Доказательство бесконечности простых чисел особого вида

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1214243 писал(а):

Произведение $\prod\limits_i^n {(4{k_i} + 3)}$ может быть числом вида $4k+1$ или $4k+3$.

Умножьте своё произведение на $4$ и прибавьте $3$.

Rusit8800 в сообщении #1214243 писал(а):

Аналогично с видом $4k+1$:

Я не понял, что там "аналогично".

Вам нужно использовать только один легко проверяемый (на уровне школьника, начавшего изучать алгебру) факт: произведение чисел вида $4k+1$ есть число того же вида.

[RIP]

Someone в сообщении #1214563 писал(а):

и прибавьте $3$.

Лучше вычесть $1$.

[Rusit8800]

Someone в сообщении #1214563 писал(а):

Умножьте своё произведение на $4$ и прибавьте $3$.

RIP в сообщении #1214662 писал(а):

Лучше вычесть $1$.

В итоге я совсем запутался.

Someone в сообщении #1214563 писал(а):

Я не понял, что там "аналогично".

Приводим $N$ к $9$.

[gris]

А что путаться? Прибавить три или вычесть один с точки зрения вида числа $4k+3$ всё равно. В первом случае просто нужно проговорить больше слов. Я бы рассмотрел оба случая. Полезно для тренировки.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1214676 писал(а):

В итоге я совсем запутался.

Совет RIP лучше.

Rusit8800 в сообщении #1214676 писал(а):

Приводим $N$ к $9$.

Зачем?

[Rusit8800]

Someone в сообщении #1214842 писал(а):

Зачем?

Чтобы показать,

gris в сообщении #1214231 писал(а):

что $N$ не имеет делителей из предположенных, что не может быть делителей $2$ или только вида $4k+1$

-- 08.05.2017, 10:54 --

Видимо я сейчас ничего не понимаю, так как не могу понять этот шаг:

gris в сообщении #1214231 писал(а):

Надо доказать, что $N$ не имеет делителей из предположенных, что не может быть делителей $2$ или только вида $4k+1$

[gris]

Очень многие теоремы доказываются подобным способом.
Вы предположили, что количество простых чисел вида $4k+3$ конечно. То есть их ровно сколько-то штук и не больше. Сформировали из них новое число $N$. Оно тоже вида $4k+3$ и, конечно, больше любого предположенного числа.
Если оно простое, то получаем противоречие. Оказывается, есть ещё одно простое число такого вида. Если оно не простое, то оно разлагается на простые множители. Какие? Наша задача — показать, что среди этих множителей обязательно есть простой множитель вида $4k+3$, но не равный ни одному из предположенных чисел. Тогда получим противоречие к первоначальному предположению. Как мы это можем показать? Вот тут будет второе предположение: предположим, что среди сомножителей этого числа нет сомножителей вида $4k+3$. А какие же есть? Вот такие. Покажем, что из них такое число нельзя сформировать. Получаем противоречие.

[Rusit8800]

gris в сообщении #1214972 писал(а):

Наша задача — показать, что среди этих множителей обязательно есть простой множитель вида $4k+3$, но не равный ни одному из предположенных чисел. Тогда получим противоречие к первоначальному предположению.

Вот как раз именно это и непонятно.

[gris]

А, Вы тройку исключили из рассматриваемых чисел. Это можно. Ведь есть простые числа $7,11$. Только тогда надо доказать, что $N$ не делится на $3$.
Ведь если есть простой сомножитель вида $4k+3$, не равный $3$ и не равный ни одному из предположенных чиcел, то количество простых чисел этого вида превышает заявленное в предположении.
Кстати, число $3$ вполне можно считать числом вида $4k+3$. По умолчанию, $k$ целое число. Такое, что при его подстановке в формулу, мы получаем простое число. Простое число по определению целое и положительное. Или в условии теоремы укажите условие для $k$ .

[Rusit8800]

gris в сообщении #1214980 писал(а):

Только тогда надо доказать, что $N$ не делится на $3$.
Ведь если есть простой сомножитель вида $4k+3$, не равный $3$ и не равный ни одному из предположенных чиcел, то количество простых чисел этого вида превышает заявленное в предположении.

Что у меня после ваших сообщений все больше и больше тайн и загадок

-- 08.05.2017, 11:50 --

gris в сообщении #1214980 писал(а):

Или в условии теоремы укажите условие для $k$ .

Да это вроде не обговаривалось, но если к бесконечности прибавить $1$, то ничего не изменится.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1214959 писал(а):

Someone в сообщении #1214842 писал(а):

Зачем?

Чтобы показать,

gris в сообщении #1214231 писал(а):

что $N$ не имеет делителей из предположенных, что не может быть делителей $2$ или только вида $4k+1$

И как с помощью этих "девяток" показать требуемое? У Вас есть конкретный план, или Вы делаете это наугад?

Вот у нас есть возрастающая последовательность якобы всех простых чисел чисел вида $4k+3$: $p_1,p_2,p_3,\ldots,p_n$, причём, конечно, $p_1=3$. Мы составляем из них произведение $\prod\limits_{i=1}^np_i$ и рассматриваем число $4\prod\limits_{i=1}^np_i-1$. Почему оно имеет вид $4k+3$? Как показать, что оно не делится ни на одно из чисел $2,p_1,p_2,p_3,\ldots,p_n$?