Найти коэффициент корреляции (Вероятности и статистика)

[KonstantinYurlov]

Всем привет, возникли сложности с решением следующего задания:
Случайная величина $X$ распределена по закону $N(l, l)$. Вычислить коэффициент корреляции между $X$ и $X^2$.
$m_x=1$, $\sigma_x=1$,

$$\rho(x, x^2)=\frac {cov(x,x^2)}{\sigma_x \sigma_{x^2}}= \frac {M(x\cdot x^2) - M(x) M(x^2)}{\sigma_x \sqrt{D(x^2)}} = \frac {M(x^3) - M(x^2)}{ \sqrt{D(x^2)}} = $$

$$ = \frac {M(x^3) - M(x^2)}{ \sqrt{M(x^2 - M(x^2))^2}} = \frac {M(x^3) - M(x^2)}{ \sqrt{M(x^4 ) - ( M(x^2))^2}} $$

Затем я попытался расписать каждое матожидание через интегралы либо через формулу суммы. Далее в обоих случаях выражение принимает монструозный вид, и закрадываются сомнения, правильный ли я выбрал подход. Просьба подсказать, в каком направлении нужно копать.

-- 20.05.2017, 21:54 --

Нашёл волшебное свойство: $M^2[XY] = M[X^2] \cdot M[Y^2]$.

-- 20.05.2017, 22:14 --

К сожалению, свойство справедливо только для независимых случайных величин, и в моём случае не подойдёт :(

[Grabovskiy]

KonstantinYurlov в сообщении #1217650 писал(а):

$m_x=1$, $\sigma_x=1$,

Если Вам известны и мат. ожидание, и дисперсия гауссовской с.в., то все остальные моменты Вам должны быть тоже известны.

[Евгений Машеров]

Ну, я бы попробовал представить $x=\eta+m_x$ (у эты нулевое матожидание) и всё сильно упростилось бы...

[Евгений Машеров]

Ответ для проверки - корень квадратный из двух третьих...