Гамильтониан изингового типа во вторквантованном виде

[Gickle]

Доброго времени суток. Решаю такую вот задачу:

Дан гамильтониан изингового типа
$H = \displaystyle\sum_{i, j} J_{ij} S_i S_j$,
который нужно переписать его во вторквантованном виде.

(как я понял, имеется в виду, что состояния - просто изинговые спины на решётке)

Итак, поскольку это двухчастичный оператор, то вид он должен иметь следующий:

$H = \displaystyle\sum_{\alpha, \beta, \gamma, \delta} H_{\alpha \beta \gamma \delta} a^{\dagger}_{\alpha} a^{\dagger}_{\beta} a_{\gamma} a_{\delta}$,

где

$H_{\alpha \beta \gamma \delta} = \langle \sigma_{\alpha}(i), \sigma_{\beta}(j)| J_{ij} S_i S_j | \sigma_{\delta}(i), \sigma_{\gamma}(j) \rangle = \sigma_{\alpha} \sigma_{\beta} \langle \sigma_{\alpha}(i), \sigma_{\beta}(j)| J_{ij}| \sigma_{\delta}(i) \sigma_{\gamma}(j) \rangle $

Остаётся небольшая непоняточка с оставшимся матричным элементом. Я понимаю, что там нужно просуммировать по пространственным координатам. То есть, видимо, имеем

$\langle \sigma_{\alpha}(i), \sigma_{\beta}(j)| J_{ij}| \sigma_{\delta}(i) \sigma_{\gamma}(j) \rangle = \displaystyle\sum_{i, j} \langle \sigma_{\alpha}(i) | \langle \sigma_{\beta}(j) | J_{ij} | \sigma_{\delta}(i) \rangle | \sigma_{\gamma}(j) \rangle = \delta_{\alpha, \delta} \delta_{\beta, \gamma} \sum_{i, j} J_{ij} $

(последние действия у меня вызывают наибольшие сомнения)

Если теперь обозначить

$J = \displaystyle\sum_{i,j} J_{ij}$,

то получим красивый гамильтониан
$H = \displaystyle\sum_{\sigma_1, \sigma_2} J \sigma_1 \sigma_2 a^{\dagger}_{\sigma_1} a^{\dagger}_{\sigma_2} a_{\sigma_2} a_{\sigma_1}$

(хотя, чтобы придать $J$ смысл какого-то среднего, нужно всё-таки поделить его на число узлов, как я думаю, но это детали уже)


Итак, господа, помогите. Есть ли в этих рассуждениях и вычислениях смысл? Если нет, то почему и где стоит искать?

[amon]

Gickle в сообщении #1212876 писал(а):

Итак, господа, помогите. Есть ли в этих рассуждениях и вычислениях смысл? Если нет, то почему и где стоит искать?

Сразу предупреждаю, что в этих вещах разбираюсь я не очень, но поскольку истинные знатоки $XYZ$-модели молчат, то придется встрять, а там, глядишь, и знатоки подтянутся.
К Вашим выкладкам у меня один вопрос, и одно утверждение.
Вопрос: как связаны Ваши операторы $a$ и $a^+$ с исходными операторами $S_i$? Если на этот вопрос ответить, то дальнейшее становится тривиальным, если принять во внимание
Утверждение: величины $J_{ik}-$числа, и считать от них матричные элементы это занятие, недостойное истинного воина.

[Gickle]

amon
На самом деле на занятии уже разобрали эту задачу, и уже выяснилось, что я делал не совсем то (или даже скорее совсем не то). Но если всё же говорить в рамках сформулированного выше, то

$\displaystyle S_i = \sum_{\sigma} \sigma \, a^{\dagger}_{\sigma, i} a_{\sigma_, i}$,

имея в виду, что индекс $i$ обозначает ячейку на решётке.

[amon]

Gickle в сообщении #1213128 писал(а):

На самом деле на занятии уже разобрали эту задачу

И всё-таки, если действительно разобраться хотите. Как связаны операторы $a$ с исходными операторами $S$?

[Gickle]

amon
Может, я не до конца правильно вас понял, но вроде ж я привёл выше соотношение для оператора $S$, выраженного через операторы $a$ и $a^{\dagger}$.

[amon]

Gickle в сообщении #1213241 писал(а):

Может, я не до конца правильно вас понял, но вроде ж я привёл выше соотношение для оператора $S$, выраженного через операторы $a$ и $a^{\dagger}$.

Если Вам все понятно, то можно на этом и остановиться. Так, на всякий случай: а Ваши операторы $a$, они бозонного или фермионного типа?

[Gickle]

amon
Фермионного.

[amon]

Ну, значит Вы наверняка все поняли. Так, на заметку. У Вас изинговский магнетик, значит Ваши $S_i$ это $\frac{\sigma_z^{(i)}}{2}$, то бишь матрицы Паули, а Ваши операторы $a$ с точностью до множителя $a\sim \sigma_-=\frac{\sigma_x-i\sigma_y}{2}$. Тогда Ваше $S_i = \sum_{\sigma} \sigma \, a^{\dagger}_{\sigma, i} a_{\sigma_, i}$ есть просто $\sigma_z=\frac{1}{2}(\sigma_+\sigma_- - \sigma_-\sigma_+)$