Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов

[Cos(x-pi/2)]

Да. (Хорошо бы, конечно, поправить опечатку: в средних частях равенств для матриц $L_L, \, L_R$ потерялась матрица $\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma};$ но если "правка" не работает, то уж ладно).

[Ascold]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1217050 писал(а):

хорошо бы поправить опечатку

К сожалению, уже не получается.

Цитата:

3) Пытаемся выяснить, как этот левый ток преобразуется под действием буста:
$\mathbf{j'}_L=-u'^+\boldsymbol{\sigma}u'=-(L_Lu)^+\boldsymbol{\sigma}(L_Lu)=-u^+(L_L\boldsymbol{\sigma}L_L)u \, .$

Расчёт показал, что

$$\mathbf{j'}_L=-u^+\left(\boldsymbol{\sigma}-\frac{p}{m}\mathbf{n}+\frac{E-m}{m}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}\right)u=-u^+\left(-\frac{p}{m}\mathbf{n}+\frac{E}{m}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}+\boldsymbol{\sigma}-(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}\right)u,$$

т.е., с учётом предыдущего пункта,

$$\mathbf{j'}_L=\frac{\rho\mathbf{V}+\mathbf{j}_{L||}}{\sqrt{1-V^2}}+\mathbf{j}_{L\perp}}.$$

Цитата:

Кстати, после этого подумайте, как убедиться в том, что рассматриваемый здесь в общем виде 4-ток $(\rho, \, \mathbf{j})$ соответствует движению именно со скоростью света.

4-ток должен иметь нулевой модуль - завтра попробую это доказать.

[Ascold]

Итак, если компоненты левого спинора обозначить $u_1$ и $u_2,$ то

$$j_x=-u^+\sigma_xu=-u_1u_2^*-u_1^*u_2,$$

$$j_y=-u^+\sigma_yu=-i(u_2^*u_1-u_1^*u_2),$$

$$j_z=-u^+\sigma_zu=-|u_1|^2+|u_2|^2,$$

отсюда легко получается

$$|j^{(4)}|^2=\rho^2-j_x^2-j_y^2-j_x^z=0.$$

У меня по ходу расчёта возник такой вопрос - обязательно ли было вычислять и квадрировать компоненты, вдруг можно было проще - сразу доказать, что $|\mathbf{j}|^2=|-u^+\boldsymbol{\sigma}u|=|u^+u|^2 \ ?$
У меня не получилось в общем виде.

[Cos(x-pi/2)]

Да, верно. Можно и в общем виде, если Вы уже убедились раньше, что вектор, определяемый равенством $2\mathbf{s}=(u^+\boldsymbol{\sigma}u)/(u^+u)$ есть единичный вектор (другими словами, если Вы уже убедились раньше, что величина вектора спина $\mathbf{s}$ в случае двухкомпонентного спинора всегда равна $1/2).$

Небольшое замечание: лучше квадрат 4-вектора обозначать именно как квадрат или как свёртку по двум 4-векторным индексам, а не как квадрат модуля. Например, если $A^{\mu}$ - компоненты 4-вектора $(A^0, \, A^x,A^y,A^z)=(A^0, \, \mathbf{A}),$ то:

$A^2=A_{\mu}A^{\mu}=A^{\mu}A_{\mu}=(A^0)^2-\mathbf{A \cdot A} \, .$

Модуль - величина неотрицательная, а квадрат 4-вектора в случае пространственно-подобного 4-вектора окажется отрицательным.

(Иду допечатывать продолжение рассказа про спиноры.)

[Cos(x-pi/2)]

Итак, пытаемся продвинуться дальше.

Понимая под компонентами произвольного спинора пару произвольных комплексных чисел $u_1, \,u_2,$ преобразующихся при бусте матрицей $L_L$ (такой спинор мы называем левым) или $L_R$ (такой спинор называем правым), мы заключили, что описываемая спинором частица без устали "жужжит, летает". Но это лишь часть картины, мы обошли вниманием орбитальную часть волновой функции: она у нас как бы отдыхала в сторонке.

В величины $(\rho, \, \mathbf{j})$ входит произведение компонент спинора с комплексно сопряжёнными компонентами, поэтому прежние выкладки не испортятся при домножении чисел $u_1, \, u_2$ на волновую функцию в виде фазового множителя, т.е. при домножении на плоскую волну $e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}}t}.$

Однако такая плоская волна "жужжит, летает" сама по себе, не спрашивая у спинора, куда и как быстро ей лететь. Она летит с групповой скоростью $\mathbf{v},$ определяемой производными частоты $\omega_{\mathbf{k}}=\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m}$ по волновому вектору:

$v_x=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_x}=\frac{k_x}{\omega_{\mathbf{k}}} \, , \quad v_y=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_y}=\frac{k_y}{\omega_{\mathbf{k}}} \, ,\quad v_z=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_z}=\frac{k_z}{\omega_{\mathbf{k}}} \, .$

Чтобы сделать величину этой скорости равной $1,$ можно руками положить массу $m=0;$ тогда $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|$ и $\mathbf{v}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ есть единичный вектор. А чтобы направить такой вектор против (в случае левого спинора) или вдоль (в случае правого спинора) $2\mathbf{s}=u^+\boldsymbol{\sigma} u /u^+u,$ можно руками выбрать $\mathbf{k}$ направленным именно туда.

Но более естественно не подгонять вручную плоскую волну под произвольно заданный спинор, а считать произвольно заданным аргументом импульс частицы (при $\hbar=1$ импульс $\hbar \mathbf{k}$ это то же самое, что волновой вектор $\mathbf{k}),$ и подчинить спинор с плоской волной

$u\, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}$

некоему уравнению движения, которое само установит $\omega=\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|,$ и само сделает компоненты спинора такими, чтобы направление спина $\mathbf{s}$ должным образом соответствовало произвольно заданному направлению $\mathbf{k}.$

Попробуем понять, как должно быть устроено уравнение движения (сначала для спинорной плоской волны, а затем для спинорного поля в общем виде. Для определённости, пусть речь идёт о левых спинорах. Повторить аналогичные рассуждения для правых спиноров - упражнение).

Пусть $\mathbf{N}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ - единичный вектор вдоль заданного $\mathbf{k}.$ В качестве лёгкого упражнения можете проверить, что следующие две матрицы составляют полную систему проекционных операторов, действующих на 2-компонентные спиноры:

$\text{П}_{\mathbf{N}}=(1/2)(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

$\text{П}_{-\mathbf{N}}=(1/2)(1-\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

(проверяется, что квадрат каждой из этих матриц равен ей самой, причём $\text{П}_{\mathbf{N}}+\text{П}_{-\mathbf{N}}=1\, ,$ $ \text{П}_{\mathbf{N}} \text{П}_{-\mathbf{N}}=0.)$

Если спинор $u$ даёт вектор спина $\mathbf{s}$ в направлении против $\mathbf{N},$ то он собственный для $\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}$ с собственным значением $(-1),$ и поэтому он собственный для $\text{П}_{-\mathbf{N}}$ с с. зн. $1,$ а для $\text{П}_{\mathbf{N}}$ он собственный с нулевым с.зн.:

$\text{П}_{\mathbf{N}} \, u=0 \, .$

Можно считать, что это условие и служит уравнением для спинора $u:$ левый спинор не содержит правой составляющей. Решение его соответствует состоянию частицы со спином $\mathbf{s}$ в направлении против $\mathbf{N}.$ Умножив обе стороны этого спинорного уравнения на $2|\mathbf{k}|,$ получим то же самое уравнение в немного другом виде:

$(|\mathbf{k}| + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$

Теперь усовершенствуем его так, что оно позволит решить сразу обе задачи - определить зависимость частоты от волнового вектора, и зависимость компонент спинора от волнового вектора. Заменим в уравнении слагаемое $|\mathbf{k}|$ параметром $\omega$ с заранее не известным нам значением:

$(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$

Получилась система двух линейных однородных алгебраических уравнений для $u_1, u_2:$

$\left[\begin{array}{cc}\omega+k_z & k_x-ik_y\\k_x+ik_y & \omega-k_z\end{array}\right] \begin{bmatrix} u_1\\ u_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

Чтобы такая система имела отличное от нуля решение, следует приравнять нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; тем самым возникает уравнение для $\omega:$

$\omega^2-|\mathbf{k}|^2=0 \, .$

Оно имеет два корня, положительный и отрицательный: $\omega= \pm \omega_{\mathbf{k}} \, ,$ где $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|.$

Чтобы плоская волна с параметром $\omega$ могла претендовать по своему смыслу на волновую функцию частицы с энергией $\omega$ (у нас $\hbar=1,$ поэтому частоту $\omega$ можем понимать как энергию $\hbar \omega),$ выберем положительный корень: $\omega=\omega_{\mathbf{k}}.$ Подставив это в систему и решив её, получим некоторый спинор (с точностью до произвольного нормировочного множителя); обозначим его как $u(\mathbf{k}),$ он описывает частицу со спином $\mathbf{s},$ направленным противоположно заданному $\mathbf{k}.$

Итак, решением уравнения для плоско-волновой спинорной конфигурации c положительной частотой

$(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})\, u \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0$

является спинор (без учёта произвольного нормировочного множителя):

$u(\mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$


Мы рассмотрели уравнение движения "в импульсном представлении". То же самое уравнение можно записать с помощью операторов дифференцирования $\partial _{\mu}$ по пространственно-временным координатам, т. е. $(\partial / \partial t, \, \nabla):$

$(i \frac{\partial}{\partial t} -i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, u \,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0 \, .$

Наконец, итоговое обобщение - подчиняем этому уравнению произвольное левое спинорное поле $\psi_L(t, \mathbf{r}):$

$(i \frac{\partial}{\partial t} -i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \psi_L(t, \mathbf{r})=0 \, .$

Для краткой записи полезно ввести в дело обозначение $x$ вместо $t, \mathbf{r}$ и матричный "4-вектор" $\bar{\sigma}^{\mu}$ с компонентами $(\hat 1, -\boldsymbol{\sigma});$ тогда уравнение принимает вид:

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=0 \, .$


Частные решения в виде плоских волн с положительными частотами нам уже известны. Поскольку уравнение линейное и однородное, то решением будет и их линейная комбинация с произвольными числовыми коэффициентами $a_{\mathbf{k}}$ (при этом спиноры $u(\mathbf{k})$ можно считать нормированными каким-либо "стандартным" условием, в которое пока не вникаем):

$\sum_{\mathbf{k}} \, a_{\mathbf{k}}\, u(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Это не самое общее решение, а лишь часть общего решения, называемая "положительно-частотной" частью. Легко проверить, что решением прежнего "уравнения движения в импульсном представлении" будет также плоская волна с противоположным знаком показателя экспоненты, т.е. плоская волна с отрицательной частотой $\omega=-\omega_{\mathbf{k}}:$

$u(\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Поэтому в общее решение $\psi_L(x)$ однородного спинорного уравнения $i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \psi_L(x)=0$ должна войти наряду с положительно-частотной частью также и линейная комбинация отрицательно-частотных волн; их произвольные коэффициенты обозначим как $b^*_{\mathbf{k}}:$

$\psi_L(x)=\sum_{\mathbf{k}}\, a_{\mathbf{k}}\, u(\mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} + \sum_{\mathbf{k}} \, b^*_{\mathbf{k}} \, u(\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Знак перед $\mathbf{k}$ в этих суммах не особо важен, так как его при желании можно изменить, вводя новую переменную суммирования $(-\mathbf{k}).$ Знак частоты при этом не меняется, так как $\omega_{\mathbf{k}}=\omega_{-\mathbf{k}}.$

Отрицательную частоту $(-\omega_{\mathbf{k}})$ нельзя интерпретировать как энергию частицы: эта отрицательная частота неограниченно уменьшается, а не растёт (как положено энергии) с ростом импульса частицы. Значит, и отрицательно-частотная часть решения уравнения движения не имеет привычного в КМ смысла волновой функции частицы.

Таким образом созрел вопрос, что называется, "на засыпку": как интерпретировать наличие у релятивистского полевого уравнения отрицательно-частотных решений, и что с ними делать дальше (в каких-либо осмысленных физических задачах)?

[Ascold]

Цитата:

Пусть $\mathbf{N}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ - единичный вектор вдоль заданного $\mathbf{k}.$ В качестве лёгкого упражнения можете проверить, что следующие две матрицы составляют полную систему проекционных операторов, действующих на 2-компонентные спиноры:

$\text{П}_{\mathbf{N}}=(1/2)(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

$\text{П}_{-\mathbf{N}}=(1/2)(1-\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

(проверяется, что квадрат каждой из этих матриц равен ей самой, причём $\text{П}_{\mathbf{N}}+\text{П}_{-\mathbf{N}}=1\, ,$ $ \text{П}_{\mathbf{N}} \text{П}_{-\mathbf{N}}=0.)$

Поскольку $\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{N}$ и выше было доказано, что $(\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma})^2=1,$
$\text{П}_{\mathbf{N}}^2=(1+2\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}+1)/4=(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma})/2=\text{П}_{\mathbf{N}.$
Остальные соотношения также считаются в уме
В этих обозначениях правый спинор буде сотбственным с единичным собственным значением для $\text{П}_{\mathbf{N}}$ и с нулевым - для $\text{П}_{\mathbf{-N}},$ т.е.

$$\text{П}_{\mathbf{-N}}u_R=0.$$

Умножив обе стороны этого ур-я на $2|\mathbf{k}|,$ получим
$(|\mathbf{k}| - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$ отсюда

$(\omega-\mathbf{k}\cdot\boldsymbol{\sigma})u=0, \ $ или же

$\begin{pmatrix}\omega-k_z & -k_x+ik_y\\-k_x-ik_y & \omega+k_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$
Зануляя определитель, получаем то же самое
$\omega^2-|\mathbf{k}|^2=0,$
что операторами дифференцирования перепишется в виде
$(i \frac{\partial}{\partial t} +i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, u \,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0 \, .$
В силу линейности это будет также для произвольного правого спинорного поля:
$(i \frac{\partial}{\partial t} +i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \psi_R(t, \mathbf{r})=0 \, .$
Ну и аналогично будет отрицательно-частотное решение и разложение общего решения по соотв. экспонентам.

Цитата:

Таким образом созрел вопрос, что называется, "на засыпку": как интерпретировать наличие у релятивистского полевого уравнения отрицательно-частотных решений, и что с ними делать дальше (в каких-либо осмысленных физических задачах)?

Думаю, я здесь не буду оригинален: вслед за Дираком введём "море электронов" с принципом Паули, заполняющее все отрицательно-частотные(энергетические) состояния из которого при получении определённой энергии электрон может "вылететь", создав там дырку, соотв. частице с энергией, импульсом и спином, противоположного имеющемуся в наших разложениях знака.

[Cos(x-pi/2)]

Хорошо. И да, "дырка в море Дирака" - наглядная аналогия для понятия "античастица" в случае частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули. (В обсуждаемой нами игрушке рассматриваются ещё не настоящие электроны, а безмассовые фермионы: что-то вроде безмассовых нейтрино, если бы такие существовали в природе.) Похожая идея о дырках, как о разновидности "квазичастиц", хорошо себя оправдала в физике полупроводников, а также и металлов.

Но считать море Дирака реальностью не стоит. В КТП релятивистские уравнения поля имеют отрицательно-частотные решения также и в случае бозонных полей; для бозонов нет принципа запрета, "моря Дирака" быть не может, но античастицы, тем не менее, есть.

Решение "проблемы отрицательно-частотных волн" в КТП, применимое и к фермионам и к бозонам, радикальное - в общем случае отказаться от интерпретации поля $\psi(x)$ как волновой функций одной частицы, и считать $\psi(x)$ оператором $\hat{\psi}(x)$: амплитуды $a_{\mathbf{k}}$ положительно-частотных составляющих заменяются операторами уничтожения $\hat{a}_{\mathbf{k}}$ частиц с импульсами $\mathbf{k}$ и с положительными энергиями $\omega_{\mathbf{k}},$ амплитуды $b^*_{\mathbf{k}}$ отрицательно-частотных составляющих заменяются операторами рождения $\hat{b}^{\dagger}_{\mathbf{k}}$ античастиц с импульсами $\mathbf{k}$ и тоже с положительными энергиями $\omega_{\mathbf{k}}.$ Т. е. главной идеей оказалась не картина "дырки в ферми-море", а некое, не очень-то очевидное, соответствие между отрицательными частотами в КТП и понятием "античастица". Вот цитата на этот счёт:

С. Вайнберг в томе 1 Квантовой теории полей писал(а):

<...> в результате развития квантовой теории поля интерпретация античастиц как дырок стала ненужной, несмотря на то, что до сих пор она, к сожалению,просачивается на страницы многих учебников. Процитируем Джулиана Швингера: «Картина бесконечного моря электронов с отрицательной энергией рассматривается сейчас в лучшем случае как исторический курьез и прочно забыта».

Вместо операторного формализма в КТП может применяться метод континуального интегрирования по полям, а также (может быть, менее известный) швингеровский "метод источников".

Последний удобен для быстрого пояснения понятия одночастичного пропагатора. (Попробую составить такое пояснение, сначала опять-таки на прежнем примере безмассовых спиноров; но не знаю, как быстро справлюсь). А пока советую Вам продолжать по книгам разбираться с формализмом полевых операторов. А также, в качестве опережающего упражнения к пояснениям о пропагаторах, подумайте, как решить уравнение для, например, левого спинорного безмассового поля $\psi_L(x)$ в присутствии спинорного же произвольного источника $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=J(x) \, .$

Заодно полезно убедиться, что $\partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)$ преобразуется как правый спинор, так что в указанном неоднородном уравнении надо считать $J(x)$ правым спинорным полем $J_R(x).$ В аналогичном неоднородном уравнении для правого спинорного поля

$i \partial _{\mu} \sigma^{\mu} \, \psi_R(x)=J(x) $

источник должен быть левым спинором $J_L(x);$ в этом уравнении матрицами $\sigma^{\mu}$ являются $\hat 1, \, \boldsymbol{\sigma}.$

[Ascold]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1217693 писал(а):

А также, в качестве опережающего упражнения к пояснениям о пропагаторах, подумайте, как решить уравнение для, например, левого спинорного безмассового поля $\psi_L(x)$ в присутствии спинорного же произвольного источника $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=J(x) \, .$

Формально - с помощью функции Грина. Саму функцию попробую сделать в ближайшее время.

[Cos(x-pi/2)]

Ascold
К упражнениям о преобразованиях Лоренца добавка: надо убедиться (не обязательно на форуме), что

. $\psi_L^+ \varphi_R$ и $\varphi_R^+ \psi_L$ - инварианты, если $\psi_L$ и $\varphi_R$ преобразуются как левый и правый 2-компонентные спиноры.

. Пусть $g$ означает антисимметричную вещественную матрицу: $g=i\sigma_y=\big[\begin{smallmatrix}\,0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\big] \, .$

Тогда $g\psi_L^*$ преобразуется как правый спинор. Пусть $u_{-}(\mathbf{k})$ обозначает спинор со спином против направления $\mathbf{k}.$ Тогда операция $(g...)^*$ превращает его в спинор $u_{+}(\mathbf{k})$ со спином вдоль $\mathbf{k}.$ Дело в том, что стандартные матрицы Паули $\sigma_x, \, \sigma_z$ не меняются при комплексном сопряжении и антикоммутируют с $g=i\sigma_y,$ а матрица $\sigma_y$ коммутирует с $g,$ но зато меняет знак при комплексном сопряжении. Поэтому протаскивание $g$ через $\boldsymbol{\sigma}^*$ действует как замена $\boldsymbol{\sigma}$ на $-\boldsymbol{\sigma},$ и поэтому и матрица лоренц-преобразования $L_L$ переходит в $L_R,$ и проектор $\text{П}_{-\mathbf{N}$ переходит в $\text{П}_{\mathbf{N}.$ Эти проекторы далее обозначаем как $\text{П}_{-\mathbf{k}$ и $\text{П}_{\mathbf{k}.$

. Нам потребуется преобразование Фурье (указанные ниже свойства следует проверить, запомнить выбор множителей, выбор знаков в показателях. Фурье-компоненту $\psi(k)=\psi(\omega, \mathbf{k})$ для любой функции $\psi(x)=\psi(t, \mathbf{r})$ (или для совокупности функций - компонент спинора) обозначаем ради краткости той же буквой, хотя это разные функции. Следует отличать $\omega$ от $\omega_{\mathbf{k}},$ и помнить, что интегрирование по частоте $\omega$ (а также по времени) ведётся от $-\infty$ до $\infty,$ хотя это не указывается явно).

Пусть (в краткой записи): $\psi(x)=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \psi(k)\, e^{-ikx} \, ,$ то есть в подробной записи:

$\psi(t, \mathbf{r})=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \int \frac{d \omega}{2\pi} \, \psi(\omega, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega t} \, .$

Тогда: $\psi(k)=\int d^4x \, \psi(x)\, e^{ikx} \, ,$ то есть:

$\psi(\omega, \mathbf{k})=\int d^3\mathbf{r} \int dt \, \psi(t, \mathbf{r}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega t} \, .$

Надо следить за положением знака комплексного сопряжения: $\psi^*(k)$ не обязано совпадать с $\psi(k)^*,$ так как $\psi^*(k)$ - фурье-амплитуда для $\psi(x)^*,$ а $\psi(k)^*$ - сопряжённая фурье-амплитуда для $\psi(x).$ Проверьте (в краткой и в подробной записи), что:

$\psi^*(k)^*=\psi(-k)\, .$

Переходим к знакомству с фейнмановским пропагатором вейлевского фермиона. План видится такой. Сначала убедимся, что с пропагатором связаны 1-частичные амплитуды перехода между источником и приёмником равноправно для частицы и для античастицы. Пример вейлевского фермиона хорош простотой: такой фермион хотя и обладает спином, но не обладает спиновой "степенью свободы" - спин левой частицы всегда направлен против её импульса, а её античастица - всегда правая, со спином вдоль импульса. В дальнейшем сравнение с этим примером поможет понять более сложный пример: дираковский фермион с массой; у него есть спиновая степень свободы - спин может иметь любое направление относительно импульса.

(дико много букв об источниках, об амплитудах перехода, о пропагаторе :))

Пусть заданы два спинорных поля: $J(x)$ и $K(x),$ оба правые в смысле закона преобразования при бустах. Слово "заданы" означает, что мы не считаем их решениями уравнений движения; они произвольные, и поэтому в фурье-разложении $J(x)$ и $K(x)$ по плоским волнам отличны от нуля амплитуды не только правых спиноров (в смысле со спином вдоль импульса) но и левых. Правые и левые базисные спиноры будем обозначать как $u_{+}(\mathbf{k})$ и $u_{-}(\mathbf{k}).$ Частота $\omega$ у плоских волн произвольно заданных полей принимает всевозможные положительные и отрицательные значения, а не только $\pm \omega_{\mathbf{k}}.$ Назовём $J(x)$ и $K(x)$ источниками; ниже выяснится, что тот источник, который включается во времени раньше, служит источником частиц, а который позже - приёмником.

Аналогия в классической механике: осциллятор в присутствии заданной внешней силы $F(t).$

Уравнение движения осциллятора $Q(t)$ есть $(d^2/dt^2+\omega_0^2)Q(t)=F(t).$ Пусть $F(t)$ действует (т. е. может быть не равна нулю) только на конечном интервале времени $(t_{\text{ нач}} <t<t_{\text{ кон}}),$ и пусть в её фурье-разложении есть составляющая с частотой свободных колебаний осциллятора $\omega_0,$ и пусть до начального момента времени $t_{\text{ нач}}$ осциллятор покоился. Тогда $F(t)$ служит источником колебаний осциллятора, т. е. источник передаёт осциллятору энергию: после выключения силы, при $t> t_{\text{ кон}},$ осциллятор будет совершать колебание с собственной частотой $\omega=\omega_0,$ амплитуда его пропорциональна фурье-амплитуде силы $F$ на этой частоте.

Если до включения $F(t)$ осциллятор уже совершал колебание, то сила $F(t)$ может его затормозить: после её выключения амплитуда колебаний станет меньше или даже осциллятор окажется покоящимся. В этих случаях источник является приёмником энергии от осциллятора.

Ещё вариант: если $F(t)$ состоит из двух неперекрывающихся во времени слагаемых, $F(t)=F_1(t)+F_2(t),$ и фурье-амплитуды слагаемых на собственной частоте осциллятора $\omega_0$ отличны от нуля, но в сумме взаимно уничтожаются, то осциллятор, покоящийся до включения первой части силы, останется покоящимся и после выключения последней части, а в промежутке времени между окончанием первой части и началом второй он будет совершать свободное колебание с частотой $\omega_0.$ Здесь происходит передача энергии от более раннего источника $F_1$ к позднему $F_2.$

Аналогичные задачи есть и в квантовой механике:

Покою классического осциллятора отвечает "основное состояние" квантового осциллятора" (а в КТП - "вакуум"). Если в классической задаче фурье-амплитуда источника на частоте $\omega_0$ мала, так что отдаваемая или получаемая им энергия колебаний мала по сравнению с $\hbar \omega_0,$ то в КМ это проявится как малость вероятности того, что источник изменит состояние осциллятора. Такой источник будем называть слабым.

В классической теории поля:

Вместо колебаний одного механического осциллятора $Q(t)$ рассматриваются "осцилляторы поля" - волны поля в пространстве-времени; поэтому вместо одной собственной частоты $\omega_0$ в задаче появляется множество собственных частот $\omega_{\mathbf{k}},$ "пронумерованных" волновым вектором $\mathbf{k}.$

В КТП:

Кванты энергии $\hbar \omega_{\mathbf{k}}$ и импульса $\hbar \mathbf{k}$ "осцилляторов поля" трактуются как частицы. Волны остаются только в роли инструмента для расчётов. Различные состояния "мира" описываются не картиной волн в нём, а количеством всевозможных частиц (и античастиц).

В задаче механики об осцилляторе мы можем не вникать в устройство источника силы $F(t).$ Аналогично и в КТП: источник $J(x)$ лишь феноменологически описывает совокупность физических условий, которые в данной области пространства-времени (где $J(x)$ может быть не равной нулю) обеспечивают возможность рождения или поглощения частиц. Поскольку функция $J(x)$ задана, то не учитывается влияние актов рождения и поглощения частиц на "состояние самого источника".



Спинорные источники $J(x)$ и $K(x)$ будем считать слабыми и действующими на конечных неперекрывающихся интервалах времени. Сначала рассмотрим случай, в котором пространственно-временная область с ненулевым $J(x)$ расположена раньше (т. е. в и/или на конусе прошлого) области, где задан ненулевой $K(x).$ Пусть квантовое состояние "мира" в нашей модельной задаче в далёком прошлом является вакуумным (ноль частиц), обозначим его как $|0\rangle.$ На любой пространственно-подобной поверхности в будущем после окончания действия слабого источника $J(x),$ но до того, как начнут действовать другие источники, состояние "мира" может остаться вакуумным (с вероятностью, близкой к $1),$ либо оно окажется 1-частичным (c вероятностью, малой в меру слабости источника), либо двух- и более частичным (этими вероятностями пренебрежём).

Амплитуды вероятностей это матричные элементы оператора эволюции. Интересуясь в первую очередь амплитудами перехода из $|0\rangle$ в то или иное 1-частичное состояние, возбуждённое источником $J(x),$ и учитывая, что 1-частичные состояния могут различаться импульсом частицы, обозначим эти амплитуды так: $\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$

Слабый источник $K(x),$ действующий после выключения $J(x),$ с вероятностью, близкой к $1,$ не изменит состояния "мира", либо с малой вероятностью добавит ещё одну частицу, либо поглотит имеющуюся. В последнем случае состояние в будущем опять становится вакуумным; амплитуду вероятности такого перехода обозначим как $\langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K.$ Амплитудами прочих переходов (т. е. многочастичных) пренебрежём.

С учётом всего этого 1-частичный вклад в амплитуду перехода $\langle 0|0 \rangle_{K,J}$ из начального вакуума в конечный вакуум при наличии источников $K$ и $J,$ указанным образом упорядоченных во времени, должен иметь вид суммы вкладов, отвечающих различным импульсам частицы:

$\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, .$

Связь этих амплитуд с функциями $J(x)$ и $K(x)$ можно предвидеть из соображений об однородности пространства и времени, варьируя положение источников. Сместим $J(x)$ на любое время $\tau$ в прошлое, т. е. заменим $J(t,\mathbf{r})$ на $J(t+\tau,\mathbf{r}).$ Тогда эволюция состояния, рождённого источником $J(t+\tau,\mathbf{r}),$ к прежней гиперповерхности будущего займёт добавочное время $\tau,$ и оно привнесёт в матричный элемент оператора эволюции добавочный фазовый множитель $e^{-iE\tau},$ где $E$ - энергия состояния. Для 1-частичного состояния: $E=\omega_{\mathbf{k}}.$ Аналогично, сдвиг источника $J(x)$ на любой вектор $\mathbf{a},$ т. е. замена аргумента $\mathbf{r}$ на $\mathbf{r-a},$ должна дать фазовый множитель $e^{-i\mathbf{P \cdot a}},$ где $\mathbf{P}$ - импульс состояния. Для 1-частичного состояния $\mathbf{P=k}.$ Именно такие фазовые множители выпускает фурье-амплитуда функции источника с аргументами $\omega_{\mathbf{k}}$ и $\mathbf{k}$, и, значит, амплитуда перехода $\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J$ связана с данной фурье-амплитудой:

$\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, \sim \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\int d^3\mathbf{r} \int dt \, J(t, \mathbf{r}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Матричные элементы оператора эволюции подчинены условию унитарности. Можно показать, что оно ведёт к определённому соотношению между амплитудами перехода с рождением и с поглощением частицы заданным слабым источником: $\langle 0| 1_{\mathbf{k}}\rangle_J=-(\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J)^*.$ Поглощать частицу у нас будет источник $K(x),$ так что:

$\langle 0| 1_{\mathbf{k}}\rangle_K \, \sim \, K(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* \, .$



Теперь найдём в общем виде спинорное поле $\psi(x),$ являющееся решением уравнения движения со спинорным источником $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi(x)=J(x) \, .$

Подставив сюда фурье-разложения по плоским волнам для $\psi(x)$ и $J(x),$ получим уравнение для спинорной фурье-амплитуды $\psi(k)$ (пишу в кратком виде, сделать выкладки в подробной записи - упражнение):

$k_{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi(k)=J(k) \, .$

Умножив обе стороны на $k_{\mu} {\sigma}^{\mu} = \omega - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma},$ и учитывая, что

$(\omega - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})=(\omega^2-|\mathbf{k}|^2)\hat 1=k^2 \hat 1 \, ,$

получим:

$\psi(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, \dfrac{1}{k^2} \, J(k) \, .$

Чтобы получить обратным фурье-преобразованием искомое поле $\psi(x),$ надо в интеграле по $\omega$ задать правило обхода полюсов $1/k^2=1/(\omega^2-|\mathbf{k}|^2).$ В КТП работает правило Фейнмана: к собственным частотам поля (у нас это $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|)$ добавляется бесконечно малая отрицательная мнимая часть $-i0.$ Изменённая так функция $1/k^2$ называется скалярным безмассовым фейнмановским пропагатором $D(k)$ в 4-импульсном представлении:

$D(k)=\dfrac{1}{k^2+i0}=\dfrac{1}{(\omega - \omega_{\mathbf{k}}+i0)(\omega + \omega_{\mathbf{k}}-i0)} \, .$

Матрицу $G(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ можно назвать спинорным пропагатором в 4-импульсном представлении; так что: $\psi(k)=G(k)J(k).$ В координатном представлении:

$\psi(x)=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \int \frac{d \omega}{2\pi} \, k_{\mu} {\sigma}^{\mu} D(k) J(k) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega t} \, .$



Вычислим это поле $\psi(t, \mathbf{r})$ после окончания работы источника $J$ т. е. при $t>t',$ где $t'$ - значения времени в области действия источника $J.$ Интегрирование по $\omega$ выполним контурным методом. Чтобы выбрать контур, заметим, что в интеграле

$J(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dt' \, J(t',\mathbf{k}) \, e^{i\omega t'}$

пределы можно заменить начальным и конечным значениями $t',$ между которыми действует $J,$ так как всюду вне этого интервала времени $J=0,$ и вклада в интеграл нет. Подставив эту формулу в интеграл по $\omega$ для $\psi(t, \mathbf{r}),$ увидим, что там имеется экспонента с показателем $-i\omega(t-t').$ Поскольку $t-t'>0,$ она убывает при устремлении $\omega$ к $-i \infty.$ Это означает, что путь интегрирования вдоль вещественных значений $\omega$ от $-\infty$ до $+\infty$ можно замкнуть полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости комплексной пременной $\omega,$ и такая полуокружность не даст вклада в результат. Результат есть $-2 \pi i \cdot \text{Вычет}$ в полюсе подынтегрального выражения при $\omega=\omega_{\mathbf{k}}-i0,$ попавшем внутрь этого замкнутого контура:

$\psi(x)|_{t>t'}=-i\int \frac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, ( \omega_{\mathbf{k}}- \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma} ) \frac{1}{2\omega_{\mathbf{k}}} \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Заметим, что

$( \omega_{\mathbf{k}} - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \dfrac{1}{2 \omega_{\mathbf{k}}} = \dfrac{1}{2} \left ( 1-\dfrac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|} \cdot \boldsymbol{\sigma} \right ) = \text{П}_{-\mathbf{k}}$

есть спинорный проектор, выделяющий из любого спинора левую составляющую. Таким образом:

$\psi(x)|_{t>t'}=-i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Видно, что роль пропагатора $k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ свелась к "частотному и спинорному проецированию": для левого спинорного поля $\psi(x)|_{t>t'}$ этот пропагатор выделил из фурье-составляющих $J(k)$ источника $J(x)$ только левые и только положительно-частотные моды с частотами колебаний свободного поля $\omega_{\mathbf{k}}.$



Теперь вычислим результат взаимодействия этого левого спинорного поля с правым спинорным источником $K(x),$ который у нас работает позже, чем $J(x),$ и поэтому может выполнять роль приёмника частиц. В локальной теории поля взаимодействие полей описывается произведением полей в одной и той же точке $x$ пространства-времени (у нас это будет лоренц-инвариантная свёртка $K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}),$ и затем по $x$ выполняется интегрирование. Чтобы получить вклад в амплитуду перехода "вакуум-вакуум" со всеми необходимыми множителями, интеграл следует домножить на фазовый множитель $-i$ (это можно показать подробным рассмотрением понятия "вакуумная амплитуда" - отдельная очень большая тема однако :) Итак, вычисляем, меняя по ходу дела порядок интегрирований по $x$ и по $k_x,k_y,k_z:$

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=-\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \,\int d^3\mathbf{r} \int dt \, K^+(t,\mathbf{r}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, .$

Видно, что здесь появляется фурье-амплитуда источника $K$ (значком Т обозначим транспонирование):

$\int d^3\mathbf{r} \int dt \, K^+(t,\mathbf{r}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t}=(K^*(-\omega_{\mathbf{k}},-\mathbf{k}))^T=(K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^*)^T=K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+ \, ,$

так что:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=-\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}, \mathbf{k}) \, .$

Это выражение должно представлять $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$ Чтобы придать ему такую форму, будем считать теперь, что поля рассматриваются в произвольно большом, но конечном нормировочном объёме $V$ с условиями периодичности; при этом, как известно, волновой вектор дискретен, а переход от интегрирования к суммированию формально сводится к замене

$\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, ...$ на $\frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \, ... \, .$

Базисные спиноры $u_{-}(\mathbf{k})$ и $u_{+}(\mathbf{k}),$ собственные с собственным значением $1$ соответственно для проекторов $\text{П}_{-\mathbf{k}$ и $\text{П}_{\mathbf{k},$ взаимно ортогональны: $u_{-}(\mathbf{k})^+u_{+}(\mathbf{k})=0.$ Но мы их ещё не нормировали. Учитывая, что энергия или частота $\omega_{\mathbf{k}},$ как и плотность $u^+u$, преобразуется подобно временной компоненте 4-вектора, выберем следующие сохраняющиеся при лоренц-преобразованиях условия нормировки:

$u_{-}(\mathbf{k})^+u_{-}(\mathbf{k})=2\omega_{\mathbf{k}} \, , \qquad u_{+}(\mathbf{k})^+u_{+}(\mathbf{k})=2\omega_{\mathbf{k}} \, .$

Числовые коэффициенты разложения по этим базисным спинорам обозначим так: для источника $J$ буквами $a,$ для $J^*$ буквами $b,$ для $K$ буквами $c,$ для $K^*$ буквами $d,$ причём выделим в каждом из них множитель $\sqrt{V/2\omega_{\mathbf{k}}}.$ Следуя этой схеме, запишем сначала разложение по базисным спинорам для $J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}):$

$J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, .$

Тогда (поскольку левый проектор вычёркивает слагаемое с правым спинором и не изменяет слагаемое с левым спинором):

$\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k}) \, .$

Этот спинор теперь надо свернуть с

$K(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}c_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}c_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, .$

Учитывая ортогональность и нормировку базисных спиноров, получим:

$K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}\, c_{-}(\mathbf{k})^* \, a_{-}(\mathbf{k}) \, 2\omega_{\mathbf{k}} \, .$

Это выражение входит под знак суммы $(-1/V)\sum_{\mathbf{k}}\, ... \,,$ так что окончательно можем записать одночастичный вклад в вакуумную амплитуду в виде:


$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, ic_{-}(\mathbf{k})^* \, ia_{-}(\mathbf{k})=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, .$


Отсюда видны определения 1-частичных (но пока ещё не античастичных) амплитуд перехода через фурье-компоненты слабых спинорных источников:

$\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J=ia_{-}(\mathbf{k})=\dfrac{iu_{-}(\mathbf{k})^+J(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, ,$

$\langle 0|1_{\mathbf{k}}\rangle_K=-(\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K)^*=ic_{-}(\mathbf{k})^*=\dfrac{i(u_{-}(\mathbf{k})^+K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k}))^*}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, .$




Теперь повторим аналогичные вычисления, начав с той части решения $\psi(t, \mathbf{r}),$ которая "распространяется назад во времени" - в область пространства-времени, предшествующую началу работы источника $J(t', \mathbf{r}).$ При $t<t'$ найденное выше решение уравнения движения $\psi(t, \mathbf{r})$ определяется вычетом в полюсе пропагатора в верхней полуплоскости комплексной частоты и поэтому содержит отрицательно-частотные волны. Результат

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{\mathbf{k}} \, J(-\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} $

можно переписать иначе, заменяя переменную интегрирования $\mathbf{k}$ на $-\mathbf{k}:$

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J(-\omega_{\mathbf{k}}, -\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, ,$

и учитывая равенство $J(-k)=J^*(k)^*:$

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, ,$

Тогда результат взаимодействия этого спинорного поля с источником $K(x),$ который на этот раз пусть работает раньше, чем $J(x)$ (т. е. это другой источник $K$ и его следовало бы обозначить другой буквой, но для сравнения с предыдущим рассмотрением оставим прежнее обозначение), есть:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, (K^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^T\text{П}_{-\mathbf{k}} J^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* $

Вставим перед $\text{П}_{-\mathbf{k}}$ единичную матрицу $1=-gg,$ и учтём, что матрица $g$ вещественная и антисимметричная $(g^T=-g),$ и что $g\text{П}_{-\mathbf{k}}=\text{П}_{\mathbf{k}}^*g.$ Получаем:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, (gK^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^T (\text{П}_{\mathbf{k}} gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^* $

Разложим присутствующие здесь спиноры $gK^*$ и $gJ^*$ по базисным спинорам $u_{-}(\mathbf{k}})$ и $u_{+}(\mathbf{k}}):$

$gK^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}d_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}d_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

$gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

$\text{П}_{\mathbf{k}} \, gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

Заменив, как и выше, интегрирование $\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3}$ суммированием $\frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}},$ имеем:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, d_{+}(\mathbf{k}) \, b_{+}(\mathbf{k})^* \, .$

Этот результат интерпретируется как вклад в амплитуду перехода "вакуум-вакуум", в котором источник $K,$ действующий первым во времени, испускает правую античастицу, а источник $J,$ действующий позднее, её поглощает. Обозначив наличие одной античастицы чертой над единицей, это утверждение можно записать так:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}} \rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K \, .$

Равноправность частиц и античастиц выявляется, если определения 1-античастичных амплитуд перехода через фурье-компоненты слабых спинорных источников ввести по той же самой схеме, что и для амплитуд с частицами; при этом, как видно, способность источников $K(x)$ и $J(x)$ создавать и поглощать античастицу описывается фурье-компонентами комплексно сопряжённых величин, $gK(x)^*$ и $gJ(x)^*:$

$\langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K=id_{+}(\mathbf{k})=\dfrac{iu_{+}(\mathbf{k})^+gK^*(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, ,$

$\langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J=-(\langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J)^*=ib_{+}(\mathbf{k})^*=\dfrac{i(u_{+}(\mathbf{k})^+gJ^*(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k}))^*}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, .$



Тут всплывает нюанс. Расчёт $-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}$ дал нам $\sum_{\mathbf{k}} \, d_{+}(\mathbf{k})\,b_{+}(\mathbf{k})^*.$ Если переписать это с множителями $i,$ в соответствии с указанным выше определением амплитуд, то возникает минус перед суммой:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=-\sum_{\mathbf{k}} \, id_{+}(\mathbf{k}) \, ib_{+}(\mathbf{k})^*,$

И очерёдность сомножителей под знаком суммы получилась обратной к ожидавшейся.

Всё это исправляется, если принять, что числовые амплитуды спиноров $K$ и $J$ это не обычные числа, а грассмановы, т.е. антикоммутирующие переменные. (Обоснование и обсуждение "как с этим жить" - отдельный сюжет. Антикоммутативность спинорных полей в "методе источников" ведёт в итоге к ферми-статистике спинорных частиц и античастиц, что и позволяет говорить о них как о фермионах. В методе вторичного квантования (метод полевых операторов) вместо грассмановых амплитуд вводятся, в случае фермионов, антикоммутирующие операторы рождения и уничтожения. Метод полевых операторов, наверное, проще для расчётов, чем метод источников; последний же, имхо, позволил нам нагляднее "въехать" в вакуумную амплитуду и пропагаторы).

Тогда:

$d_{+}(\mathbf{k}) \, b_{+}(\mathbf{k})^*=- b_{+}(\mathbf{k})^*\, d_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

и тогда для одно-античастичного вклада в "амплитуду перехода вакуум-вакуум в присутствии источников" получается понятная на вид формула - совершенно аналогичная одночастичному вкладу:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K \, .$




Резюмируя, полезно отметить, что решение $\psi(x)$ уравнения движения с источником $J(x)$ можно записать в кратком виде:

$\psi(x)=\int d^4x' \, G(x-x')J(x') \, ,$

где

$G(x-x')=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \, G(k) \, e^{-ik(x-x')}$

есть фейнмановский спинорный безмассовый пропагатор $G(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ в координатном представлении.

Тогда рассмотренный выше вклад $-i\int d^4x \, K^+\psi(x)$ в амплитуду перехода "вакууум-вакуум" $\langle 0| 0 \rangle_{K,J},$ возникающий за счёт распространения частицы или античастицы между источниками $K,\,J,$ принимает вид:


$-i\int d^4x \int d^4 x' \, K^+(x)G(x-x')J(x') \, .$


Если $K$ действует позже, чем $J,$ это выражение описывает распространение частицы от $J$ к $K$ и сводится к $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$

Если $K$ действует раньше, чем $J,$ это выражение описывает распространение античастицы от $K$ к $J$ и сводится к $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K.$

Если $J$ и $K$ разделены пространственно-подобным интервалом, то понятия "раньше, позже" для них теряют лоренц-инвариантный смысл, и рассматриваемое выражение не сводится к амплитудам перехода реальной (т. е. с энергией $\omega=\omega_{\mathbf{k}}$) частицы или античастицы. В этом случае можно сказать, что пропагатор $G(x-x')$ описывает распространение виртуальной частицы или античастицы.

[Ascold]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1218836 писал(а):

полезно убедиться, что $\partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)$ преобразуется как правый спинор

Мне вот что любопытно - это доказательство подразумевает расписывание преобразования напрямую $\partial_\mu \ \to \ \Lambda_\mu^{\ \nu}\partial_\nu $ и $\psi_L \ \to \ L_L\psi_L$ с вычислением всех сумм и компонентов, или есть какие-то свойства матриц преобразования, позволяющие сделать это доказательство, минуя расписывание сумм и компонентов явно? А то уже второй лист идёт и думаю, не делаю ли я глупость вычислением "в лоб"?

[Cos(x-pi/2)]

Ну, я, будучи по природе лентяем, сам не расписывал всё покомпонентно, подглядывал в книжки, и притом ленился вникать в доказательства. Если отбросить строгость, то можно, наверное, так пояснить

(все подобные дела:)

В общем случае 2-компонентные спиноры преобразуются очень просто: матрицами 2х2 $L$ с определителем $\det L=1$ (это определение "спинора"). Для такой группы матриц есть по сути дела всего один инвариант, все остальные так или иначе сводятся к нему:

$\varphi_1 \chi_2 - \varphi_2 \chi_1 = \varphi^Tg\chi \, ,$

где

$\varphi_1, \varphi_2$ - компоненты спинора $\varphi,$
$\chi_1, \chi_2$ - компоненты спинора $\chi.$

Оба столбца-спинора преобразуются одной и той же матрицей $L.$ Проверяется "в лоб", что инвариантность указанного выражения следует из $\det L=1.$ На этом этапе ещё нет речи о левых или правых спинорах.

Тогда инвариантом является и комплексно сопряжённое число, т. е.

$\varphi^+g\chi^*=\varphi^+ \psi,$

где мы ввели обозначение $\psi=g\chi^*$ для столбца с компонентами $\psi_1=\chi_2^*,-\chi_1^*.$ Как преобразуется такой столбец $\psi \, ?$

Среди матриц $L$ можно выделить подгруппу унитарных матриц, $L^+=L^{-1},$ - такие матрицы описывают, как выясняется, обычные повороты спиноров. И выделить множество эрмитовых матриц, $L^+=L,$ - такие матрицы описывают, как выясняется, бусты спиноров. Замечаем, что преобразованный столбец $\psi'=g(L\chi)^*=gL^*\chi^*.$

Если $L$ - унитарная матрица, то $gL^*=Lg,$ и поэтому $\psi'=L\psi,$ т. е. по отношению к поворотам столбец $\psi=g\chi^*$ ведёт себя так же, как спинор $\varphi.$ Различия между левыми и правыми спинорами тут нет, $\varphi$ и $\psi$ можно рассматривать как равноправные спиноры по отношению к поворотам.

Если $L$ - эрмитова матрица, то $gL^*=L^{-1}g,$ т. е. $\psi'=L^{-1}\psi.$ Видно, что по отношению к бустам столбцы $\varphi$ и $\psi$ преобразуются различными (взаимно обратными) матрицами. Можно обозначить матрицу буста $L,$ например, как $L_R,$ спинор $\varphi$ - как $\varphi_R,$ матрицу $L^{-1}$ как $L_L,$ спинор $\psi$ как $\psi_L.$ Тогда рассмотренный инвариант есть $\varphi_R^+\psi_L.$

Инвариантом будет и $\psi_L^+\varphi_R;$ действительно:

$\psi'_L^+\varphi'_R= (L_L\psi_L)^+(L_R\varphi_R) = \psi_L^+L_L^+L_R\varphi_R = \psi_L^+\varphi_R \, ,$

где мы учли, что $L_L^+=L_L$ и $L_LL_R=1.$


Ранее мы видели, что $j^\mu=\psi_L^+\bar{\sigma}^{\mu}\psi_L$ ведёт себя как 4-вектор. Значит, его свёртка с любым 4-вектором (обозначим его, например, как $A^\mu)$ есть инвариант: $A_\mu j^\mu.$ Можно переписать его так:

$A_\mu j^\mu=A_\mu \psi_L^+\bar{\sigma}^\mu \psi_L=\psi_L^+A_\mu \bar{\sigma}^\mu \psi_L \, .$

Раз это инвариант, то он должен быть устроен как $\psi_L^+\varphi_R,$ то есть $A_\mu\bar{\sigma}^\mu\psi_L = \varphi_R$ преобразуется как правый спинор. Выражение $\partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L$ есть частный случай: роль $A_\mu$ играет $\partial_\mu.$

(P.S. Не задерживайтесь долго на этом, продвигайтесь к пропагаторам.)

[Ascold]

Цитата:

Не задерживайтесь долго на этом, продвигайтесь к пропагаторам.

Пришлось, к сожалению, задержаться, и не только на этом - ещё раз перечитал 2 главу Райдера, чтобу освежить в голове, как без уравнения Дирака появляются левые и правые спиноры. Однако странно - там вид преобразований спиноров при бустах не выводится, подобно преобразованиям при поворотах, а угадывается. Есть ли способ доказать этот закон, а не угадать его по коммутационным соотношениям для матриц бустов и при этом не строя биспиноров Дирака и гамма-матриц, не выводя (3.29-3.30) у Пескина?

Цитата:

Аналогично и в КТП: источник $J(x)$ лишь феноменологически описывает совокупность физических условий, которые в данной области пространства-времени (где $J(x)$ может быть не равной нулю) обеспечивают возможность рождения или поглощения частиц.

Аналогия понятна, однако тут возникает вопрос: почему движение частицы по пространству-времени нужно непременно трактовать как её рождение источником $J$ и уничтожение источником $K$? Если электрон, к примеру, "выдал себя" оставив трек или как-то ещё показав своё местоположение, то он же не уничтожен? Или рождение-уничтожение в данном случае подразумевает всё-таки не это, а коллапс волновой функции частицы, который наступает, при детектировании её положения?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1218836 писал(а):

Сместим $J(x)$ на любое время $\tau$ в прошлое, т. е. заменим $J(t,\mathbf{r})$ на $J(t+\tau,\mathbf{r}).$ Тогда эволюция состояния, рождённого источником $J(t+\tau,\mathbf{r}),$ к прежней гиперповерхности будущего займёт добавочное время $\tau,$ и оно привнесёт в матричный элемент оператора эволюции добавочный фазовый множитель $e^{-iE\tau},$ где $E$ - энергия состояния.

Правильно я понимаю, что утверждение о множителе в элементе оператора матричной эволюции следует из того, что

$$u(t,t_0)=T\{exp(-i\int_{t_0}^tH(t')dt')\} \ ?$$

Но как тогда с этим согласуется рассуждение о фазовом множителе с имульсом и координатой?

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1222740 писал(а):

Если электрон, к примеру, "выдал себя" оставив трек или как-то ещё показав своё местоположение, то он же не уничтожен?

Нет, но здесь уже существенно, что электрон не свободный, а взаимодействующий с электромагнитным полем. Так что здесь электрон испустил фотон, а другой электрон (часть детектора) этот фотон поглотил. То есть в этом процессе рождается и уничтожается фотон, а не электрон.

[Ascold]

warlock66613 в сообщении #1222850 писал(а):

Нет, но здесь уже существенно, что электрон не свободный, а взаимодействующий с электромагнитным полем.

Т.е. в этой концепции источников-приёмников свободной частицы подразумевается, что в силу её "свободности" нельзя её обнаружить, кроме как создать или уничтожить? В принципе к этому и ведут соображения про осциллятор и его возмущения, изложенные Cos(x-pi/2) в сообщении от 26.05, но как-то странно всё это, честно говоря, что источник с одной стороны, сохраняет поле свободным, с другой - взаимодействует-таки с ним, имея возможность во время взаимодействия порождать-уничтожать частицы. Т.е. источник в ограниченный промежуток времени взаимодействует с кв. полем, но не как поле с полем через соотв. члены в гамильтониане, а как-то более обобщённо. Но при этом ведь всё равно на внутреннем уровне он должен включить какое-то взаимодействие, феноменологически в него спрятанное, так ведь? Почему же оно непременно должно быть столь радикальным - только уничтожение или рождение частиц?

[Munin]

Ascold в сообщении #1222868 писал(а):

Но при этом ведь всё равно на внутреннем уровне он должен включить какое-то взаимодействие, феноменологически в него спрятанное, так ведь? Почему же оно непременно должно быть столь радикальным - только уничтожение или рождение частиц?

На самом деле, такое "радикальное" взаимодействие - кирпичики, из которых складываются любые "менее радикальные". Фейнман тоже не любил этой идеи, но часто речь идёт о формальном рождении-уничтожении, из которых, как число из цифр, можно математически собрать любой другой процесс. То есть, по сути, мы рисуем фейнмановскую диаграмму процесса, а она состоит из:
- линий
- вершин.
Линии начинаются и кончаются в вершинах. Если мы хотим провзаимодействовать с частицей без её уничтожения, мы добавляем вершину, в которую частица входит и выходит. И дальше, мы называем, что если линия входит, то частица "уничтожается", а если линия выходит, - то частица "рождается". И получается, что мы уничтожаем частицу, и сразу рождаем её, такую же. Почему бы нет? Ведь все частицы (данного сорта) тождественны - в КТП это возникает в процедуре квантования поля, и если мы будем настаивать на нетождественности частиц, то им будут соответствовать разные поля́. Так что вопрос, провзаимодействовала ли частица без уничтожения, или была уничтожена, и родилась другая, или родилась та же самая, возродившись как при реинкарнации :-) - это вопрос чисто философский, "почесать языком", и математического выражения не имеет.

Тут ещё может скрестись мысль, что "взаимодействие без уничтожения" можно сделать слабым и в пределе нулевым, а добавление вершин на линию - дискретное действие. Тут надо вспомнить, что на самом деле процессу отвечает не одна диаграмма, а несколько, дающих вклад с разными комплексными амплитудами. И да, диаграммы "с одним актом взаимодействия", "с двумя" и так далее, отличаются друг от друга дискретно, но их вклад - меняется непрерывно, и в пределе может быть сделан нулевым, по сравнению со вкладом диаграммы "без актов взаимодействия". Несвободность движения частицы реализуется на уровне интерференции путей в квантовой механике. Если мы видим малое отклонение от свободного движения, то это на самом деле интерференция нескольких вкладов: свободного движения, одного сильного соударения (впрочем, может быть, малой энергии), двух и так далее.