Изотермическое сжатие идеального газа

[maraul]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей:
"Идеальный газ находится в сосуде объёмом $V_1$ под давлением $p_1$. Затем газ сжимают до объёма $V_2 = \frac {V_1} {2}$ так, что его давление изменяется по закону $p$ ~ $1/V^2$. Определить работу газа в этом процессе."

Дело в том, что у меня получилось решение без использования закона $p$ ~ $1/V^2$. Поэтому хочу поинтересоваться, правильно ли я сделал или нет. Если нет, то почему.

Решение.
Запишем общие уравнения при изотермическом процессе для работы и состояния газа:
$A = p\ln(\frac {V_2} {V_1})$

$p_1 V_1 = p_2 V_2 = pV$

Далее переходим к нахождению промежуточных значений.
$p_1 V_1 = \frac {1} {2} p_2 V_1$ (заменили $V_2$ на то, что дано в условии)

$p_1 = \frac {1} {2} p_2$

$p_2 = 2p_1$

$\Delta p = p_2 - p_1, \Delta p = p_1$

Далее подставляем полученное в уравнение работы:
$A = \Delta p\ln(\frac {1} {2}), A = -0,69\Delta p$

По мне, так ответ похож на правду, т. к. при сжатии газ совершает отрицательную работу, да и вообще красиво всё сошлось. Но не даёт покоя этот закон $p$ ~ $1/V^2$. Что с ним нужно делать конкретно в этой задаче? Я не понимаю. Нет, то, что давление газа обратно пропорционально его объёму это понятно, в моём решении это видно, но больше непонятно ничего.

[Metford]

maraul в сообщении #1214301 писал(а):

его давление изменяется по закону $p$ ~ $1/V^2$.

Два вопроса:
1. Почему Вы решили, что процесс изотермический?
2. Вы знаете, как получено выражение для работы, которым Вы воспользовались? Если да, то проблема несколько уменьшается.

[maraul]

Metford в сообщении #1214303 писал(а):

maraul в сообщении #1214301 писал(а):

его давление изменяется по закону $p$ ~ $1/V^2$.

Два вопроса:
1. Почему Вы решили, что процесс изотермический?
2. Вы знаете, как получено выражение для работы, которым Вы воспользовались? Если да, то проблема несколько уменьшается.

1. Очевидно же) Согласно закону Бойля-Мариотта, давление газа обратно пропорционально его объёму, и из закона, данного в условии, можно сделать вывод о том, что процесс изотермический, т. к. чем больше объём, тем меньше давление. Ну и ещё процесс точно не изохорный и не изобарный, т. к. объём и давление меняются.
2. Да, из интеграла:

$$A = \int_{V_1}^{V_2} pdV$$

[Mihr]

maraul в сообщении #1214329 писал(а):

можно сделать вывод о том, что процесс изотермический, т. к. чем больше объём, тем меньше давление.

Чересчур смелый вывод. Подумайте немного.

-- 05.05.2017, 20:59 --

maraul в сообщении #1214329 писал(а):

Да, из интеграла

Вот именно. Но ведь вовсе не при любой зависимости $p$ от $V$ будет получаться натуральный логарифм.

[Metford]

maraul в сообщении #1214329 писал(а):

Ну и ещё процесс точно не изохорный и не изобарный,

Вот что школа с людьми делает, а точнее школьные задачники. В них кроме трёх изопроцессов, по-видимому, другие процессы не рассматриваются как класс. Поэтому и вывод: если не изохорический и не изобарический - значит, изотермический. Логика...

maraul в сообщении #1214329 писал(а):

Да, из интеграла:

Ну, так и вперёд!

[Mihr]

Metford в сообщении #1214337 писал(а):

В них кроме трёх изопроцессов, по-видимому, другие процессы не рассматриваются как класс.

Точнее: кроме четырёх. Считая адиабатический.

[Metford]

Mihr в сообщении #1214346 писал(а):

Точнее: кроме четырёх. Считая адиабатический.

Я не стал его причислять к этой компании, хотя он тоже "изо", но в школе как-то не скажешь "изо-какой" Величины нужной нет (раньше, по крайней мере, не вводили). А так - да.

[Mihr]

Metford, понятно. Но я не о том, что он тоже изопроцесс, а лишь о том, что он - один из тех процессов, о которых в школе упоминают.

[maraul]

Mihr писал(а):

Чересчур смелый вывод. Подумайте немного.

Повторюсь, согласно закону Бойля-Мариотта, давление обратно пропорционально объёму. В условии нам дан закон изменения давления $p$ ~ $1/V^2$. Из него мы делаем вывод, что процесс изотермический потому, что этот закон своего рода вариация закона Бойля-Мариотта. В данной задаче можно немного переформулировать - давление обратно пропорционально квадрату объёма. Закон, данный в задаче, категорически не актуален ни для изобарного, ни для изохорного, ни для адиабатического процессов. Единственное, что мне не ясно, что делать с квадратом объёма, не случайно же дан именно квадрат.

Mihr писал(а):

Вот именно. Но ведь вовсе не при любой зависимости $p$ от $V$ будет получаться натуральный логарифм.

Да, не при любой. Только при решении интеграла работы в изотермическом процессе получается натуральный логарифм. И что?)

-- 06.05.2017, 12:49 --

Metford писал(а):

Вот что школа с людьми делает, а точнее школьные задачники. В них кроме трёх изопроцессов, по-видимому, другие процессы не рассматриваются как класс. Поэтому и вывод: если не изохорический и не изобарический - значит, изотермический. Логика...

Согласен, туповато получилось.

Metford писал(а):

Ну, так и вперёд!

Не совсем понял, что вы хотите от меня?) Расписать интеграл?) Или что-то другое нужно?

[Mihr]

maraul, вовсе не всякая убывающая функция представляет собою обратную пропорциональность. Величины $x, y$ называются обратно пропорциональными друг другу в одном-единственном случае: когда $xy=\operatorname{const}$.
В законе Бойля - Мариотта давление и объём обратно пропорциональны друг другу именно в таком - точном - смысле. А не просто: чем меньше объём, тем больше давление.

maraul в сообщении #1214416 писал(а):

В данной задаче можно немного переформулировать - давление обратно пропорционально квадрату объёма.

Это не "вариация изотермического процесса". Это уже иной процесс, не изотермический. Что легко понять, посмотрев на уравнение Менделеева - Клапейрона.

maraul в сообщении #1214416 писал(а):

Только при решении интеграла работы в изотермическом процессе получается натуральный логарифм. И что?)

И то. Готовая формула с натуральным логарифмом для этой задачи, очевидно, не годится.

[maraul]

Mihr писал(а):

maraul, вовсе не всякая убывающая функция представляет собою обратную пропорциональность. Величины $x, y$ называются обратно пропорциональными друг другу в одном-единственном случае: когда $xy=\operatorname{const}$.
В законе Бойля - Мариотта давление и объём обратно пропорциональны друг другу именно в таком - точном - смысле. А не просто: чем меньше объём, тем больше давление.

Я это и имел ввиду, только неправильно сформулировал. Виноват.

Mihr писал(а):

Это не "вариация изотермического процесса". Это уже иной процесс, не изотермический. Что легко понять, посмотрев на уравнение Менделеева - Клапейрона.

Ну почему это не изотермический процесс? Точно же не изобарический, не изохорный и уж тем более не адиабатический. Во-первых, у нас всего-то 4 процесса. Пользуясь методом от противного, имеет смысл хотя бы посмотреть в сторону изотермического процесса. А что мы увидим такого в уравнении Менделеева-Клапейрона? Смотрю и совсем уже не понимаю(((

Mihr писал(а):

И то. Готовая формула с натуральным логарифмом для этой задачи, очевидно, не годится.

Здесь соглашусь, готовым нельзя пользоваться. Я эту формулу нашёл в интернете, и если решить интеграл для нахождения работы, то она будет выглядеть немного иначе: $A = pV\ln\frac {V_2} {V_1}$

[Gickle]

maraul в сообщении #1214427 писал(а):

Ну почему это не изотермический процесс? Точно же не изобарический, не изохорный и уж тем более не адиабатический. Во-первых, у нас всего-то 4 процесса.

Процессы не ограничиваются изотермическими, изобарическими, изохорными и адиабатическими.

Цитата:

если решить интеграл для нахождения работы, то она будет выглядеть немного иначе: $A = pV\ln\frac {V_2} {V_1}$

Это что вы так проинтегрировали, что у вас $V \ln{V}$ получилось? Да ещё и в такой интересной форме: и $V$ есть какое-то, и $V_1$, и $V_2$.

P.S. Интегралы не какие-нибудь уравнения, чтобы их решать.

[DimaM]

maraul в сообщении #1214427 писал(а):

Ну почему это не изотермический процесс?

А выразите зависимость температуры от объема. Глядишь, станет ясно.

[maraul]

Gickle писал(а):

Процессы не ограничиваются изотермическими, изобарическими, изохорными и адиабатическими.

Ну расскажите тогда, пожалуйста, какие ещё есть процессы, кроме неупомянутого политропного (который тоже не подходит к этой задаче)?

Gickle писал(а):

Это что вы так проинтегрировали, что у вас $V \ln{V}$ получилось? Да ещё и в такой интересной форме: и $V$ есть какое-то, и $V_1$, и $V_2$.

P.S. Интегралы не какие-нибудь уравнения, чтобы их решать.

http://know.sernam.ru/book_mph.php?id=31 - ссылка на страницу учебника, где этот интеграл подробно расписан.

[DimaM]

maraul в сообщении #1214456 писал(а):

кроме неупомянутого политропного (который тоже не подходит к этой задаче)?

Вообще-то это именно что политропный (более того, изобарический, изохорический, изотермический и адиабатический процессы - это все частные случаи политропного). А какое вам, собственно, дело до названия, ежели дана формула?

(Оффтоп)

Вы, что ли, философ?

Интеграл вы написали, осталось выразить $p(V)$, подставить да посчитать.