Всегда ли существует примитивный элемент в подпространстве?

[M1ham]

Пусть $R = GF(q), q = p^r$ поле с единицей $e$, где $p$ простое число. Пусть $S=GF(q^n)$ расширение $R$ и $K = GF(q^{mn})$ расширение $S$. Пусть $_RW$ подпространство $_RK$ такое, что

$$ \operatorname{dim}_RW =n, e\in W, W\neq S $$

Я хочу доказать или опровергнуть, что в пространстве $W$ обязательно найдется примитивный элемент поля $K$ .

Эксперименты на ЭВМ подтверждают данную гипотезу. Однако, как подступиться к данной задаче не знаю.
Есть идея применить результаты типа: если элемент $\alpha\in K$ имеет небольшой порядок, то $e-\alpha$ имеет большой порядок, при условии, что $\alpha\not\in\{0,1\}$.

Какие предложения, господа?

[AV_77]

Возьмем простой случай - $R = \mathbb{F}_2$, $S = \mathbb{F}_4$ и $K = \mathbb{F}_{2^{12}}$. Тогда в поле $K$ будет $\varphi(2^{12}-1) = 1728$ примитивных элементов.

Рассмотрим теперь двумерные подпространства, состоящие из элементов $\{ 0, 1, \alpha, 1 + \alpha \}$. Всего таких подпространств будет $\frac{4096-2}{2} = 2047$. Примитивные же элементы содержатся не более чем в $1728$ таких подпространствах.

В более общем случае выберем поле $L$, промежуточное между $S$ и $K$ и уже в $L$ выберем подпространство нужной размерности, отличное от $S$. Это подпространство заведомо не будет содержать примитивных элементов $K$.

[M1ham]

AV_77 в сообщении #1216855 писал(а):

Возьмем простой случай - $R = \mathbb{F}_2$, $S = \mathbb{F}_4$ и $K = \mathbb{F}_{2^{12}}$. Тогда в поле $K$ будет $\varphi(2^{12}-1) = 1728$ примитивных элементов.

Рассмотрим теперь двумерные подпространства, состоящие из элементов $\{ 0, 1, \alpha, 1 + \alpha \}$. Всего таких подпространств будет $\frac{4096-2}{2} = 2047$. Примитивные же элементы содержатся не более чем в $1728$ таких подпространствах.

В более общем случае выберем поле $L$, промежуточное между $S$ и $K$ и уже в $L$ выберем подпространство нужной размерности, отличное от $S$. Это подпространство заведомо не будет содержать примитивных элементов $K$.

Большое спасибо. В условии я забыл написть, что меня интересует случай, когда $m$ - простое число.