Открытое письмо Вавилову Н.А.

[timots]

Открытое письмо Николаю Вавилову.
Доброе время суток!
Николай Александрович.
Прошу Вас простить, что свою работу по использованью дифференциальных уравнений я посылаю Вам, а не специалисту по математическому анализу. Но дело в том, что речь идет о применении дифференциальных уравнений в высшей алгебре.
Все началось с самостоятельного изучении теории чисел (Постников). Язык аналитической и высшей алгебры был мне незнаком, и я использовала язык математического анализа.
Так как числа вида $a^n$ можно рассматривать как функции $n$ степени, то связь между $n$ произвольными функциями можно выразить через систему линейных уравнений полученных при решении дифференциального уравнения $f^{n}=f$. Такую систему я построила, чтобы описать зависимость между симметричными многочленами вида $\frac{x^n-y^n}{x-y}=x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}$. К симметричным многочленам можно отнести и формулы Виета. Тогда уравнение $f^{(n)}=f$ является обобщением линейных уравнений и дифференциальных линейных уравнений.
Утверждение: Коэффициенты линейного уравнения можно выразить как свободные члены системы уравнений полученных при решении дифференциального уравнения $f^{(n)}=f$.
Доказательство.
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения $f^{(n)}=f$ является уравнение $z^n=1$.
Корни $n$ степени из единицы являются мультипликативной абелевой группой порядка $n$ .
Характеристическое уравнение дает возможность представить коэффициенты через нормальное распределение.
Так как корни уравнения $z^n=1$ различны, то частные производные линейно независимы, так как отношение $\frac{e^{\xi_k}}{e^{\xi_{k+1} }} \neq\operatorname{const}$ при любых $x$.
Тогда определитель Вронского построенных на частных производных не будет равен нулю $\det\neq0$.
Этот определитель играет важную роль при отыскании частных решений при заданных начальных условиях. Действительно если заданы начальные условия
$y_{x=x_0}=y_0, y’_{x=x_0}=y’_0, y^{(n-1)}_{x=x_0}=y^{(n-1)}$
то из общего решения $y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n$
получить частное, надо решит систему линейных уравнений относительно постоянных $C_1, C_2, \cdots, C_n$
Для $f^{(n)}=f$ при $x=0$ коэффициентами при постоянных будут корни из единицы $\sqrt[n] 1$.
Тогда за начальные условия можно взять коэффициенты уравнения $n$ степени. И формулы Виета можно выразить через эту систему.
$\begin{cases} a_n=y_{x=0}=C_1+C_2+\cdots+C_n\\a_{n-1}=y’_{x=0}=C_1+C_2\xi_1+\cdots+C_n\xi_{n-1}\\......\\a_1=y_{x=0}^{(n-1)}=C_1+C_2\xi_1^{n-1}+\cdots+C_n\xi_{n-1}^{n-1}\end{cases}$
Тогда уравнение $f^{(n)} =f$ являются обобщением всех уравнений степени $n$.
Так как уравнение n степени имеет n корней то такую систему можно задать и для корней уравнения.
При $n\geqslant 5$ уравнение не имеет решений в радикалах, так как согласно теории Галуа группа не имеет конечных вложений подгрупп.
Но есть ряд методов связанных с производной которые приводят к решению уравнений. Самый универсальный из них является метод касательных или метод Ньютона.
Но если рассматривать уравнение как функцию $f(x)=0$. То так как $f^{(n)}=f$, то $\frac{f^{(n)}}{f'}=\frac{f}{f’}$. Тогда значение $x_0, x_1, x_2 \cdots$ вычисленные по формуле $x_{n+1}=x_0-\frac{f(x_n)}{f’(x_n)} $ при $n=1, 2, 3\cdots$ образует последовательность которая стремится к корню уравнения $f(x)=0$. И к этому выводу можно прийти не используя геометрию. Метод Ньютона пригоден как для алгебраических так и для трансцендентных уравнений. Поэтому дифференциальное уравнение является обобщением всех аналитических функций.
(Так как системы $n$ уравнений имеют $n$ неизвестных, то уравнение $f^{(n)}=f$ является обобщением для таких систем. Но здесь проблема не теоретическая, а техническая. Мы не будем рассматривать этот случай.)
Так как корни уравнения имеют нормальное распределение то их можно выразить на комплексной плоскости.
Но дифференциальное уравнение дает возможность построить систему измерений построенную из $n$ независимых единиц измерений используя свойства дифференциального уравнения.
Так как в комплексной области показательная функция периодична $e^{i\pi}=-1$ то в теории комплексной переменой тригонометрическая и гиперболическая функции теряют право на самостоятельное существование так как они являются простыми рациональными функциями от показательной функции. В комплексной области геометрическое толкование $\operatorname{sin} z, \operatorname{cos} z$ теряют смысл. Тем не менее тригонометрическое тождество $\operatorname{sin}^2 z+\operatorname{cos}^2 z$ сохраняет свою силу. Дифференциальное уравнение в комплексной области является неиссякаемым источником трансцендентных функций. Через дифференциальное уравнения возможен переход из комплексной области в действительную.
Рассмотрев в действительной области плоскости, одну или две координат мы получим различные геометрические отображение $f’=-f, f’’=-f$, что соответствует двойственности элементарных частиц.
Хотя здесь используется лишь переход с помощью дифференциального уравнения из комплексной области в действительную.
Дифференциальное уравнение дает возможность рассматривать мнимую единицу $i$ как независимую единицу измерения.
$\frac{e^x}{e^{ix}} \neq\operatorname{const}$
В комплексной плоскости независимые единицы измерения выражаются через координаты векторов $1,0; i, 0$
Комплексное поле отображается на комплексной плоскости, где каждое число изображается точкой на прямоугольной системе координат. Где по абсциссе откладывается действительная часть числа, а по оси ординат мнимая часть числа.
Для изображения комплексного числа необходимо знать начальную точку отсчета $0) $ и две масштабные единицы действительную $ (1) $ и мнимую $ (i) $. Тогда $1,0; i, 0$ являются координатами векторов. Дифференциальное уравнение дает возможность построить систему для большего числа измерений. Если в систему полученную из уравнения $f''=-f$ при $x=0$ подставить вместо коэффициентов $C_1, C_2$ подставить единицы комплексной плоскости,или $\pm1$, или $\pm i$ и используя перестановку частных производных то это даст нам кватернионы в матричной форме $\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i & 0\\0 & i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & i\\i & 0\end{pmatrix}$
Не коммутативность умножения кватернионов дает возможность рассматривать кватернионы как векторы относительно нуля в трехмерном пространстве.
Выводы: Дифференциальное уравнение дает возможность построить систему из $n$ линейных уравнений. Дифференциальное уравнения приводит к обобщению аналитических функции. Дифференциальное уравнение дает возможность построить систему измерений.
Главное отличие этого метода от любого алгебраического метода это то, что здесь модели и связи между моделями (алгебраические операции) получены от одной математической формы,- дифференциального уравнения.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: продолжение темы из Пургатория.

-- 30.04.2017, 00:01 --

timots
Предупреждение за продолжение темы из Пургатория.