Поиск интенсивности света на экране

[guitar15]

$E_2=2E$

[svv]

Почти правильно, но... нет. Видно уже из того, что сумма не та.
Напоминаю, что у меня $E_i$ — комплексные амплитуды. Это не модули чего бы то ни было.

Ой, и $E_r$ тоже неправильное! Недосмотрел.

[guitar15]

В общем случае амплитуд ищется в виде ряда
$E=E_{1}-E_{2}+E_{3}-E_{4}+\ldots \pm E_{m}\ldots$
В нашем случае(могу ошибаться, потому что вы написали $E=E_{1}+E_{2}+E_{3}+E_{r}$):
$E=E_{1}-E_{2}+E_{3}-E_{r}$
с данного равенства получается
$E_2=E$
$E_r=2E$

[svv]

Мои обозначения могут не соответствовать тем, что в учебнике. Логика такая: поле в точке наблюдения можно представить в виде суперпозиции полей вторичных источников, расположенных на некоторой (не совсем произвольно выбираемой) поверхности $S$. Раз суперпозиция, то — сумма либо интеграл. Поля на самом деле векторные и зависят от времени, но в данной модели рассматривается аналогичное по свойствам скалярное поле с гармонической зависимостью от времени. Такое поле в каждой точке удобно описывать комплексной амплитудой.

Выражение $E_1-E_2+E_3-...$ в книгах обусловлено стремлением показать знакопеременный характер суммы. Ясно, что на самом деле вклад второй зоны Френеля $(-E_2)$. И ясно, что вся эта красивая знакопеременность разрушается, как только мы вводим произвольные фазовые задержки или находим вклад в поле вторичных источников на произвольных участках поверхности $S$. Первична — сумма, потому что она выражает суперпозицию.

Если некоторая комплексная амплитуда $A$ подвергается дополнительному изменению фазы на $\varphi$, получается амплитуда $Ae^{i\varphi}$. В ситуации, когда $e^{i\varphi}$ может быть равно, например, $i$, или $-1$, или $-\frac 1 2+i\frac {\sqrt 3} 2$, я считаю совершенно неразумным придерживаться принципа «амплитуда описывается положительным числом». Все множители, в общем случае комплексные, включайте в амплитуду.

[guitar15]

Понятно, из-за наличия фазовой задержки мы не можем записать суперпозицию в виде $E=E_{1}-E_{2}+E_{3}-E_{4}+\ldots \pm E_{m}\ldots$( В данном случае у нас скалярные амплитуды), поэтому мы ее будет представлять в комплексной форме, где каждая составляющая умножится на $e^{i\varphi}$.
Тогда $E_2$, $E_r$ равны.
$E_2=-2E$
$E_r=-E$

[svv]

Проверяем:
$2E+(-2E)+2E+(-E)=E$
Сходится.
Теперь внесите фазовый сдвиг $\pi$ в слагаемые, соответствующие первым трём (рассмотрим сначала этот случай) зонам.

[guitar15]

По Формуле Эйлера
$e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1$
Теперь запишем
$E=e^{i\pi}E_{1}+e^{i\pi}E_{2}+e^{i\pi}E_{3}+E_{r}=-E_{1}-E_{2}-E_{3}+E_{r}$
$e^{i\pi}$

[svv]

И это равно ... ?
(Я не напрасно просил Вас выразить всё через $E$)

[guitar15]

$E=-E_{1}-E_{2}-E_{3}+E_{r}=-2E+2E-2E+E_r=-2E+E_r$

[svv]

Ну, а $E_r$ что же не выразили через $E$?
И более существенное замечание. Это будет новое поле, соответствующее новой физической ситуации. Поле было $E$, внесли диск, надо найти, каким стало поле теперь.
Поэтому старую букву $E$ для значения новой суммы (суммарного поля в центре экрана после внесения диска) уже нельзя использовать. (Но можно и нужно — в старом смысле.)

[guitar15]

$E_{new}=-2E+e^{i\pi}E_r=-2E-E_r==-2E+E=-E$

[svv]

Надо было только подставить вместо $E_r$ его выражение через $E$ (найденное выше), но не сдвигать его по фазе.
Внесение диска приводит к фазовому сдвигу только $E_1, E_2, E_3$, но не $E_r$.

[guitar15]

$E_{new}=-2E+E_r$
$E_{r}=-E$

[svv]

Караюсь, мучуся, але не каюсь.
И?...

[guitar15]

Понятно
$E_{new}=-2E+E_r=-3E$