Непрерывность отображения

[ferlon]

Добрый день!

Имеется вопрос касательно данной задачи:
Требуется доказать непрерывность отображения $A: C[a,b] \to C[a,b]$, $Ax(t) = t^2 \cos(x(t))$.
Метрическое пространство $C[a,b]$ задано следующим образом: $X = C[a,b], d(x,y) = \max |x(t) - y(t)|$.

Я доказывал это так:
В соответствии с теоремой о непрерывности суперпозиции непрерывных функций, имеем, что $\cos(x(t)) \in C[a,b]$.

Возьмем последовательность $\{x_{n}\} \in C[a,b], x_{n}(t) \xrightarrow{n \to \infty} x_{0}(t)$. В соответствии с определением непрерывности по Гейне, имеем: $\cos(x_{n}(t)) \xrightarrow {n \to \infty} \cos (x_{0}(t))$.
Значит, $t^{2}\cos (x_{n}(t)) \xrightarrow {n \to \infty} t^{2} \cos (x_{0}(t))$.
Значит, $Ax_{n}(t) \xrightarrow {n \to \infty} Ax_{0}(t)$. Значит, отображение $A$ непрерывно.

Правильно ли доказательство непрерывности отображения?
Благодарю за ответы!

[ewert]

ferlon в сообщении #1214788 писал(а):

В соответствии с определением непрерывности по Гейне, имеем: $\cos(x_{n}(t)) \xrightarrow {n \to \infty} \cos (x_{0}(t))$

С определением непрерывности чего?...

У Вас нигде не задействовано определение расстояния.

[ferlon]

ewert в сообщении #1214791 писал(а):

С определением непрерывности чего?...

В данном случае используется определение непрерывности функции по Гейне. Т.е. функция $f$ является непрерывной в точке $a$, если $\forall {x_{n}} \xrightarrow{n \to \infty} a$ выполняется соотношение $f(x_{n}) \xrightarrow {n \to \infty} f(x_{0})$.

Расстояние, действительно, нигде не использовалось. А требуется ли?

[ewert]

ferlon в сообщении #1214793 писал(а):

Расстояние, действительно, нигде не использовалось. А требуется ли?

А как Вы думаете?
Если звёзды зажигают -- значит, зачем-то это нужно.

ferlon в сообщении #1214793 писал(а):

Т.е. функция $f$ является непрерывной в точке $a$, если $\forall {x_{n}} \xrightarrow{n \to \infty} a$ выполняется соотношение $f(x_{n}) \xrightarrow {n \to \infty} f(x_{0})$.

Ну и непрерывность какой функции Вы как бы доказали?
И непрерывность чего -- требовалось доказать?

[ferlon]

ewert в сообщении #1214797 писал(а):

А как Вы думаете?

Ну, мне кажется, что она не требуется, т.к. я доказывал непрерывность не по определению непрерывности, а используя следующий критерий:
Отображение $f: X \to Y$ непрерывно, если $\forall \{x_{n}(t)\} \in X, \{x_{n}(t)\} \xrightarrow{n \to \infty} x_{0}(t)$ выполняется $f(x_{n}(t)) \xrightarrow {n \to \infty} f(x_{0}(t)) \$

ewert в сообщении #1214797 писал(а):

Ну и непрерывность какой функции Вы как бы доказали?

Я пользовался непрерывностью $\cos(x(t))$. Т.е. если эта суперпозиция непрерывна, то выполняется условие в определении непрерывности $f(x_{n}(t)) \xrightarrow {n \to \infty} f(x_{0}(t))$.

ewert в сообщении #1214797 писал(а):

И непрерывность чего -- требовалось доказать?

Непрерывность отображения $Ax(t) = t^{2} \cos(x(t))$.

[ewert]

ferlon в сообщении #1214806 писал(а):

$\forall \{x_{n}(t)\} \in X, \{x_{n}(t)\} \xrightarrow{n \to \infty} x_{0}(t)$ выполняется $f(x_{n}(t)) \xrightarrow {n \to \infty} f(x_{0}(t)) $

Это неверное определение просто по чисто формальным причинам -- просто потому, что ничего не говорится про $t$.

[Dan B-Yallay]

ferlon в сообщении #1214793 писал(а):

В данном случае используется определение непрерывности функции по Гейне. Т.е. функция $f$ является непрерывной в точке $a$, если $\forall {x_{n}} \xrightarrow{n \to \infty} a$ выполняется соотношение $f(x_{n}) \xrightarrow {n \to \infty} f(x_{0})$.

Какое отношение стремление $x_n$ к $a$ имеет к пределу функции в $x_0$?

_________________

ferlon в сообщении #1214793 писал(а):

Расстояние, действительно, нигде не использовалось. А требуется ли?

Вложение:

path5911-3.png [ 12.18 Кб | Просмотров: 1420 ]

Посмотрите на рисунке, куда стремится функция, при $x \to a$

[Otta]

ferlon в сообщении #1214788 писал(а):

Возьмем последовательность $\{x_{n}\} \in C[a,b], x_{n}(t) \xrightarrow{n \to \infty} x_{0}(t)$.

Вот это вот что означает? Напишите.
(Непрерывность функций в точке отношение к Вашей задаче имеет, конечно, но весьма косвенное.)

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #1214813 писал(а):

Какое отношение стремление $x_n$ к $a$ имеет к пределу функции в $x_0$?

Имеет самое прямое. Там проблема в другом -- ТС не различает поточечную сходимость и сходимость по метрике. Во многом из-за использования некорректных обозначений, видимо.

-- Вс май 07, 2017 20:47:44 --

Otta в сообщении #1214816 писал(а):

Непрерывность функций в точке отношение к Вашей задаче имеет, конечно, но весьма косвенное.

Имеет самое прямое -- теорема Лагранжа тут вовсе не обязательна. Хотя доказательство и упрощает.

[ferlon]

Dan B-Yallay в сообщении #1214813 писал(а):

Посмотрите на рисунке, куда стремится функция, при $x \to a$

В данном случае, кажется, никуда, т.к. односторонние пределы не совпадают. Но в задаче функция $x(t) \in C[a,b]$, значит, у нее разрывов не будет.

Otta в сообщении #1214816 писал(а):

Вот это вот что означает? Напишите.

Сейчас попробую расписать в эпсилон-дельта нотации. Тут, действительно, потребуется функция расстояния.

[ewert]

ferlon в сообщении #1214819 писал(а):

Сейчас попробую расписать в эпсилон-дельта нотации

Не обязательно, по Гейне тоже вполне можно.

[Otta]

ewert в сообщении #1214818 писал(а):

Имеет самое прямое -- теорема Лагранжа тут вовсе не обязательна. Хотя доказательство и упрощает.

Я о другом. Но без проблем уступаю это почетное место Вам. Продолжайте сами, пожалуйста.

[Dan B-Yallay]

ewert в сообщении #1214818 писал(а):

Имеет самое прямое. Там проблема в другом -- ТС не различает поточечную сходимость и сходимость по метрике. Во многом из-за использования некорректных обозначений, видимо.

Pазумеется, просто хотелось выяснить это от самого ТС.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #1214833 писал(а):

Pазумеется, просто хотелось выяснить это от самого ТС.

Так он про Гейне с самого начала всё разъяснил. Правда, в стартовом посте лишь намёком, но в следующем -- уже точно.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1214841 писал(а):

Так он про Гейне с самого начала всё разъяснил. Правда, в стартовом посте лишь намёком, но в следующем -- уже точно.

Согласитесь, что когда говорят о пространстве $C[a,b]$ и последовательности $x_n(t)$, и что $x_n \to a$, то поневоле возникают вопросы. Вот он и возник.


По-моему быстрее было бы оценить "в лоб" $|Ax_n(t) - Ax_0(t)|$ при $\|x_n(t) - x_0(t)\|_{C[a,b]} \to 0$