Задача на экстремумы функции.

[bayah]

Всем привет. Вот решал задачку, общая логика ясна, но в технической части что-то застрял. Помогите, разобраться.


Пусть $n$ — натуральное число, а $a$ и $b$ — положительные числа. Через точку с
координатами $(a,b)$ проведена прямая, пересекающая оси абсцисс и ординат в точках $u>0$
и $v>0$ соответственно. Найдите уравнение прямой, для которого выражение $u^n+v^n$
принимает наименьшее значение. Приведите это уравнение к виду $\alpha x+\beta y=1$ и в
ответе укажите выражение $\alpha x+\beta y$.
--------------------------------------------------------------------------------------
В общем нужно составить уравнение прямой, выразить $u$ и $v$ через угловой коэффициент и
найти минимум функции $u^n + v^n$.

Итак, известно, что на искомой прямой лежат три точки. Точки $А(a, b)$, $B(u, 0)$ и $C(0, v)$. Уравнение прямой $y = kx + l$. Подставим в него три данные точки:

$\begin{cases} b=ka+l \eqno (1) \\ 0=ku+l \eqno (2) \\ v=k 0+l \eqno (3) \\ \end{cases} $

И выразим $u$ и $v$, через угловой коэффициент $k$:

$(1) - (2):$
$b = ka - ku$
$b = k(a - u)$
$a-u = \frac b k$
$u = a - \frac b k$


$(3) - (2):$
$v = -ku$
$v = -k(a - \frac b k)$
$v = -ak + \frac{bk}{k}$
$v = b - ak$

Теперь запишем функцию:
$f(k) = u^n + v^n = (a - \frac b k)^n + (b - ak)^n$

Найдем производную:
$f'(k) = \frac{bn}{k^2}(a - \frac b k )^{n-1} - an(b-ak)^{n-1} = \\ n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b}{k^2} \Big(\frac{ak-b}{k(b-ak)}\Big)^{n-1} - a\Big) = \\ n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b}{k^2} \Big(\frac{-(b-ak)}{k(b-ak)}\Big)^{n-1} - a\Big) = \\ n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b}{k^2} \Big(\frac{(-1)}{k}\Big)^{n-1} - a\Big) = \\ n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b(-1)^{n-1}}{k^{n+1}} - a\Big)$

Приравниваем производную к $0$:
$f'(k)=n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b(-1)^{n-1}}{k^{n+1}} - a\Big) = 0$

Вот. И тут, рассматривая вторую скобку, мне не ясно, куда эту $(-1)^{n-1}$ девать, так как знак будет положительным или отрицательным в зависимости от четности или нечестности степени $n$:

$k = \sqrt[n+1]{(-1)^{n-1} \dfrac b a}$

Как быть дальше?
Ответ завязан на этот корень этой скобки.

[Katmandu]

Можем ли мы положить, что $(-1)^{n+1}=(-1)^{n-1}$?

[iifat]

При чётных $n$, как по мне, можно сразу угадать решение, проведя прямую через точку и центр координат (буде упомянутые точки не совпадают).
При нечётных дробь с $k$ в знаменателе убывает, стало быть, меняет знак с плюса на минус. Если, конечно, первая скобка положительна. Впрочем, между двумя минимумами непрерывной функции обязан быть максимум.

[bayah]

Katmandu в сообщении #1213035 писал(а):

Можем ли мы положить, что $(-1)^{n+1}=(-1)^{n-1}$?

Полагаю, что можем, а что?

Так... ну в случае когда $n$ - четное, получается $k = \sqrt[n+1]{-\dfrac b a} = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$.
Если $n$ - нечетное, получается $k = \sqrt[n+1]{\dfrac b a} = \pm\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$.
Так как $k<0$ (потому, что по условию $u>0$ и $v>0$ ), то положительные корни нам не нужны.
А отрицательные значения $k$ существуют и в случае четного $n$ и в случае нечетного.

Далее, корень из первой скобки $k=\dfrac b a$ тоже положительный и не подходит.

Итак, у нас есть две интересующие нас точки:
$k = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$ и
$k = 0$ (как точка в которой $f(k)$ не дифференцируема)

Рассмотрим значения производной в точках слева и справа от точки $-\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$.
Первая скобка $n(b-ak)^{n-1} > 0$ в любом случае.

Рассмотрим значение второй скобки в точке слева $k = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac{2b}{a}}\Big|$:
$\Big(\dfrac{b(-1)^{n-1}}{(-\Big|\sqrt[n+1]{\frac{2b}{a}}\Big|)^{n+1}} - a\Big) = \Big(\dfrac{b}{\frac{2b}{a}} - a\Big) = \Big(\dfrac{a}{2} - a\Big) = -\dfrac{a}{2} < 0$

И в точке справа $k = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac{b}{2a}}\Big|$:
$\Big(\dfrac{b(-1)^{n-1}}{(-\Big|\sqrt[n+1]{\frac{b}{2a}}\Big|)^{n+1}} - a\Big) = \Big(\dfrac{b}{\frac{b}{2a}} - a\Big) = 2a - a = a > 0$

Итак, $k = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$ - точка минимума.

Теперь подставим эту точку в уравнение прямой:
$y = kx + l$, где $l = v = b - ak = b + \Big|\sqrt[n+1]{b}{a}\Big|a$
$y = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|x + b + \Big|\sqrt[n+1]{b}{a}\Big|a$

(Как вообще записывать, если имеешь ввиду именно положительное значение корня, в случае четной степени? Дальше опущу модуль - надоело его писать)

$y = -\sqrt[n+1]{\dfrac b a}x + b + \sqrt[n+1]{\dfrac b a}a$
$y = -\dfrac{\sqrt[n+1]{b}x}{\sqrt[n+1]{a}} + b + \dfrac{\sqrt[n+1]{b}a}{\sqrt[n+1]{a}}$
$\sqrt[n+1]{a}y = -\dfrac{\sqrt[n+1]{b}x}{\sqrt[n+1]{a}}\sqrt[n+1]{a} + b\sqrt[n+1]{a} + \dfrac{\sqrt[n+1]{b}a}{\sqrt[n+1]{a}}\sqrt[n+1]{a}$
$\sqrt[n+1]{a}y = -\sqrt[n+1]{b}x + \sqrt[n+1]{a}b + \sqrt[n+1]{b}a$
$\sqrt[n+1]{a}y +\sqrt[n+1]{b}x = \sqrt[n+1]{a}b + \sqrt[n+1]{b}a$

$\dfrac{\sqrt[n+1]{a}y +\sqrt[n+1]{b}x}{\sqrt[n+1]{a}b + \sqrt[n+1]{b}a} = 1$
$\dfrac{\sqrt[n+1]{a}y}{\sqrt[n+1]{a}(b+\sqrt[n+1]{b}a^{\frac{n}{n+1}})} +\dfrac{\sqrt[n+1]{b}x}{\sqrt[n+1]{b}(a +\sqrt[n+1]{a}b^{\frac{n}{n+1}})} = 1$
$\dfrac{y}{b+\sqrt[n+1]{b}a^{\frac{n}{n+1}}} + \dfrac{x}{a +\sqrt[n+1]{a}b^{\frac{n}{n+1}}} = 1$


Это собственно и ответ в требуемой форме.
Верно?

[ewert]

Верно, только чудовищно долго. На самом деле из $\alpha x+\beta y=1$ сразу следует $\alpha=\frac1u$ и $\beta=\frac1v$ (уравнение прямой "в отрезках") и $\alpha a+\beta b=1$. Т.е. минимизировать надо выражение $\frac1{\alpha^n}+\frac1{\beta^n}=\frac1{\alpha^n}+\left(\frac{b}{1-\alpha a}\right)^n$. Тупое дифференцирование по альфе приводит к уравнению $\frac{n}{\alpha^{n+1}}=\frac{nab^n}{(1-\alpha a)^{n+1}}$, после чего извлечение корня степени $n+1$ практически сразу даёт $\alpha=\left(a+a^{\frac1{n+1}}b^{\frac{n}{n+1}}\right)^{-1}$. Выражение для $\beta$ можно и не искать (хотя для контроля было бы полезно) -- оно сразу получается из соображений симметрии.

Возиться со знаками бессмысленно, т.к. по условию всё положительно. То, что это точка минимума, следует из монотонности производной $-\frac{n}{\alpha^{n+1}}+\frac{nab^n}{(1-\alpha a)^{n+1}}$.

[bayah]

ewert
Да, спасибо, так проще)

А вот еще вопрос:

ewert в сообщении #1213179 писал(а):

То, что это точка минимума, следует из монотонности производной $-\frac{n}{\alpha^{n+1}}+\frac{nab^n}{(1-\alpha a)^{n+1}}$.

А что-то я не понял, если функция монотонно убывающая, и у нее есть точка минимума, то как в этой точке может существовать производная?

[ewert]

bayah в сообщении #1214629 писал(а):

если функция монотонно убывающая

Не функция, а производная. И не убывающая, а возрастающая.

[bayah]

ewert в сообщении #1214632 писал(а):

Не функция, а производная. И не убывающая, а возрастающая.

Нда, точно.
Спасибо)