Действие и уравнения движения

[misha.physics]

Здравствуйте, хочу прояснить для себя такой важный вопрос в классической механике.
В ньютоновском формализме чтобы определить эволюцию мех. системы нужно задать динамический закон (2-ой закон Ньютона) и начальные положения и скорости.
Далее, в книге написано, что вместо начальных положений и скоростей можно указать начальные и конечные положения. И тут у меня вопрос. Мы можем так сделать, и применив принцип найменьшего действия получить уравнения движения Лагранжа-Эйлера. Но чтобы их решить ми практичесски используем начальные положения и скорости. То есть, у меня получаеться что задание начальных и конечных положений нужно не для того чтобы "решить" динамический закон, а чтобы вместе с принципом найменьшего действия получить этот закон (уравнения Лагранжа-Эйлера). Здесь даже получаеться что нам не нужно численное значение этих положений, а нужно лишь чтобы эти положения были фиксированными, закрепленными. Правильно ли я понимаю, что эту фразу: "вместо задания начальных положений и скоростей можно указать начальные и конечные положения" не надо понимать как начальные условия в обычном смысле, отделенном от динамического закона? Эсли провести аналогию с Ньютоном, то у меня получаються такие способы решения основной задачи механики:
1. Ньютон: Надо задать динамический закон (при этом не говориться как) и начальные положения и скорости.
2. Лагранж: Надо задать начальные положения и скорости, и динамический закон. Последний в свою очередь задается с помощью начальних и конечных фиксированных положений (даже не обязательно указывать чему они равны) и принципа найменьшего действия.
Эсть ли где-то у меня здесь ошибка?

[Cos(x-pi/2)]

misha.physics в сообщении #1214011 писал(а):

Но чтобы их решить ми практичесски используем начальные положения и скорости. <...> Правильно ли я понимаю, что эту фразу: "вместо задания начальных положений и скоростей можно указать начальные и конечные положения" не надо понимать как начальные условия в обычном смысле, отделенном от динамического закона?

misha.physics
Наверное, мой ответ будет для Вас тривиальным, но всё-таки: прежде, чем переходить к общим формулировкам, полезно вспомнить частные примеры. Например, возьмём простейшую задачку о "свободном падении тела" (с этого когда-то начинал Галилей, только он ещё не знал дифф. уравнений). Пусть $z(t)$ - декартова координата камня массой $m$ в направлении "вверх" от поверхности земли, $g>0$ - величина ускорения свободного падения. Для простоты рассмотрим сначала только одномерное движение: вверх-вниз. Тогда уравнение движения (т.е. уравнение Ньютона и уравнение Лагранжа) гласит:

$\dfrac{d^2z}{dt^2}=-g.$

Дважды проинтегрировав, имеем общее решение, с двумя произвольными постоянными $C_1,$ $C_2:$

$z(t)=- \frac{1}{2}gt^2+C_1t+C_2.$

Теперь как хотите, так и задавайте два условия - лишь бы они позволили выбрать значения постоянных интегрирования.

а) Например, зададим начальное положение камня $z(0)=0,$ и его конечное положение: $z(\tau)=0$ в момент времени $\tau>0.$ (Численное значение $\tau$ назначьте какое-нибудь сами).Тогда из первого условия следует, что $C_2=0,$ и из второго условия находим: $C_1=g \tau /2.$

б) Поскольку $C_1$ имеет смысл скорости в момент времени $t=0,$ то же самое частное решение $z(t)$ получится, если задать начальное положение $z(0)=0$ и начальную скорость $ \dot z(0)=g \tau /2.$

(Рассмотрите также задачки с двумерным (или трёхмерным) движением; гармонический осциллятор, и т.п. Посмотрите, к чему сводится уравнение движения (как Ньютона, так и Лагранжа), как постоянные интегрирования входят в решение уравнений движения, и какими условиями эти постоянные удастся задавать.)

[misha.physics]

Cos(x-pi/2), спасибо, есть над чем задуматься.
Ваш пример для меня совсем не тривиален. Раньше я как-то даже не задумывался что можно определить постоянные интегрирования уравнений движения задавая только положения. Так что ваш пример оказался для меня очень полезным.

[Ms-dos4]

misha.physics
Я думаю, что если для вас "ново" то, что сказал Cos(x-pi/2), вам ещё рановато заниматься принципом наименьшего действия.
Однако я замечу, что в уравнениях Лагранжа, движение как раз таки определяется начальным положением и скоростью, и это НЕэквивалентно заданию начальных и конечных положений. В последнем случае вы можете натолкнутся на т.н. кинетические фокусы. Чтобы этого избежать, проще всего рассматривать принцип Лагранжа (в таком виде) на бесконечно малом участке траектории. Тогда оба типа начальных условий будут эквивалентны.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1214011 писал(а):

Здесь даже получаеться что нам не нужно численное значение этих положений, а нужно лишь чтобы эти положения были фиксированными, закрепленными.

По сути, да.

Здесь новая задача, для человека, до сих пор знавшего только ньютоновскую механику. В ньютоновской механике всё просто: есть уравнения движения, надо найти решение. А тут, надо сначала найти сами уравнения движения, и именно этой задаче посвящены все танцы вокруг дуба.

Это, по сути, то, чем занимается теорфизика: пытается высосать физические законы из  пальца  какого-то минимального количества постулатов. Оказывается, вместо уравнения Ньютона, можно взять постулаты более экономные.

[misha.physics]

У меня возник ещё вопрос такого рода:
Рассмотрим $x$-компоненту напряженности електрического поля.
$E_x(x,t)=-\frac{1}{c}\frac{\partial A_x(x,t)}{\partial t}-\frac{\partial \varphi (x,t)}{\partial x}$. Здесь, как я понимаю, $x$ и $t$ независимы. В любой момент времени и, независимо, в любой точке пространства мы можем найти $E_x(x,t)$.
Если теперь мы запишем $x$-компоненту уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле,
$\frac{dp_x}{dt}=eE_x+\frac{e}{c}(v_yH_z-v_zH_y)$,
то теперь $E_x$ нам интересно только в той точке где в данный момент времени находиться частица, значит здесь $E_x$ надо понимать как $E_x=E_x(x(t),t)=E_x(t)$? Теперь $x$ и $t$ зависимы, и $x=x(t)$-траектория частицы?
Значит в первом случае мы задаем ел. поле как функцию независимых переменных координат и времени и это означает сущность ел. поля независимо от нахождения в нем частиц, а когда рассматриваем движение в нем частицы то момент времени автоматичесски задает нам и координату в $E_x(x,t)$, правильно?

[Ms-dos4]

misha.physics
Вы смешиваете различные вещи. В первом случае, вы рассматриваете поле, созданное заданной конфигурацией зарядов (они движутся по заведомо известным траекториям). Отсюда находятся потенциалы и собственно поля.
Во втором случае, вы определяете движение частицы в данном поле. Это совершенно разные вещи. Более того, вам заранее неизвестна траектория, чтобы найти её, вам нужно сначала решить уравнение, где $E(\vec r,t)$ действительно функция "независимых" переменных (тут $\[E(\vec r,t)\]$ - поле, за вычетом создаваемого самой частицей)
(Если вы про то, влияет ли поле самой частицы на её движение - то вообще то да, это называется "торможение излучением", но это вам явно рано). Более того, вам заранее неизвестна

[misha.physics]

Ms-dos4, да, я путаюсь в этих двух ситуациях, и поэтому решил спросить об этом. Нет, влияние исследуемой частицы на поле в котором она движется я не учитывал, мне бы сначала с этим разобраться.
Да, пока мы не решили уравнение движения траектория нам не известна. Хорошо, мы находим $E_x(x,t)$ независимо для любых $x$ и $t$. Но когда мы подставляем ел. поле в уравнение движения мы же должны положить $x=x(t)$ в $E_x(x,t)$ (иначе я не могу придумать), иначе как мы выберем $x$ в зависимости ел. поля от координат?

[Ms-dos4]

misha.physics
Я вообще не понимаю, что вы там пытаетесь выбирать. У вас есть (система) ДУ - вы его решаете и получаете закон движения. В чем проблема?

[misha.physics]

Ms-dos4, думаю проблемы уже нет, $x$ в $p_x$ и $x$ в $E_x(x,t)$ один и тот же $x(t)$, и решаем ДУ относительно него.