(а):

У меня там $|\operatorname{sign}(x)|$.

Если вы говорите про базы, то занимаетесь по первому тому Зорича, скорее всего. Попробуйте ещё раз проработать примеры 8-12 из параграфа IV.1

да.

[arseniiv]

root721 в сообщении #1221826 писал(а):

Но судя из вашего сообщения, мне следует больше уделять внимание практике?

По крайней мере, обычно недостаточно читать учебник математики, физики или подобный просто как роман. Конечно, многие художественные тексты тоже заставляют подумать, но обычно авторы имеют в виду, что их не будут читать с бумагой и ручкой; для учебника же это необходимость — иначе в голове не уложится; автор учебника вынужден «запаковывать» информацию, чтобы книга вообще была обозримого размера, и надеяться на то, что читатель распакует её у себя. Это довольно общее место, тут я ничего нового не сказал.