Лазерный резонатор и расходимость

[Basov]

Дан устойчивый лазерный резонатор со сферическими зеркалами. Вогнутое выходное зеркало имеет радиус кривизны одной поверхности равный $R_1$. Какой нужно сделать радиус кривизны второй поверхности на выходном зеркале, чтобы обеспечить минимальную дифракционную расходимость? Показатель преломления выходного зеркала равен $n$. Даны варианты ответа 1. $R=n-n R_1$,
2. $R=n^2-R_1$,
3. $R=n-n \cdot 2R_1$
Примечание: толщиной выходного зеркала пренебречь.

Задача странно сформулирована, во-первых, если мы пренебрегаем толщиной, то как мы можем рассматривать радиус кривизны и первой и второй поверхности? По идее, в данном приближении мы должны рассматривать только одну поверхность.
Во-вторых, насколько мне известно, дифракционная расходимость не зависит от радиуса кривизны и показателя преломления. Она зависит от двух параметров: длины волны и радиуса апертуры. Может, автор задачи имел ввиду геометрическую расходимость?)

[Alex-Yu]

Basov в сообщении #1216307 писал(а):

дифракционная расходимость не зависит от радиуса кривизны и показателя преломления. Она зависит от двух параметров: длины волны и радиуса апертуры.

Да, именно так. Но только ЕСЛИ. А именно: если фаза постоянна по апертуре (при этом, кстати, расходимость минимальна).

Если бы расходимость зависела от длины волны и радиуса апертуры без всяких "если", то линзой было бы невозможно увеличить расходимость, "размазать" пучок в большой угол. Что, очевидно, чепуха, расширить пучок линзой можно.

[Dmitriy40]

Basov в сообщении #1216307 писал(а):

во-первых, если мы пренебрегаем толщиной, то как мы можем рассматривать радиус кривизны и первой и второй поверхности?

Подразумевается что толщина стекла много меньше радиусов кривизны и ходом лучей внутри стекла можно пренебречь, считать что луч преломляется как на левой, так и на правой поверхности в одной и той же точке, без смещения как по $x$, так и по $y$. Разумеется физически такое невозможно, но погрешностью такого приближения можно и нужно пренебречь при решении данной задачи (иначе так или иначе была бы дана толщина выходной линзы).

(А рисунок адекватный?)

PS. Не понял, а разве выходное зеркало должно быть не собирающей линзой?! Рассеивающая же лишь увеличит расходимость пучка. Или тут подразумеваются радиусы со знаком? Или рисунок не совсем адекватный?

(Странные варианты ответа)

Да и ответы, как минимум странные, ведь ни в одном из них размерности слева и справа не совпадают ...

[Basov]

Alex-Yu в сообщении #1216377 писал(а):

если фаза постоянна по апертуре (при этом, кстати, расходимость минимальна).

В условии сказано, что резонатор устойчивый, то есть радиус волнового фронта равен радиусу выходного зеркала. Таким образом, в условии уже задано условие постоянства фазы по апертуре (по крайней мере по внутренней поверхности выходного зеркала). Логично было бы в таком случае сделать вторую поверхность выходного зеркала равной по радиусу кривизны (то есть использовать тонкий мениск), но такого варианта ответа нет.

Dmitriy40 в сообщении #1216378 писал(а):

PS. Не понял, а разве выходное зеркало должно быть не собирающей линзой?! Рассеивающая же лишь увеличит расходимость пучка. Или тут подразумеваются радиусы со знаком? Или рисунок не совсем адекватный?

Нет, рисунок сделан для общего представления что такое лазерный резонатор и какое зеркало рассматривается в задаче. Разумеется, зеркала могут иметь другую форму.

[Dmitriy40]

(Размерности)

Basov в сообщении #1216379 писал(а):

почему же?

Потому что (1м) не равно (2-1м), во втором случае складываются разные размерности, что недопустимо.

[Basov]

Извиняюсь, с телефона смотрел текст задачи, формулы некорректно отобразились.
На самом деле варианты ответа имеют такой вид:
1. $R_2=\frac {n-1}{n} R_1$
2. $R_2=\frac {n}{n-1} R_1$
3. $R_2=(\frac {n-1}{n})^2 R_1$
Вроде, визуально эти варианты ответов похожи на формулу оптической силы линзы $D=\frac {1}{F}=(n-1)(\frac {1}{R_1}+\frac {1}{R_2})$. Но что-то не совсем получается сейчас четкую параллель провести между этой формулой, условием задачи и вариантами ответа... Или формула оптической силы тут не при чем?

[Dmitriy40]

Оптическая сила - не нужна, а вот фокусное расстояние - очень даже нужно. Подумайте зачем. И чему оно должно быть равно для тонкой линзы для получения мало расходящегося пучка. Можно рассмотреть пучок "с конца", от выхода к резонатору, на выходе он желательно параллельный, каким он был до прохождения линзы и как нужно расположить линзу относительно резонатора и с каким фокусным расстоянием чтобы всё "срослось".

[Basov]

Dmitriy40 в сообщении #1216389 писал(а):

И чему оно должно быть равно для тонкой линзы для получения мало расходящегося пучка.

Бесконечно большому числу
$\frac{1}{F} = \frac {n-1}{R_1}+\frac{n-1}{R_2}$
Если $F$ стремится к бесконечности, то левая часть стремится к нулю. То есть $\frac {n-1}{R_1}=-\frac{n-1}{R_2}$
Если отсюда выводить $R_2$, то $n-1$ сокращаются и получается $R_2=-R_1$. Но такого варианта ответа нет

[Dmitriy40]

Basov в сообщении #1216394 писал(а):

и получается $R_2=-R_1$.

Нет, что-то не то. Это условие для тонкого мениска, у которого преломление равно нулю и фокусное расстояние бесконечно, т.е. он не оказывает никакого влияния на пучок. Вам же нужно преобразовать расходящийся пучок (а в таком резонаторе он именно такой на поверхности зеркал, причём Вы даже уже знаете его радиус расходимости) в параллельный пучок. Т.е. нужен вовсе не мениск, а таки линза, с вполне конечным фокусным расстоянием. Вопрос лишь какая и как расположенная. Вопрос: какая линза соберёт параллельный пучок (на выходе) в сходящийся пучок (внутри резонатора)? И следующий вопрос: как выбрать её параметры и как её расположить, чтобы "сходящийся" пучок совместился с существующим пучком внутри резонатора? Сначала ответье на них, а потом уже выводите формулы и подбирайте вариант ответа.

(О приближениях)

Походу тут надо бы ещё доказательство что приближение геометрической оптики даст именно нужное решение ... И не факт (я просто не уверен) что замечания о тонкой линзе достаточно. Но судя по скудости исходных данных - это правильный путь, для такой специально упрощённой задачи.

[Alex-Yu]

Basov в сообщении #1216379 писал(а):

в условии уже задано условие постоянства фазы по апертуре (по крайней мере по внутренней поверхности выходного зеркала).

Хотел бы я знать, причем здесь равенство фаз на ЗЕРКАЛЕ, да еще и на ВНУТРЕННЕЙ стороне Вообще-то нужно на плоскости, и снаружи, а не внутри.

[Basov]

Alex-Yu в сообщении #1216399 писал(а):

Basov в сообщении #1216379 писал(а):

в условии уже задано условие постоянства фазы по апертуре (по крайней мере по внутренней поверхности выходного зеркала).

Хотел бы я знать, причем здесь равенство фаз на ЗЕРКАЛЕ, да еще и на ВНУТРЕННЕЙ стороне Вообще-то нужно на плоскости, и снаружи, а не внутри.

1. "При чем здесь равенство фаз на зеркале, нужно на плоскости."
В резонаторе генерируется гауссов пучок. В гауссовом пучке сферический волновой фронт (поверхность равных фаз), а не плоский. Поэтому в данном случае равенство фаз обеспечивается на сферической поверхности, а не в плоскости. В устойчивом резонаторе радиус волнового фронта гауссового пучка равен радиусу выходного зеркала.
2. "И не внутри, а снаружи"
Мне все-таки кажется, что радиусы кривизны должны совпадать у волнового фронта и внутренней поверхности. То есть вклад в изменение угла распространения луча вносит именно наружная поверхность (на которую напылено отражающее покрытие) зеркала-линзы. Луч проходит через внутреннюю поверхность зеркала, не меняя при этом угла распространения (так как радиусы кривизны идентичны), распространяется до наружной поверхности и частично отражается назад, частично проходит наружу, изменяя угол распространения, преломляясь на этой наружной сферической поверхности с другим радиусом кривизны

[Alex-Yu]

Basov в сообщении #1216404 писал(а):

Мне все-таки кажется, что радиусы кривизны должны совпадать у волнового фронта и внутренней поверхности.

Когда кажется, креститься надо Чепуху Вы написали.

Что там на поверхности линзы --- дело десятое. Надо чтобы в итоге на плоскости была постоянная фаза (уже вне резонатора). Вот тогда будет минимальная расходимость выходного пучка.

[Basov]

Alex-Yu в сообщении #1216407 писал(а):

Basov в сообщении #1216404 писал(а):

Мне все-таки кажется, что радиусы кривизны должны совпадать у волнового фронта и внутренней поверхности.

Надо чтобы в итоге на плоскости была постоянная фаза (уже вне резонатора). Вот тогда будет минимальная расходимость выходного пучка.

То что в итоге должен получиться близкий к параллельному луч, имеющий плоский волновой фронт - это понятно. Вы почитали бы что такое устойчивый резонатор и какой там радиус кривизны у зеркал подбирается.
Еще раз перечитал Ваш первый пост в теме, дабы сверить что мы говорим об одних и тех же вещах.

Цитата:

Если бы расходимость зависела от длины волны и радиуса апертуры без всяких "если", то линзой было бы невозможно увеличить расходимость

: - )
Дифракционная и геометрическая расходимость - это разные вещи. Та расходимость, что формируется после прохождения сферических поверхностей в линзе - это геометрическая расходимость (см. Геометрическая оптика)
Дифракционная же расходимость связана с дифракционным пределом и имеет несколько другую физическую природу

-- 14.05.2017, 22:11 --

Dmitriy40 в сообщении #1216396 писал(а):

Basov в сообщении #1216394 писал(а):

и получается $R_2=-R_1$.

Вам же нужно преобразовать расходящийся пучок в параллельный пучок. Вопрос: какая линза соберёт параллельный пучок (на выходе) в сходящийся пучок (внутри резонатора)?

Нарисовал схематически:

Задача сводится к рассмотрению преломления на второй сферической поверхности.
"как выбрать параметры линзы и как её расположить, чтобы "сходящийся" пучок совместился с существующим пучком внутри резонатора"
Нужно чтобы фокус линзы был равен ровно половине базы резонатора. Но база-то не задана в условии

[Basov]

В общем, пришел к такому решению:
дана формула тонкой линзы $\frac {n_1}{d}+\frac{n_2}{f}=\frac {n_2-n_1}{R}$
$n_1$ - показатель преломления воздушной среды
$n_2$ - показатель преломления линзы
$d$ - равно бесконечности (считаем что изображение находится в бесконечности)
$f$ - положение фокуса выходной линзы
$R$ - искомый радиус кривизны
Т.к. $d=\infty$, то $\frac {n_1}{d}=0$
Рассматриваем $\frac{n_2}{f}=\frac {n_2-n_1}{R}$
$n_2 R=f(n_2 - n_1)$
Таким образом, ответ $R=\frac {f(n_2-n_1)}{n_2}=\frac {f(n-1)}{n}$
Если предположить, что фокус линзы равен радиусу кривизны заданной в условии поверхности выходного зеркала $R_1$, то ответ сходится с вариантом №1 ( $R_2=\frac {n-1}{n} R_1$ )
Но правильное ли говорить что фокус линзы равен $R_1$?

[Dmitriy40]

Может я конечно ошибаюсь, но мне казалось что в таком резонаторе волновой фронт приходит на зеркала строго перпендикулярно поверхности зеркал. Т.е. радиус волнового фронта равен радиусу кривизны поверхности зеркала. Отражение обратно в резонатор обеспечивается очевидно внутренней поверхностью зеркала, отражением от границы стекло-воздух (обратно в стекло) можно пренебречь. Соответственно для выходной тонкой линзы пучок можно считать сферичным с радиусом $R_1$ и равным радиусу одной поверхности линзы.