Геометрическое место точек

[dima_1985]

Здравствуйте! Определить геометрическое место хорд сферы $(x-1)^2+(y-4)^2+(z+1)^2=25$ делящихся точкой $M(3,5,1)$ пополам. Решение: Возьмем точку на сфере с координатами $K_1(x,y,z)$ симметричная ей точка будет $K_2(6-x,10-y,2-z)$. По поводу симметрии это только со сферой пройдет, для эллипса это не верно? Точки принадлежат сфере
$ \left\{ \begin{array}{rcl} (x-1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2&=&25 \\ (6-x-1)^2+(10-y-4)^2+(2-z+1)^2&=&25 \\ \end{array} \right. $. Как получить третье уравнение не знаю? Если найти третье уравнение, то все просто.
1)Найдем точки.
2) По трем точкам найдем плоскость.
3)Найдем пересечение сферы с плоскостью получим радиус окружности, а центр окружности точка $M$.

[iifat]

dima_1985 в сообщении #1220996 писал(а):

Найдем точки

Сколько именно точек вы рассчитываете найти, решив три уравнения с тремя неизвестными?

dima_1985 в сообщении #1220996 писал(а):

По трем точкам найдем плоскость

А попробуйте решить аналогичную задачу на плоскости. Возможно, вы заметите интересный факт.

[gris]

Вообще говорят "геометрическое место точек". Может быть, концов хорд?
Со сферой ситуацию легко представить именно по соображениям симметрии. Вы же писали про нужную плоскость. Через какую точку она проходит и перпендикулярно какому вектору? Уравнение написать нетрудно. Ну а в системе с уравнением сферы и будет искомое пересечение.

[provincialka]

dima_1985 в сообщении #1220996 писал(а):

Как получить третье уравнение не знаю?

А зачем оно вам? Что описывает ваша система уравнений? В смысле, какую задачу решает.
И, кстати, вы ее решить/упростить пытались?

[dima_1985]

gris в сообщении #1221040 писал(а):

Вообще говорят "геометрическое место точек". Может быть, концов хорд?

. Проверил написано геометрическое место хорд сферы.Найдем $OM(3-1,5-4,1+1)$. По вектору и точки построим плоскость $2(x-3)+1(y-5)+2(z-2)=0$. Пересечение плоскости и сферы $\left\{ \begin{array}{rcl} (x-1)^2+(y-4)^2+(z+1)^2&=&25 \\ 2x+y+2z-13&=&0 \\ \end{array} \right.$.Получим $5x^2+5z^2-38x-34z+8zx+58=0$ эллипс.

iifat в сообщении #1221036 писал(а):

Сколько именно точек вы рассчитываете найти, решив три уравнения с тремя неизвестными?

Хотел 2.

iifat в сообщении #1221036 писал(а):

А попробуйте решить аналогичную задачу на плоскости. Возможно, вы заметите интересный факт

На плоскости будет пересечение окружностей, в пространстве пересечение сфер

provincialka в сообщении #1221055 писал(а):

Что описывает ваша система уравнений?

Описывает плоскость пересечение двух сфер?

provincialka в сообщении #1221055 писал(а):

И, кстати, вы ее решить/упростить пытались?

Да, получил ту же плоскость.

[provincialka]

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

Описывает плоскость пересечение двух сфер?

Ну, я имела в виду -- в терминах исходной задачи. Ведь $(x, y, z)$ -- координаты точки, которая и сама лежит на сфере, и (в силу второго уравнения) противоположная точка лежит на ней же. То есть тройки $(x, y, z)$ пробегают ГМТ концов искомых хорд.
И где они все лежат?

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

$2(x-3)+1(y-5)+2(z-2)=0$.

На плоскости! Так где же лежат сами хорды?

[Sinoid]

dima_1985 в сообщении #1220996 писал(а):

Возьмем точку на сфере с координатами $K_1(x,y,z)$ симметричная ей точка будет $K_2(6-x,10-y,2-z)$.

Вообще, в таких случаях у координат точек лучше писать индексы.

dima_1985 в сообщении #1220996 писал(а):

для эллипса это не верно?

Почему?

[Someone]

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

Проверил написано геометрическое место хорд сферы

Тогда, вероятно, надо написать что-нибудь типа "множество диаметров окружности, полученной пересечением того-то и того-то". Но я не настаиваю, потому что действительно обычно говорят о геометрическом месте точек.

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

Получим $5x^2+5z^2-38x-34z+8zx+58=0$ эллипс.

Это как же надо пересечь сферу и плоскость, чтобы получить эллипс?

dima_1985 в сообщении #1220996 писал(а):

1)Найдем точки.
2) По трем точкам найдем плоскость.

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

iifat в сообщении #1221036 писал(а):

Сколько именно точек вы рассчитываете найти, решив три уравнения с тремя неизвестными?

Хотел 2.

???

[Sinoid]

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

Получим $5x^2+5z^2-38x-34z+8zx+58=0$ эллипс.

Уравнение неверно. И в системе второе уравнение ошибочно.

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

Описывает плоскость пересечение двух сфер?

У вас по условию одна сфера.

-- 01.06.2017, 20:40 --

Само уравнение

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

$5x^2+5z^2-38x-34z+8zx+58=0$

разве эллипс

[iifat]

Sinoid в сообщении #1221147 писал(а):

Вообще, в таких случаях у координат точек лучше писать индексы

Вот тут не понял. Чем именно лучше? И где именно, во имя всех богов, должны стоять упомянутые индексы? $x_1, x_2, x_3$?

Sinoid в сообщении #1221160 писал(а):

У вас по условию одна сфера

ТС проводит центральную симметрию относительно точки. При этом хорда перейдёт в себя, сфера — в другую сферу.
dima_1985: даже не знаю, что и посоветовать. Вам, похоже, стоило б подучить геометрию — не аналитическую, для развития интуиции. Ну просто чтоб, глядя на полученную систему, сразу понимать, что $2x+y+2z-13=0$ — это и есть уравнение плоскости, в которой лежит окружность. Или соединить центры двух окружностей/сфер, посмотреть на чертёж и сразу увидеть решение. Впрочем, и ваше подойдёт, если вы вспомните, что а) добропорядочная система из трёх уравнений относительно трёх же неизвестных имеет ровно одно решение (да, я знаю, что от нуля до бесконечного количества, но я ж сказал — добропорядочная) и б) кривая в пространстве не задаётся одним уравнением; либо два уравнения поверхностей, кои, пересекаясь, дают кривую, либо три параметрических.

Someone в сообщении #1221151 писал(а):

Это как же надо пересечь сферу и плоскость, чтобы получить эллипс?

Подозреваю, выразив $y$ из второго уравнения и подставив в первое, ТС получил проекцию окружности. Ну или же эллиптический цилиндр.

[BVR]

Цитата:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} (x-1)^2+(y-4)^2+(z+1)^2&=&25 \\ 2x+y+2z-13&=&0 \\ \end{array} \right.$$

.

наверное, это и есть почти ответ. Пересечение сферы и плоскости - окружность. Ну а множество хород - круг. Не надо ничего никуда подставлять. ну, можно в уравнении сферы вместо знака равнста поставить меньше или равно.

[iifat]

BVR в сообщении #1221180 писал(а):

наверное, это и есть ответ

Зависит от вопроса. Если надо получить уравнение окружности, то да, это оно и есть. Для вычисления радиуса надо ещё чуток поработать.

[BVR]

Я там маленько подредактировал

-- Чт июн 01, 2017 23:04:10 --

iifat в сообщении #1221184 писал(а):

BVR в сообщении #1221180 писал(а):

наверное, это и есть ответ

Зависит от вопроса. Если надо получить уравнение окружности, то да, это оно и есть. Для вычисления радиуса надо ещё чуток поработать.

Там дедушка Пифагор поможет.

[iifat]

(Оффтоп)

BVR в сообщении #1221188 писал(а):

Там дедушка Пифагор поможет

Добрый он, дедушка Пифагор. Побольше б нам таких дедушек!

[Sinoid]

iifat в сообщении #1221177 писал(а):

$x_1, x_2, x_3$?

Я совсем не про то.
Когда мы пишем

dima_1985 в сообщении #1220996 писал(а):

$(x-1)^2+(y-4)^2+(z+1)^2=25$

, мы имеем ввиду множество точек. Но, когда мы начинаем рассуждать

dima_1985 в сообщении #1220996 писал(а):

Возьмем точку на сфере с координатами $K_1(x,y,z)$ симметричная ей точка будет $K_2(6-x,10-y,2-z)$. ...

, мы подразумеваем, что в упомянутом множестве точек фиксируется определенная точка и все рассуждения начинают крутиться вокруг этой точки ($M_{0}(x_{0},\, y_{0},\, z_{0})$)