Способна ли электротехника помочь арифметике?

[Свободный Художник]

Интерпретируем лучи на Клейновском “звездном небе”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html

как вольт-амперные характеристики пассивных линейных двухполюсников (резисторов). О вольт-амперных характеристиках см., например, здесь:
http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture01/lecture01.html
Тогда получается, что все теоретико-числовые конструкции, которые можно показать на “небе”, можно показать и на электроцепях (постоянного тока).
Но может быть и обратное движение: какие-то специфические законы электротехники могут получить интерпретацию на “звездном небе” и стать, таким образом, теоретико – числовыми законами (законами арифметики положительных рациональных чисел).

Например, такие электротехнические девайсы как “аттенюаторы”:
http://www.px-pict.com/10/5/1/1/2.html

можно трактовать как положительные рациональные числа, представленные своими “нормальными формами” (при условии, что величины сопротивлений, входящих в аттенюаторы, выражаются натуральными числами):
http://forum.arbuz.uz/index.php?showtopic=1788
-------------------

Вопрос, значит, в том, могут ли законы резистивных цепей постоянного тока стать законами арифметики положительных рациональных чисел?

[STilda]

Свободный Художник в сообщении #243047 писал(а):

Вопрос, значит, в том, могут ли законы резистивных цепей постоянного тока стать законами арифметики положительных рациональных чисел?

Интересный момент в том, что для записи вот этих законов постоянного тока как раз и используется арифметические законы. Так что в некотором роде это не законы токов а все те же законы математики.

[Свободный Художник]

Не совсем так. Электротехника может обратить внимание Арифметики на те операции, которые она ранее в себе не замечала. На такой, например, набор операций:

Свободный Художник в сообщении #144753 писал(а):

... если определить систему: $\mathbf{Q^+} =\: <\! \mathrm{Q^+}, \bullet\,, \circ\,, \overline{\phantom{a}} >$,
где $\mathrm{Q^+}$ есть множество положительных рациональных чисел;
$\bullet$ есть бинарная операция на множестве $\mathrm{Q^+}$, определяемая как $x \bullet y = x + y$;
$\circ$ есть бинарная операция на множестве $\mathrm{Q^+}$, определяемая как $x \circ y = \dfrac{xy}{x + y}$;
$\overline{\phantom{a}}$ есть унарная операция на множестве $\mathrm{Q^+}$, определяемая как $\overline{x} = \dfrac1{x}$;
то в системе $\mathbf{Q^+}$ будут справедливы многие законы, имеющие место быть в булевой алгебре, например, законы де Моргана: $\overline{x \bullet y} = \overline{x} \circ \overline{y}$ и $\overline{x \circ y} = \overline{x} \bullet \overline{y}$.

И сказать: “Именно в этом наборе операций твоя суть, Арифметика”.

Причем, именно электротехника это обязана сделать, поскольку для электротехники эти операции являются “родными”:

Свободный Художник в сообщении #145006 писал(а):

У системы $\mathbf{Q^+}$ есть несколько интересных интерпретаций, в том числе очевидная “электротехническая” интерпретация, в которой операция $\bullet$ ассоциируется с последовательным соединением проводников, а операция $\circ$ ассоциируется с параллельным соединением проводников.

[STilda]

А привидите пример из электротехники, который моделируется арифметикой в которой $A+B=C, A+C=B,B+C=A,A+B+C=0$

[Свободный Художник]

А пожалуйста.
В качестве A, B, C берем двухполюсники нулевого сопротивления из работы:
Шестаков В. И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем).
Журнал технической физики, 1941, Т.11, № 6, сс. 532 — 549:
http://www.px-pict.com/9/6/4/5/3/3/1.html

Соединяем их в соответствии с приведенными Вами формулами. Все получается.
-----------------

А вообще, моя идея была в том, чтобы в арифметике положительных рациональных чисел в качестве “основных” выбрать иной набор операций, по сравнению с тем набором, который обычно выбирается. И сделать это для того, чтобы вскрыть объективно имеющуюся в системе положительных рациональных чисел внутреннюю симметрию, усмотреть и исследовать которую было бы труднее при “традиционном” наборе основных операций.

Фрагментарно я уже пытался поднять эту “электротехническую” тему, но здесь хотелось бы развить ее более систематически.

Свободный Художник в сообщении #175655 писал(а):

Свободный Художник писал(а):

... естественно расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$, заставив действовать на ее множестве-носителе $\mathrm{Q^+_{\, 0,\: \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ свободную полугруппу строк
$\mathbf{S_{\, V,\: H}} =\: <\!\{V, H\}^+,\, \cdot >$,
где $\{V, H\}^+$ есть множество всех строк в алфавите $\{V, H\}$,
$\cdot$ есть операция конкатенации строк (которую при записи термов будем, как правило, опускать).

Т. е. расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ до системы
$\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}} =\: <\!\mathbf{S_{\, V,\: H}} \,,\: \mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}\,, \: *\, >$,
где $*$ есть операция “действия”:
для любых чисел $x, y$, принадлежащих $\mathrm{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ и для любой строки $\varphi$, принадлежащей $\{V, H\}^+$,
запись $y = \varphi * x$ означает, что число $y$ является результатом действия строки $\varphi$ на число $x$.

Смысл операции $*$ действия определяется смыслом определенных в предыдущих постах операторов $V$ и $H$; например, если $x = 2/3$ и $\varphi = HV$, то $\varphi * x = HV*(2/3) = H(V(2/3)) = 7/5$.
Далее вместо $y = \varphi * x$ будем также писать $y = \varphi(x)$.

Двойственность в системе $\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}}$ (или в системе $\mathbf{SR^+_{\, 0,\: \infty}}$) естественно связать с двойственностью в электротехнике:
http://en.wikipedia.org/wiki/Duality_(electrical_circuits),
поскольку система $\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}}$ (или $\mathbf{SR^+_{\, 0,\: \infty}}$) допускает естественную “электротехническую” интерпретацию.

Действительно, отметим прежде всего, что система $\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}}$ -- это “двухсортная” система, в которой имеются объекты двух сортов: строки символов в алфавите $\{V, H\}$ и числа из $\mathrm{Q^+_{\, 0,\: \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ (аналогично тому, как в векторных пространствах имеются объекты двух сортов: скаляры и векторы).

При электротехнической интерпретации мы интерпретируем строки символов в алфавите $\{V, H\}$ как “четырехполюники”, а числа из $\mathrm{Q^+_{\, 0,\: \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ -- как “двухполюсники” (число $x$ из $\mathrm{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ интерпретируется как сопротивление соответствующего двухполюсника, в частности, $0$ интерпретируется как двухполюсник короткого замыкания, а $\infty$ -- как двухполюсник холостого хода).

Операция $\bullet$ интерпретируется как операция последовательного соединения двухполюсников,
операция $\circ$ интерпретируется как операция параллельного соединения двухполюсников,

выражение $\varphi * x = \varphi(x)$ с фундаментальной для системы $\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}}$ операцией $*$ “действия” интерпретируется как четырехполюсник $\varphi$, нагруженный на сопротивление $x$;
в частности $\varphi(0)$ обозначает четырехполюсник $\varphi$ в режиме короткого замыкания, а выражение $\varphi(\infty)$ -- четырехполюсник $\varphi$ в режиме холостого хода.
-------------------------------

Оказывается, такого рода “алгебры двухполюсников и четырехполюсников” активно изучались:

Шестаков В. И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем)//Автоматика и телемеханика, 1941, № 2. — С. 15-24.
(об этой работе см.. в Бажанов В. А.
В.И. Шестаков и К. Шеннон. Разные судьбы творцов одной красивой идеи // Вопросы истории естествознания и техники, 2005, № 2. С. 112—121:
http://www.ulsu.ru/staff/homepages/bazhanov/russian/Viet_Shes05.pdf)

Телешев Юрий Владимирович
Алгебры пассивных двухполюсников:
http://ito.edu.ru/2000/II/3/391.html

[STilda]

Что то не получается походить по ссылкам начиная с

Свободный Художник в сообщении #244369 писал(а):

Шестаков В. И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем). Журнал технической физики, 1941, Т.11, № 6, сс. 532 — 549:http://www.px-pict.com/9/6/4/5/3/3/1.html

.
Поэтому задам вопросы здесь.

1. Что значит двухполюсник нулевого сопротивления? такие бывают в реальности или это идеализация?
2. Под буквами будут пониматься двухполюсники а под операциями их соединения?
3. Можно ли тогда говорить о $A+A=0$? Что значит для двухполюсников $A+A$?

[Свободный Художник]

STilda в сообщении #244750 писал(а):

Что то не получается походить по ссылкам начиная с

Свободный Художник в сообщении #244369 писал(а):

Шестаков В. И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем). Журнал технической физики, 1941, Т.11, № 6, сс. 532 — 549:http://www.px-pict.com/9/6/4/5/3/3/1.html

.

А почему? Конечно, эти страницы несколько тяжеловаты и если у Вас медленный интернет, то придется подождать пока они загрузятся.

STilda в сообщении #244750 писал(а):

1. Что значит двухполюсник нулевого сопротивления? такие бывают в реальности или это идеализация?

Конечно, идеализация. Резистор с номинальным сопротивлением 5,1 кОм – тоже идеализация, т. к. его реальное сопротивление может отличаться от номинального в пределах допуска.

STilda в сообщении #244750 писал(а):

2. Под буквами будут пониматься двухполюсники а под операциями их соединения?
3. Можно ли тогда говорить о $A+A=0$? Что значит для двухполюсников $A+A$?

$A + A$ означает двухполюсник (в качестве двухполюсников мы рассматриваем только резисторы), полученный путем последовательного соединения двух одинаковых двухполюсников $A$. Его сопротивление равно удвоенному сопротивлению двухполюсника $A$.

В общем случае выражения, составленные из переменных и символов операций $\bullet$ и $\circ$ (я использую символ $\bullet$ вместо $+$, а символ $\circ$ для операции, определенной выше) обозначают электрическую схему, построенную из резисторов с номиналами, отвечающими переменным, путем последовательного и параллельного соединений.

Разные схемы могут иметь одинаковые сопротивления, что и определяет “законы” нашей алгебры с двумя операциями $\bullet$ и $\circ$. Более подробно у Шестакова:
Взаимнооднозначное соответствие между А-схемами и А-выражениями:
http://www.px-pict.com/9/6/4/5/3/3/1/2.html
(только он использует другие символы для обозначения основных операций “алгебры двухполюсников”: $\bullet$ для последовательного соединения и $+$ -- для параллельного соединения)

[Кардановский]

Свободный Художник: Вам бы эту тему то открыть во времена создания первых ЭВМ!

[Свободный Художник]

А ведь дело гораздо серьезнее, Кардановский. И первые ЭВМ здесь совершенно ни при чем.
Речь-то на самом деле идет не более и не менее, как о ключевых тенденциях человеческого мышления! Здесь уже становится не до шуток.

Вот посмотрите, пожалуйста. Даже на самых элементарных примерах. Все время было: пол да пол, пол да пол, пол да пол… И вдруг – бац! Появляется потолок:
http://www.px-pict.com/10/5/2.html
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика (основание информатики).
М.: Мир, 1998, сc. 88 — 91.

А почему он “вдруг” появляется? Да потому, что невмоготу уже стало. Ну не может существовать пол без своего “дуального братика” – без потолка. Все это, конечно, просто еще одно проявление концепции инь и ян:
http://www.px-pict.com/10/4/2/1/3.html

Аналогично, и операции сложения в арифметике давно уже было пора удвоиться. Выйти замуж или жениться. По все той же “ключевой тенденции человеческого мышления” (конечно, мы понимаем при этом, что операции умножения удваиваться не надо, поскольку она самодвойственна).
И то, что именно электротехника подсказывает (чистой) арифметике путь к правильному развитию, делает ей (электротехнике) честь.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #265150 писал(а):

конечно, мы понимаем при этом, операции умножения удваиваться не надо, поскольку она самодвойственна

Можно ли это не слишком сложно растолковать тому, кто не понимает?

[nibenimed]

Свободный Художник в сообщении #243047 писал(а):

Вопрос, значит, в том, могут ли законы резистивных цепей постоянного тока стать законами арифметики положительных рациональных чисел?

я как-то считал макроэкономику (цены на золото, доллары, нефть, товары) за треть века используя представление объектов как части одной электрической схемы, проще говоря просчитывал экономику с помощью закона ома для полной цепи... много интересного узнал, и получилась корреляция к годам всяких исторических экономических событий.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

commator, поднятие тем восьмилетней давности (да даже и восьмимесячной), и особенно спорных, называется некропостингом и на этом форуме не приветствуется.

[grizzly]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1219147 писал(а):

commator, поднятие тем восьмилетней давности (да даже и восьмимесячной), и особенно спорных, называется некропостингом и на этом форуме не приветствуется.

Добровольные услуги по модерированию как бы тоже А мне тема понравилась. В те времена меня на форуме ещё не было, так что я из шкурных интересов благодарен за подъём темы.

[commator]

commator в сообщении #1219134 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #265150 писал(а):

конечно, мы понимаем при этом, операции умножения удваиваться не надо, поскольку она самодвойственна

Можно ли это не слишком сложно растолковать тому, кто не понимает?

Наивный взгляд на операцию умножения двоит её в операции деления. Как не наивно увидеть, что по закону Ома она самодвойственна?

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Мд)» в форум «Пургаторий (Мд)»
Причина переноса: перенёс в соответствующий раздел.