Определение базиса линейной оболочки

[sasa-zmei]

Всем доброго времени суток.
Сейчас читаю Матричный анализ и линейная алгебра Тыртышникова и встретил там следующее определение базиса линейной оболочки векторов:

Линейно независимая система векторов $b_1,...b_m \in V=L(a_1,...,a_k)$ называется базисом линейной оболочки $V$, если $L(b_1,...,b_m) = V$

Последнее равенство - $L(b_1,...,b_m) = V$ - сбивает меня с толку, ведь из него следует, что
$L(b_1,...,b_m)=V=L(a_1,...,a_k)$

Как понимать равенство линейных оболочек?

[Mikhail_K]

sasa-zmei в сообщении #1216051 писал(а):

Как понимать равенство линейных оболочек?

Как равенство, совпадение двух множеств.
Почему бы и не совпадать линейным оболочкам двух разных систем множеств.
Ключевой момент здесь в том, что система $\{b_1,\dots,b_m\}$ - линейно независимая, а исходная система $\{a_1,\dots,a_k\}$ - не обязательно.

sasa-zmei в сообщении #1216051 писал(а):

определение базиса линейной оболочки векторов

Заметьте, что линейная оболочка любой системы векторов представляет из себя линейное пространство - подпространство исходного.
Базис линейной оболочки - это тупо базис линейной оболочки, рассматриваемой как самостоятельное линейное пространство.
Его можно даже не выделять в отдельное понятие.

[ewert]

(Оффтоп)

sasa-zmei в сообщении #1216051 писал(а):

Линейно независимая система векторов $b_1,...b_m \in V=L(a_1,...,a_k)$ называется базисом линейной оболочки $V$, если $L(b_1,...,b_m) = V$

Вообще-то довольно извращённое определение. Вообще-то любой набор векторов, принадлежащих некоторой линейной оболочке, является базисом в ней, если он является базисом. Ибо понятие базиса -- первичнее понятия оболочки.

[Anton_Peplov]

sasa-zmei
Подумайте вот над чем. Возьмем привычную евклилову плоскость $xOy$. Элемент линейного пространства - вектор, отложенный из начала координат. $\vec i, \vec j$ - орты.
Ответьте, что является линейной оболочкой:
1) системы $(\vec i, \vec j)$
2) системы $(\vec i, \vec j, 10 \vec i + 2 \vec j)$
3) системы всех векторов линейного пространства?

[sasa-zmei]

Кажется я понял: равенство $L(b_1,...,b_m)=V=L(a_1,..,a_k)$ надо понимать в том смысле, что линейная оболочка $L(a_1,...,a_k)$ может быть выражена через линейную комбинацию векторов $b_1,...,b_m$.

Так?

[Mikhail_K]

Приведите всё-таки определение линейной оболочки и ответьте на вопросы Anton_Peplov.

[sasa-zmei]

Линейная оболочка $L(a_1,...,a_m)$ - множество всех линейных комбинаций векторов $a_1,...,a_m$

Ответы на вопросы Anton_Peplov:

Anton_Peplov в сообщении #1216059 писал(а):

Ответьте, что является линейной оболочкой:
1) системы $(\vec i, \vec j)$
2) системы $(\vec i, \vec j, 10 \vec i + 2 \vec j)$
3) системы всех векторов линейного пространства?

1.) множество всех линейных комбинаций векторов $(\vec i, \vec j)$
2.) множество всех линейных комбинаций векторов $(\vec i, \vec j)$
3.) множество всех линейных комбинаций векторов $(\vec i, \vec j)$

[Anton_Peplov]

Формально ответы на вопросы верные. Неформально - для "множества всех линейных комбинаций векторов базиса" есть более короткое и человеческое название.

Ответив на вопросы 1) - 3), Вы уяснили, как могут совпадать линейные оболочки разных систем векторов?

[sasa-zmei]

Да, вполне :)
Спасибо за разъяснения!