Интегральные уравнения, метод Тихонова, два параметра

[robot80]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!
Всех с наступающим и прошедшим праздниками!
Хотелось бы проконсультироваться по вопросу, который касается интегральных уравний Фредгольма-Урысона 1-го рода, где участвуют два параметра.
Вначале приведу пример с одним параметром $x$:

$$\int\limits_{a}^{b} K(x,s,f(s)) ds = U(x)$$

. Применим метод регуляризации Тихонова.

$$ \int \limits_{c}^{d} \left(\int\limits_{a}^{b} K(x,s,f(s)) ds - U(x) \right)^2 dx + \alpha \int\limits_{a}^{b}(f(s))^2 ds \to \min $$

.
Здесь всё в общем и целом ясно:
1) $x$ - это точка измерения величины $U(x)$, которая расчитывается с помощью первого интеграла.
2) Последняя запись является аналогом обычного метода наименьших квадратов только в пространстве $L^2 [c,d]$3№)
3) С точки зрения размерностей тоже всё хорошо: первое слагаемое площадь и второе слагаемое тоже площадь, только в разных системах коорданат.
Теперь пусть измерения будут производиться (использоваться) не с отрезка $[c, d ]$, а с некоторой площадки. Как тогда изменится последняя запись? Первое, что приходит в голову, это использовать двойной интеграл вместо одинарного в первом слагаемом.

$$ \int \limits_{T} \left(\int\limits_{a}^{b} K(x,y,s,f(s)) ds - U(x,y) \right)^2 dxdy + \alpha \int\limits_{a}^{b}(f(s))^2 ds $$

.
Сомнения у меня такие:
1) теперь первый интеграл - объём, а второй - площадь, то есть с точки зрения размерностей запись не имеет смысла.
2) в определении двойного интеграла используются маленькие площадки, тогда как у меня никаких площадок нет, есть измерения в точках площадки.
В стандартных книжках по функ.ану я вроде бы не встречал пространства $L^2 [a,b][c,d]$
По идее я суммирую квадраты невязки по всем точкам измерения $x_i, y_j$, и получается такая длинная сумма, но как её оформить в виде интеграла?
В общем, прошу консультации