Свободный электрон с периодическим граничным условием

[Gickle]

Немного запутался, господа. Вот у нас есть свободный электрон:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi = E \Psi$

и мы требуем выполнения граничного условия (пусть для простоты 1D):

$\Psi(x) = \Psi(x + L)$

И требуем нормировку. Именно: $\int_0^L dx |\Psi|^2 = 1$.

Нужно найти собственные функции и собственные значения оператора. Собственные функции, понятно, будут плоскими волнами. В итоге

$\Psi = C_1 e^{i k x} + C_2 e^{-i k x}$

Ответ во всех книгах по твёрдому телу приводится такой, конечно:

$\Psi_k = \frac{1}{\sqrt{L}} e^{i k x}$,

где $k$ понятно какие.

Эта же штука обобщается на общий случай с периодическим потенциалом в виде функций Блоха. Но вот такой вопрос: а как мне "по-честному" из условий получить $C_2 = 0$? Я этого в упор не вижу вообще.

[Alex-Yu]

Gickle в сообщении #1214134 писал(а):

Но вот такой вопрос: а как мне "по-честному" из условий получить $C_2 = 0$? Я этого в упор не вижу вообще.

А этого и нельзя получить. По той простой причине, что энергетический спектр двукратно вырожден. И любая линейная комбинация соответствующих собственных функций тоже есть собственная функция с тем же собственным значением.

[Gickle]

Alex-Yu
да, действительно, что-то я сглупил. А почему тогда в твёрдом теле всё-таки берут функцию именно в таком виде? Я вот что-то немного запутался, если честно. То есть так-то я понимаю, что можно сказать, что, мол, это анзац, который действительно является решением уравнения, так что чего прикапываться-то. Но вот как по-человечески получить решение, которое традиционно в твёрдом теле используется?

[Cos(x-pi/2)]

Gickle
В вашем примере гамильтониан свободного электрона коммутативен с операторами пространственного сдвига $\hat T(a)$ (сдвиг действует так: $\hat T(a) \Psi(x)=\Psi(x-a),$ где $a$ - любое действительное число). Поэтому здесь собственные функции гамильтониана разумно выбирать так, чтобы они были собственными и для операторов сдвига. Этому условию удовлетворяют решения в виде $\Psi_k(x)=Ce^{ikx}:$

$\hat T(a)\Psi_k(x)=e^{-ika}\Psi_k(x),$

а линейные комбинации $\Psi = C_1 e^{i k x} + C_2 e^{-i k x}$ не являются собственными функциями для $\hat T(a).$

Аналогично и для электрона в периодическом поле в кристалле собственные функции оператора энергии можно выбирать как собственные функции операторов из группы трансляционной симметрии кристаллической решётки (другими словами: как функции, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы трансляций; это есть свойство волновых функций Блоха).

[Gickle]

Cos(x-pi/2)
Спасибо. Да, я вот эту аргументацию тоже и в прошлом своём курсе твёрдого тела слышал, и в Займане читал, и в других книгах. :) Просто мне как-то хотелось попробовать с позиции "в лоб" аргументировать.

[Cos(x-pi/2)]

Gickle
"Аргументации в лоб" тут нет. Для ясности, возьмите свободный электрон в 3D.

Каждое ненулевое значение энергии $E=(\hbar k)^2/(2m)$ вырождено с бесконечной кратностью по направлениям волнового вектора $\vec{k}$: собственной функцией гамильтониана является любая линейная комбинация плоских волн $\Psi_{\vec{k}}(\vec{r})$ c одинаковыми значениями $k=|\vec{k}|.$ Именно требуя, чтобы собственная функция гамильтониана была собственной и для сдвигов (генераторами группы сдвигов служат операторы проекций импульса), мы выделяем в качестве решений плоские волны $\Psi_{\vec{k}}(\vec{r})$ - собственные функции оператора импульса.

Но это не единственное разумное требование. Гамильтониан здесь коммутативен ещё и с операторами поворотов (составляющими группу вращений, её генераторами служат операторы проекций орбитального момента, не коммутирующие друг с другом). Поэтому в некоторых задачах бывает удобнее выбирать волновые функции свободного электрона в виде сферических гармоник - как собственные функции для взаимно коммутирующих операторов $\hat H,$ $\hat {\vec{L}}^2$ и $\hat L_z.$

[Gickle]

Cos(x-pi/2)
Спасибо большое. Теперь всё ясно стало.

[Metford]

Как-то поздно я эту тему увидел. Вроде бы уже все со всем разобрались. На всякий случай добавлю - может быть полезно. Вещи, о которых говорит Cos(x-pi/2), неплохо и довольно подробно изложены в книге Эллиота Дж. и Добера П. Симметрия в физике.

[Gickle]

Metford
Спасибо, посмотрю. :) На самом деле конкретно эти соображения трансляционной симметрий, конечно, в любой нормальной книге по твёрдому телу рассматриваются при доказательстве теоремы Блоха. Но мне почему-то всегда казалось, что в случае со свободным электронным газом можно обойтись без использования того факта, что оператор трансляции коммутирует с гамильтонианом. Теперь вот понятно стало, что был не прав.

[Metford]

Gickle в сообщении #1214167 писал(а):

На самом деле конкретно эти соображения трансляционной симметрий, конечно, в любой нормальной книге по твёрдому телу рассматриваются при доказательстве теоремы Блоха.

Насколько мне помнится, это вообще чисто математическая теорема о свойствах решений дифференциальных уравнений определённого типа. Теорема Флоке она, кажется, называется.

[Gickle]

Cos(x-pi/2)
Я тут подумал, и всё-таки ещё сомнения остались. Подтвердите, что я всё-таки уловил логику до конца. Тот факт, что гамильтониан коммутирует с оператором трансляций, означает, что эти операторы имеют общий полный набор собственных функций. Но из этого не следует, что решение уравнения, являющееся линейной комбинацией СФ гамильтониана, должно быть СФ оператора трансляций. Однако, исходя из вышесказанного, мы можем представить наше решение в виде линейной комбинации СФ оператора трансляций, которые совпадают с СФ оператора импульса (плоские волны). Поэтому мы и ищем решение вот в таком вот виде. Так?

[Red_Herring]

Gickle в сообщении #1214172 писал(а):

Тот факт, что гамильтониан коммутирует с оператором трансляций, означает, что эти операторы имеют общий полный набор собственных функций. Но из этого не следует, что решение уравнения, являющееся линейной комбинацией СФ гамильтониана, должно быть СФ оператора трансляций.

Если два (или более) оператора коммутируют, то у них есть полный набор совместных (обобщенных) собственных функций.

[Gickle]

Red_Herring
А это разве не то же самое?

Цитата:

эти операторы имеют общий полный набор собственных функций

Прошу простить за какую-то математическую нестрогость, но для меня эти утверждения синонимичны просто. Ну и как я всегда понимал, это означает, что если $[A,B] = 0$, то любая СФ оператора $A$ представима в виде ЛК СФ оператора $B$, и наоборот.

Приведенные вами мои предложения относились к этому:

Cos(x-pi/2) в сообщении #1214145 писал(а):

а линейные комбинации $\Psi = C_1 e^{i k x} + C_2 e^{-i k x}$ не являются собственными функциями для $\hat T(a).$

Я к тому, что ну как бы и не обязана СФ оператора $H$ быть СФ оператора трансляций, даже если они коммутируют (и да, я понимаю, что Cos(x-pi/2) и не утверждал этого здесь). Другое дело, что в качестве базиса для решения мы можем выбрать СФ оператора трансляций. Я ведь правильно понимаю логику?

[Red_Herring]

Ну, собственные функции могут быть обобщенными. И это, кстати, отнюдь не праздный вопрос, как Вы понимаете "коммутируют"? Если операторы неограниченные, то это нетривиальный вопрос.

Разумеется, если один из операторов имеет собственное подпространство, то любой коммутирующий с ним оператор переводит это собственное подпространство в себя, и потому если это подпространство конечномерно, то ....

В рассматриваемом Вами случае Вам реально оператор сдвигов не нужен, но поскольку все с.з. (кроме 0) двукратно вырождены, то мы просто берем понравившийся нам набор. Т.е. в каждом таком пространстве выбираем базис. Этот обычно либо $e^{ikx}$ и $e^{-ikx}$, либо  $\cos(kx)$ и $\sin(kx)$, но можно брать и другие (желательно ортогональные) базисы.