Эквивалентны ли уравнения?

[Saqr]

$f^{-1}(B) = \cup_{y \in B} f^{-1}(y) не знаю как ${y \in B}$ прямо под $\cup$ поместить. Или так можно писать?
и
$f^{-1}(B) = f^{-1}(\{y:y \in B\})

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Попробуйте вот так: \bigcup \limits _{y \in B}. $\bigcup \limits _{y \in B}$

[vpb]

Конечно, эти две записи обозначают одно и то же, а именно прообраз множества $B$ относительно отображения $f$.

[Odysseus]

Небольшое добавление: это не "уравнения". В уравнении должны быть свободные переменные, здесь их не наблюдается.

И если более аккуратно, то все это будет звучать так:
- Допустим, что $f$ это бинарное соответствие (в частном случае это можно быть функция или отображение, но не обязательно) из множества $A$ в множество $C$, а $B$ - некое подмножество $C$.
- Ваша вторая запись означает не больше, чем $B = \{y:y \in B\}$, что есть просто высказывание о том, что $B$ это множество, состоящее из каких-то элементов. Обычно так не пишут (нельзя при определении какого-то термина, в данном случае $B$, ссылаться на него самого в правой части определения), и если в этом и есть какой-то смысл, то только в том, что элементы множества $B$ мы обозначаем через $y$ (а потом этими $y$ индексируем семейство множеств из первой записи, см. последний пункт).
- Для $f$, как и для любого соответствия из $A$ в $B$, существует инверсное соответствие $f^{-1}$ из $B$ в $A$.
- При этом первая запись это формулировка того, что прообраз множества $B$ относительно соответствия $f$ равен объединению семейства подмножеств $A$, которые индексированы элементами $y$ из $B$ при отображении $f^{-1}$ из $B$ в множество всех подмножеств $A$.

В последнем пункте некоторая тонкость в том, что раз используется символ $\bigcup \limits _{y \in B}$, то под $f^{-1}(y)$ приходится понимать подмножество в $A$ (отдельные элементы нельзя объединять в множество таким символом), пусть для каких-то $y$ состоящее из одного элемента из $A$ (а если $f$ неинъективно, то $f^{-1}(y)$ может состоять из нескольких элементов). Поэтому хотя мы в данном случае и используем тот же символ $f^{-1}$, что и для инверсного соответствия $f^{-1}$ из $B$ в $A$, в данном случае под этим символом понимается отображение из $B$ в множество всех подмножеств $A$.

[arseniiv]

Odysseus в сообщении #1213345 писал(а):

В уравнении должны быть свободные переменные, здесь их не наблюдается.

Формально говоря, свободны $f$ и $B$.

[Odysseus]

arseniiv в сообщении #1213364 писал(а):

Формально говоря, свободны $f$ и $B$.

ОК, правильнее было бы сказать, что от свободных переменных здесь ничего не зависит, поскольку каждое из этих двух высказываний - тождественная формула, каковые сложно назвать уравнениями.

[Saqr]

Odysseus в сообщении #1213345 писал(а):

Небольшое добавление: это не "уравнения". В уравнении должны быть свободные переменные, здесь их не наблюдается.

верно. только начал привыкать к математике

Odysseus в сообщении #1213345 писал(а):

В последнем пункте некоторая тонкость в том, что раз используется символ $\bigcup \limits _{y \in B}$, то под $f^{-1}(y)$ приходится понимать подмножество в $A$

Почему "приходится"? Мы же знаем, что работаем с множествами, хоть и не указываем инъективно ли отображение или нет. Если не указываются специфицирующие утверждения о возвращаемом* функцией $f^{-1}(y)$, то может стоит писать $f^{-1}(\{y\})$ - раз приняла, то и вернула множество?
* Правильно ли говорить, что функция возвращает что-либо?

Odysseus в сообщении #1213345 писал(а):

Ваша вторая запись означает не больше, чем $B = \{y:y \in B\}$, что есть просто высказывание о том, что $B$ это множество, состоящее из каких-то элементов.

Да, точно. По факту, я, получается, пишу $f^{-1}(B) = f^{-1}(B)

[Odysseus]

Saqr в сообщении #1213419 писал(а):

Odysseus в сообщении #1213345 писал(а):

В последнем пункте некоторая тонкость в том, что раз используется символ $\bigcup \limits _{y \in B}$, то под $f^{-1}(y)$ приходится понимать подмножество в $A$

Почему "приходится"? Мы же знаем, что работаем с множествами, хоть и не указываем инъективно ли отображение или нет. Если не указываются специфицирующие утверждения о возвращаемом* функцией $f^{-1}(y)$, то может стоит писать $f^{-1}(\{y\})$ - раз приняла, то и вернула множество?

В общем случае могут быть три варианта как понимать значок $f^{-1}$:
1) Это соответствие $f^{-1}$ из $B$ в $A$, т.е. с одной стороны элементы $B$ - с другой стороны элементы $A$. Тогда это было бы обычное инверсное соответствие для исходного соответствия $f$ из $A$ в $B$.
2) Это соответствие $f^{-1}$ из $B$ в множество подмножеств $A$, т.е. с одной стороны элементы $B$ - с другой стороны подмножества $A$.
3) Это соответствие $f^{-1}$ из множества подмножеств $B$ в множество подмножеств $A$, т.е. с одной стороны подмножества $B$ - с другой стороны подмножества $A$.
(Формально, может быть еще один вариант: из множества подмножеств $B$ в $A$, но особого смысла в нем нет)

В данном случае, поскольку используются символы $f^{-1}(B)$ и $\bigcup \limits _{y \in B}$, то это неизбежно вариант 3. Да, с формальной точки зрения правильнее было бы писать $f^{-1}(\{y\})$, но для простоты в данном случае фигурные скобки обычно опускают и пишут просто $f^{-1}(y)$. Только ваш аргумент "раз приняла, то и вернула множество" некорректен. Исходное соответствие $f$ действует между элементами множеств, т.е. $f^{-1}$ "принимает" элементы, а не множества.

Saqr в сообщении #1213419 писал(а):

Правильно ли говорить, что функция возвращает что-либо?

Иногда говорят "функция возвращает значение", но под этим обычно имеют в виду просто "функция принимает значение" ("возвращает" пошло из программирование), а не возврат чего-то со стороны обратной функции. Можно, наверное, и про последнее так говорить, главное чтобы вас понимали.

Кстати, а по каким учебникам вы это все учите и, если не секрет, для каких целей?

[vpb]

Saqr
я в своем предыдущем посте был не вполне точен. Вторая запись --- это, действительно, тавтология, т.е. $f^{-1}(B)=f^{-1}(B)$. А первая $f^{-1}(B)=\bigcup_{y\in B}f^{-1}(y)$ означает всего лишь, что прообраз множества относительно отображения есть объединение пробразов отдельных точек, что, очевидно, верно. (Отметим, что если под $f$ понимать не отображение, а произвольное соответствие, то это утверждение тоже верно, однако же в книжках по математике cоответствия, не являющиеся отображениями, попадаются крайне редко, и как правило слово "соответствие" даже не встречается).

[Saqr]

Odysseus в сообщении #1213442 писал(а):

В общем случае могут быть три варианта как понимать значок $f^{-1}$:

Но ничего специально для пояснения значения символа не нужно писать и будет достаточно описания составляющих; а в данном случае что-то такое:

$f : X \to Y$

для биекции
$y \in Y; x \in X : f(x)=y $
для сюръекции
$Y = Y_f$ (это из книги. Сам я пока не понимаю, как может $Y \neq Y_f$, т.к. тогда $f : X \to Y$ будет ложью. Такое рассуждение, наверное, верно для соответствия)

$A \subset X ; B \subset Y$
$A = f^{-1}(B)$

$f^{-1}(B) = \bigcup \limits_{y \in B} f^{-1}(y)
?

Odysseus в сообщении #1213442 писал(а):

Кстати, а по каким учебникам вы это все учите и, если не секрет, для каких целей?

Курс мат. анализа по Кудрявцеву(3 тома) и параллельно сборник задач ч.2 (Гиль, Тищенкова). Буду рад советам по литературе, написанной сжато, но чтобы не приходилось лишний раз думать, что имелось ввиду.
Для программирования, чтобы применять существующие алгоритмы, да и просто чтобы перенять присущую математикам лаконичность.

[Odysseus]

Saqr в сообщении #1213487 писал(а):

Но ничего специально для пояснения значения символа не нужно писать и будет достаточно описания составляющих; а в данном случае что-то такое:

$f : X \to Y$

Конечно, достаточно указать откуда и куда отображение бьет, но если $f: X \to Y$, то $f^{-1}$ это соответствие между множествами $Y$ и $X$, а не между их булеанами (и при этом мы не можем сказать, что $f^{-1}$ это отображение $Y \to X$ если не дано, что $f$ это биекция). Поэтому с формальной точки зрения в записи $f^{-1}(B)$ нужно использовать уже другой значок. В реальности, конечно, это никто не делает, поскольку все условились использовать тот же значок $f^{-1}$ для всех случаев. Однако для себя вы должны понимать что именно происходит, поэтому я выше так подробно это и описал.

Saqr в сообщении #1213487 писал(а):

для биекции
$y \in Y; x \in X : f(x)=y $

Здесь вы что-то непонятное написали. Биекция это когда сюрьекция и инъекция вместе. Из вашей записи не следует ни первого, ни второго.

Saqr в сообщении #1213487 писал(а):

для сюръекции
$Y = Y_f$ (это из книги. Сам я пока не понимаю, как может $Y \neq Y_f$, т.к. тогда $f : X \to Y$ будет ложью. Такое рассуждение, наверное, верно для соответствия)

$f : X \to Y$ это же не $f(X)=Y$, а просто обозначение для отображения из $X$ в $Y$. Вполне может быть $Y \neq Y_f$, и при этом неважно отображение это или соответствие.

Saqr в сообщении #1213487 писал(а):

$A \subset X ; B \subset Y$
$A = f^{-1}(B)$

$f^{-1}(B) = \bigcup \limits_{y \in B} f^{-1}(y)
?

Это верно.

Saqr в сообщении #1213487 писал(а):

Курс мат. анализа по Кудрявцеву(3 тома) и параллельно сборник задач ч.2 (Гиль, Тищенкова). Буду рад советам по литературе, написанной сжато, но чтобы не приходилось лишний раз думать, что имелось ввиду.
Для программирования, чтобы применять существующие алгоритмы, да и просто чтобы перенять присущую математикам лаконичность.

Не рекомендую учить такое по учебникам математического анализа. Там дается просто сводка обозначений и терминов из теории множеств, но понять о чем идет речь сложно. "Сжато" и "чтобы не приходилось лишний раз думать, что имелось ввиду" сочетаются редко, особенно когда вы только начинаете что-то изучать. Лаконичность нужна в обозначениях и формулировках, но далеко не всегда в объяснениях.

По теории прочитайте хотя бы первые две главы "Теоретико-множественные понятия" и "Язык математической логики" из Калужнина "Введение в общую алгебру". Они совсем небольшие и простые, но все станет намного понятнее. И вот еще несколько полезных пособий, там тоже хотя бы первые главы по теории множеств прочитайте (если вам не нужно углубляться в бесконечные кардиналы и трансфинитные числа). Времени займет совсем немного, но будет интересно, и понимание каких-то базовых вещей станет глубже и увереннее:
- Александров "Введение в теорию множеств и общую топологию"
- Зуланке, Онищик "Алгебра и геометрия, т.1. Введение"
- Верещагин, Шень "Лекции по математической логике и теории алгоритмов, ч.1 - Начала теории множеств"

[Saqr]

Odysseus в сообщении #1213509 писал(а):

Не рекомендую учить такое по учебникам математического анализа. Там дается просто сводка обозначений и терминов из теории множеств, но понять о чем идет речь сложно. "Сжато" и "чтобы не приходилось лишний раз думать, что имелось ввиду" сочетаются редко, особенно когда вы только начинаете что-то изучать. Лаконичность нужна в обозначениях и формулировках, но далеко не всегда в объяснениях.

Вот оно, а я-то привык к тому, что написано кратко и непросто или много "воды"(ну а такое я сразу отбрасываю).

Odysseus в сообщении #1213509 писал(а):

Saqr в сообщении #1213487 писал(а):

для биекции
$y \in Y; x \in X : f(x)=y $

Здесь вы что-то непонятное написали. Биекция это когда сюрьекция и инъекция вместе. Из вашей записи не следует ни первого, ни второго.

Я хотел показать, что для единственного $x$ существует единственный $y$, что $f(x)=y $ справедлив для каждого последующего $x$ и $y$, но сейчас понял, что использую программистские понятия и, вообще, недостаточно осведомлен. Ну ладно, не суть, прочту правильную(приведенную Вами) литературу и только потом буду делать какие-то выводы.

Огромное Спасибо за разъяснения, за то, что думаете о их надобности

[Odysseus]

Не за что. Будут вопросы - пишите. Можете попробовать также "Лекции и задачи по топологии" Вербицкого, там также интересные исторические отступления (а заодно, например, еще один способ доказательства теоремы Кантора-Бернштейна, которых полезно знать несколько для лучшего понимания того, какая там структура на самом деле).

Теперь добавлю нелюбимой вами воды :) Это, конечно, дело вкуса, но в хороших учебниках даже длинные отступления это не вода, а специально продуманные объяснения с целью мотивировать введение новых понятий, объяснить их "смысл" и место по отношению к другим понятиям, вызвать правильные ассоциации, и в итоге поспособствовать тому, чтобы в голове у читателя все легло на нужные полочки. Цель же не запомнить набор определений и теорем с доказательствами, а сформировать у себя яркие образы и связи. Тогда будешь не только ближе к настоящему пониманию, но и сможешь более уверенно все применять и потом не забудешь. Это пример того, как прямой путь (простое перечисление определений и теорем, пусть даже с самыми подробными доказательствами) не всегда самый короткий и понятный.

(Оффтоп)

- Что привезти тебе из стран далеких, доченька-красавица?
- Привези мне, батюшка, чудо заморское, страшное, для утех сексуальных.
- Да что ты, доченька? Как можно??
- (вздох...) Ладно, пойдем длинным путем. Привези ты мне, батюшка, цветочек аленький.

В теории множеств это все особенно верно. Теорем там мало и они простые (я говорю про "наивную" теорию множеств, аксиоматическая теория множеств не особенно важна если вы не будете в ней специализироваться), но вводимые понятия и сам язык (множества, классы, операции с множествами, образование новых множеств и классов, различные типы соответствий и отношений, включая отношения эквивалентности и порядка, проекции, сечения, отображения, факторизация, композиция отображений, коммутативные диаграммы, произведение множеств, биекции и т.д.) проявляются потом во всей остальной математике: алгебре, геометрии, анализе, топологии... Поэтому и стоит потратить время на вникание в эти понятия - простые, но очень глубокие и плодотворные - и обдумывание соответствующих образов. Потом это будет очень полезно для всего остального.

В каком-то смысле это относится и к математической логике. Это еще больше "просто язык", чем теория множеств, и многого там учить не надо, но основные понятия из нее тоже будут полезны для понимания того, что на самом деле утверждается и доказывается во всем, что потом будете учить.

[Saqr]

Odysseus в сообщении #1213538 писал(а):

Теперь добавлю нелюбимой вами воды :)

Под водой я имел ввиду растяжение мысли ее бесконечным и нудным объяснением в бессмысленных примерах.
А в книгах по математике/физике помню попадались действительно вдохновляющие истории, и читались они легче любой книги, и запоминалось многое.
Совсем забыл о таком взгляде на математику. Будем перестраиваться!