Сравнить мощности множеств (числовых последовательностей)

[knkpro]

Задача такая:

"Сравнить между собой мощности следующих множеств:

A- множество всевозможных бесконечных последовательностей действительных чисел.
B- множество всевозможных бесконечных последовательностей рациональных чисел.
C -множество всевозможных монотонных сходящихся последовательностей действительных чисел.
Ответ обосновать."

Вот мое решение:

\[ \begin{gathered} card(A) = (card(\mathbb{R}))^{card(\mathbb{N})} = c^{\aleph _0 } = 2^{\aleph _0 .\aleph _0 } = 2^{\aleph _0 } = c \hfill \\ card(B) = (card(\mathbb{Q}))^{card(\mathbb{N})} = \aleph _0 ^{\aleph _0 } = 2^{\aleph _0 } = c \hfill \\ card(C) \leqslant (card(\mathbb{R}))^{card(\mathbb{N})} = c \hfill \\ D = \left\{ {(x,x,...)|x \in \mathbb{R}} \right\} \Rightarrow card(D) = card(\mathbb{R}) = c \hfill \\ D \subseteq C \Rightarrow card(C) \geqslant c \hfill \\ = > card(C) = c \hfill \\ \end{gathered} \]

Значит эти множества равномощны. Верно ли это?

[Профессор Снэйп]

Первое абсолютно правильно, за исключением опечатки: вместо $2^{\aleph_0 . \aleph_0}$ вероятно должно быть $2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0}$ (точка в произведении ставится в середине, а не снизу).

Во второй задаче ответ верный. Непонятно, на основании чего сделан переход $\aleph_0^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$, хотя равенство, безусловно, справедливо.

Третья тоже верно, если под монотонностью понимать нестрогую монотонность. Ну а если строгую, то надо чуть-чуть по другому $D$ определить.

[Echo-Off]

Вставлю свои 5 коп:
Во-первых, надо говорить не $c$, а $\mathfrak{c}$
Во-вторых, $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} \leqslant \aleph_0^{\aleph_0} \leqslant \mathfrak{c}^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$, отсюда по теореме, кажется, Кантора-Бернштейна получаем $2^{\aleph_0} = \aleph_0^{\aleph_0}$