2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сравнить мощности множеств (числовых последовательностей)
Сообщение23.05.2008, 20:33 


22/05/08
10
Задача такая:

"Сравнить между собой мощности следующих множеств:

A- множество всевозможных бесконечных последовательностей действительных чисел.
B- множество всевозможных бесконечных последовательностей рациональных чисел.
C -множество всевозможных монотонных сходящихся последовательностей действительных чисел.
Ответ обосновать."

Вот мое решение:

\[
\begin{gathered}
  card(A) = (card(\mathbb{R}))^{card(\mathbb{N})}  = c^{\aleph _0 }  = 2^{\aleph _0 .\aleph _0 }  = 2^{\aleph _0 }  = c \hfill \\
  card(B) = (card(\mathbb{Q}))^{card(\mathbb{N})}  = \aleph _0 ^{\aleph _0 }  = 2^{\aleph _0 }  = c \hfill \\
  card(C) \leqslant (card(\mathbb{R}))^{card(\mathbb{N})}  = c \hfill \\
  D = \left\{ {(x,x,...)|x \in \mathbb{R}} \right\} \Rightarrow card(D) = card(\mathbb{R}) = c \hfill \\
  D \subseteq C \Rightarrow card(C) \geqslant c \hfill \\
   =  > card(C) = c \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Значит эти множества равномощны. Верно ли это?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.05.2008, 20:44 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Первое абсолютно правильно, за исключением опечатки: вместо $2^{\aleph_0 . \aleph_0}$ вероятно должно быть $2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0}$ (точка в произведении ставится в середине, а не снизу).

Во второй задаче ответ верный. Непонятно, на основании чего сделан переход $\aleph_0^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$, хотя равенство, безусловно, справедливо.

Третья тоже верно, если под монотонностью понимать нестрогую монотонность. Ну а если строгую, то надо чуть-чуть по другому $D$ определить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.05.2008, 21:41 
Аватара пользователя


23/09/07
364
Вставлю свои 5 коп: :D
Во-первых, надо говорить не $c$, а $\mathfrak{c}$ :P
Во-вторых, $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} \leqslant \aleph_0^{\aleph_0} \leqslant \mathfrak{c}^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$, отсюда по теореме, кажется, Кантора-Бернштейна получаем $2^{\aleph_0} = \aleph_0^{\aleph_0}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group