Интересная система уравнений

[Samshit]

Нужно решить систему уравнений:

$$\begin{equation*} \begin {cases} x^2+y=11, y^2+x=7. \end{cases} \end{equation*}$$

Решить нужно не прибегая к уравнениям четвертой степени.
Я пробовал разложение на множители, через вычитание одного уравнения из другого, выходило следующее:

$$(x-y)(x+y-1)=4$$

Можно перебрать все восеь вариантов решение, но это явно не рациональный способ решения, которое можно найти. Надеюсь, получить какую-нибудь подсказку.

[worm2]

По тому, как Вы решаете, видно, что тут нужно не просто решить, а решить в целых числах.
Если бы нужно было решать в вещественных, то от уравнений четвёртой степени никуда не убежать (ну хорошо, может быть, третьей).
Если же нужно в целых, как я и подумал в начале, то у Вас, на мой взгляд, вполне рациональный способ. Восемь вариантов — нормально для такой задачи.

[ewert]

Там только одно целое решение, и подбирается оно легко без разложений.

[Евгений Машеров]

Или я ослеп, или вариантов 6.
Произведение двух целых чисел равно 4, то есть 1-4, 2-2 и 4-1, а также отрицательные варианты, итого шесть.
При этом чётность сомножителей разная, то есть варианты 2 и 2, а также -2 и -2 отпадают.
Так что проверять надо четыре.

[ewert]

Я имел в виду, что не так много вариантов целочисленного решения второго уравнения, согласующихся с первым. Из неотрицательных иксов во втором уравнении подходят только тройка и шестёрка; тройка действительно даёт решение (притом только одно), шестёрка не даёт ничего целочисленного как минимум. Из отрицательных минус двойка не удовлетворит первому уравнению; минус девятка -- тем более (левая часть первого уравнения станет слишком большой), дальше будет ещё хуже.

А поскольку рациональными решениями в данном случае могут быть лишь целочисленные -- без кардана дальше явно никак. Правда, жизнь несколько облегчается тем, что решений у системы вроде бы всего лишь два (хотя я это и не проверял даже численно за леностью). Поэтому можно обойтись без тригонометрии; но не без кубических корней.

Впрочем, есть смутное подозрение, что предполагалось найти хоть какое-то решение. Такое иногда случается, хоть и неспортивно.

[grizzly]

ewert в сообщении #1214498 писал(а):

решений у системы вроде бы всего лишь два

Ну это всё-таки две параболы с перпендикулярными осями и достаточно удалёнными вершинами. Значит, 4 решения (на одной окружности -- жаль, это всё равно нельзя обыграть).

[Aritaborian]

ewert в сообщении #1214498 писал(а):

хотя я это и не проверял даже численно за леностью

Специально для уважаемого ewert — картинка ;-) Остальные три решения в closed form приводить не буду, ибо там корень на дроби сидит и четырёхзначными числами погоняет.

[ewert]

Aritaborian, ну, значит, геометрическая интуиция меня подвела (я так навскидку прикидывал эти параболы). Значит, даже и без тригонометрии никак. Так тем более.