Обратные элементы похожи на случайную перестановку?

[fractalon]

Заметил экспериментально, что если рассмотреть последовательность $a_1, a_2, \dots, a_{p-1}$, где $i a_i \equiv 1 \pmod p$ для просто $p$, то она по некоторым статистическим данным похожа на случайную перестановку - например, для половины значений $i$ будет $a_i < a_{i+1}$, а для половины $a_i > a_{i+1}$. Если брать кортежи из трёх последовательных элементов и их $\argsort$ (перестановку, которую нужно применить чтоб стали отсортированными), то каждого возможного argsort-а тоже становится поровну при больших $p$.
Разницы соседних элементов тоже почти равномерно распределены на интервале $[-p;p]$ (то есть если взять все эти разности и упорядочить по возрастанию, то будет порядка $O(\log{p})$ возможных значений разности между соседними элементами этого массива).
Но это всё эксперименты, а математические результаты подобные есть? Наверняка же есть.

[g______d]

fractalon в сообщении #1156486 писал(а):

по некоторым статистическим данным похожа на случайную перестановку

По каким-то, может быть, и похожа, но в целом она очень далека от случайной перестановки. Например, подумайте, какие там могут быть циклы.

[fractalon]

На пользу возможным забредшим любопытствующим оставлю здесь найденное недавно решение давно поставленного тут вопроса о равномерном распределении разностей элементов, обратных к соседним, то есть $(a+1)^{-1}-a^{-1} \pmod p$.
Заметим, что
$(a+1)^{-1}-a^{-1}=((a+1)^{-1} - a^{-1})((a+1)-a) = 2 - \frac{a+1}{a} - \left({ \frac{a+1}{a} }\right)^{-1}$.
Покажем, что все значения $\frac{a+1}{a}$ для $a=1, \dots, p-1$ различны. Действительно, если
$\frac{a+1}{a}=\frac{b+1}{b}$,
то
$ab+b=ab+a$
$a=b$
Таким образом, можно свести вопрос о равномерном распределении $(a+1)^{-1} - a^{-1}$ к вопросу о распределении $a+a^{-1}$, а он уже решается через общеизвестные суммы Клоостермана.
Так что, действительно, в смысле своей (если можно так выразиться) "производной" перестановка вполне случайна.

Точно так же можно раскрыть распределение $(a+h)^{-1} - a^{-1}$ для любого $h$.