Распространение электромагнитной волны

[LifeDeath]

Тут уже спрашивал про это, но не позволяли теме быть на форуме. А вот недавно неожиданно пришла, как это бывает, мысль по решению. Но ответ получается сомнительный. Поэтому прошу помощи.

Задача:
"Плоская электромагнитная волна распространяется в немагнитной среде без потерь с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном 10 см, колебание с частотой 1 ГГц приобретает дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе в 40 градусов (0.69 радиан) и затухает по амплитуде в 10 раз. Определить комплексную диэлектрическую проницаемость среды и коэффициент преломления среды."

А вот как я решал:

Волновое число:

$k = \frac{\Delta \varphi}{\Delta l} = \frac{0.69}{0.1} = 6.9$


Фазовая скорость:

$v_{\phi} = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi f}{k} = \frac{2\pi f}{k} = 910144927 $ м/с


Длина волны:

$\lambda = \frac{v_{\phi}}{f} = 0.91$ м


Связь комплексной диэлектрической проницаемости с волновым числом:

$k = \frac{\omega}{c}\sqrt\varepsilon_{r}$


Отсюда выражаем диэлектрическую проницаемость:

$\varepsilon_{r} = (\frac{ck}{2\pi f})^2 = 0.1 $


коэффициент преломления среды:

$n =\sqrt{\varepsilon_{r}\mu} = \sqrt{0.1\cdot1} = 0.32$


Так как сказано что среда без потерь, то тангенс угла потерь равен нулю, и поэтому у комплексной диэлектрической проницаемости остается только действительная часть.
Ну и в общем я в этом сомневаюсь, потому что значение диэлектрической проницаемости получилось маленьким. Ну и коэффициент должен быть больше единицы.
Еще не понял следующее, в условии сказано что амплитуда уменьшилась в 10 раз, однако в моем решении это никак не отражено, вот не понимаю где это учесть.


Также пробовал решать совсем иначе.
Система уравнений двух состояний плоской волны:

$E(t) =E_{m}\cos(\omega t - kz + \varphi_{0})$
$E(t+\Delta t) = \frac{1}{10}E_{m}\cos(\omega (t + \Delta t) - k(z + \Delta l) + \varphi_{0} + \Delta \varphi)$

где:
$t$ - какой-то момент времени

$\Delta t$ - время за которое волна проходит путь $\Delta l$

$\omega$ - угловая частота.

$k$ - волновое число.

$z$ - какая-то начальная координата.

$\Delta l$ - путь на котором происходит сдвиг по фазе (из условия)

$\varphi_{0}$ - начальная фаза.

$\Delta \varphi$ - сдвиг по фазе (из условия)

$E_{m}$ - амплитуда электромагнитной волны.


Однако есть три причины против этого способа:
1. Не понимаю что делать дальше, уже нечего преобразовывать/подставлять и тд.
2. Непонятно как перейти к искомым величинам.
3. Слишком много неизвестных величин ($t$, $\Delta t$, $z$, $\varphi_{0}$, $E_{m}$)


Прошу помощи, с формулами, идеями.
Кому интересно, информацию по второму способу решения брал отсюда:
https://vk.com/doc144957384_443908068?h ... ecc2856c57 (страница 26)

Заранее спасибо!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

[AnatolyBa]

Что-то в условии не состыковывается. С одной стороны, среда без потерь, с другой стороны, амплитуда уменьшается.
Вы ничего не напутали?

[fred1996]

Наверное имеется ввиду отсутствие магнитных потерь. То есть магнитная проницаемость. как у вакуума. Например обычный диэлектрик с поглощением. Типа прохождение ультрафиолета через обычное стекло. Иначе задача не имеет однозначного решения.

[LifeDeath]

Ну если магнитных, то есть если на это не обращать внимание, какие у вас тогда идеи?

-- 27.04.2017, 08:15 --

Ну если магнитных, то есть если на это не обращать внимание, какие у вас тогда идеи?

[fred1996]

Во первых вам нужно найти стационарное решение (уже без зависимости от времени).
Во вторых это стационарное решение содержит амплитуду, затухающую по экспоненте с расстоянием.
В третьих оно содержит гармоническую составляющую, которая даст вам сдвиг по фазе по сравнению с распространением в вакууме.
Все вместе можно представить как экспоненту с комплексным показателем. Этот показатель и даст вам комплексный ответ.
Извините, формул не привожу. Здесь это не положено. Но думаю вам не составит труда самому написать стационарное решение с комплексным показателем $n$.

[LifeDeath]

fred1996 писал(а):

Все вместе можно представить как экспоненту с комплексным показателем. Этот показатель и даст вам комплексный ответ.
Извините, формул не привожу. Здесь это не положено. Но думаю вам не составит труда самому написать стационарное решение с комплексным показателем $n$.

Спасибо еще одному пользователю, он тоже мне дал подсказку как решать. Похоже на ваше предложение.

Вот такое решение у меня вышло:

Фазовая скорость:

$v_{\phi} = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{n} $


Отсюда находим показатель преломления:

$n = \frac{kc}{\omega} $

А зная показатель преломления мы сможем найти диэлектрическую проницаемость.
Но нам неизвестно значение волнового вектора k, его нужно найти.

$k=k' - ik''$

где $k'$ это волновое число

$k' = \frac{\Delta \varphi}{\Delta l} = \frac{0.69}{0.1} = 6.9$


А $k''$ это коэффициент затухания волны. Чтобы найти его, составим систему уравнений для двух состояний волны.

$E =E_{m}e^{-k''z}$
$E =\frac{1}{10} E_{m}e^{-k''(z + \Delta l)}$


Где первое уравнение - уравнение затухающей волны в какой-либо момент времени, а второе - согласно с нашим условием (волна прошла 10 см, амплитуда уменьшилась в 10 раз)
Преобразуем второе уравнение:

$E =E_{m}e^{-k''z}$
$E =E_{m}e^{-k''(z + \Delta l) + \ln{\frac{1}{10}}}$


Теперь приравняем эти части и уберем экспоненту:

$-k''z = -k''(z + \Delta l) + \ln{\frac{1}{10}$
$k''(z + \Delta l) - k''z = \ln{\frac{1}{10}$
$k''(z + \Delta l - z) = \ln{\frac{1}{10}$
$k''\Delta l = \ln{\frac{1}{10}$
$k'' = \frac{\ln{\frac{1}{10}}}{\Delta l} = -23$


Тогда получаем что наш волновой вектор:

$k = k' - ik'' = 6.9 + 23i$


Найдем показатель преломления:

$n = \frac{kc}{\omega} = k \frac{c}{2\pi f} = 0.047k = 0.32 + 7.57i$


А теперь диэлектрическую проницаемость:

$n =\sqrt{\varepsilon_{r}\mu}$
$\varepsilon_{r}\mu = n^2$ ; $(\mu = 1)$
$\varepsilon_{r} = n^2 = (0.32 + 7.57i)^2 = -57.2 + 4.8i$


Правильное решение?
Действительная часть диэлектрической проницаемости получилась отрицательной, чего не должно быть. Не могу найти ошибку.
Еще такой вопрос, в котором я не уверен, можем ли мы приравнять те два уравнения из системы так как это сделал я? Если да, то почему? Не показывают ли они разные состояния волны (если да, то тогда может их нельзя приравнять?)

[DimaM]

LifeDeath в сообщении #1206209 писал(а):

Волновое число:

$k = \frac{\Delta \varphi}{\Delta l} = \frac{0.69}{0.1} = 6.9$

$\Delta\varphi$ - это дополнительный сдвиг, поэтому вы нашли разницу величины волнового вектора в среде и в вакууме. В вакууме волна идет со скоростью света, поэтому длину волнового вектора в вакууме определить просто.

LifeDeath в сообщении #1212756 писал(а):

А $k''$ это коэффициент затухания волны. Чтобы найти его, составим систему уравнений для двух состояний волны.

$E =E_{m}e^{-k''z}$
$E =\frac{1}{10} E_{m}e^{-k''(z + \Delta l)}$

Через $\Delta l$ амплитуда волны по условию уменьшилась. А по вашим уравнениям - увеличилась.

[LifeDeath]

Цитата:

$\Delta\varphi$ - это дополнительный сдвиг, поэтому вы нашли разницу величины волнового вектора в среде и в вакууме. В вакууме волна идет со скоростью света, поэтому длину волнового вектора в вакууме определить просто.

Вот я кстати совсем не понял, что имеется ввиду когда говорят что "приобретает дополнительный по сравнению с вакуумом".
У нас получается в вакууме одно значение, в среде другое. То есть с ваших же слов это просто разница значений, тогда чтоб ее посчитать нужно эту разницу и найти? Иначе же никак (как я например, через градиент).

Волновое число для вакуума:

$k_{0} = \frac{2\pi f}{c} = 20.9 c^{-1}$


Тогда волновое число в среде:

$k' = k_{0} + \Delta k = 20.9 + 6.9 = 27.8 c^{-1}$

Цитата:

Через $\Delta l$ амплитуда волны по условию уменьшилась. А по вашим уравнениям - увеличилась.

Исправляю решение:

$E =E_{m}e^{-k''z}$
$E =10E_{m}e^{-k''(z + \Delta l)}$

Тогда $k'' = \frac{\ln{10}}{\Delta l} = 23$


И, с условием всех правок, наш волновой вектор:

$k= k' - ik'' = 27.8 - 23i$


Теперь найдем показатель преломления:

$n = \frac{kc}{\omega} = k \frac{c}{2\pi f} = 0.047k = 1.32 - 1.09i$


А теперь диэлектрическую проницаемость среды:

$\varepsilon_{r} = n^2 = (1.32 - 1.09)^2 = 0.56 - 2.87i$

Сейчас правильное решение?

[DimaM]

LifeDeath в сообщении #1212775 писал(а):

Сейчас правильное решение?

Сейчас, по-моему, правильное. Только $k$ измеряется в обратных метрах, а не в обратных секундах.

[LifeDeath]

Цитата:

Сейчас, по-моему, правильное. Только $k$ измеряется в обратных метрах, а не в обратных секундах.

Спасибо. Да, точно, случайно не то написал, там же по определению (фаза на метр) размерность идет.

Еще пара вопросов:
1. Какая размерность у $k''$? Судя по определению (изменение амплитуды при изменении расстояния) должно быть $[\frac{\frac{V}{L^2}}{L}] = [\frac{V}{L^3}]$
2. Как правильно назвать $E_{m}$ в уравнениях волны? Амплитудный коэффициент? Или это и есть амплитуда? Но в таком случае

DimaM писал(а):

LifeDeath писал(а):

$E =E_{m}e^{-k''z}$
$E =\frac{1}{10} E_{m}e^{-k''(z + \Delta l)}$

Через $\Delta l$ амплитуда волны по условию уменьшилась. А по вашим уравнениям - увеличилась.

амплитуда же действительно уменьшилась как по условию. Коэффициент $\frac{1}{10}$ перед $E_{m}$ во втором уравнении как раз и уменьшает ее в 10 раз. Тут я немного запутался.

[DimaM]

LifeDeath в сообщении #1212800 писал(а):

1. Какая размерность у $k''$?

Такая же, как и у $k'$.

LifeDeath в сообщении #1212800 писал(а):

амплитуда же действительно уменьшилась как по условию. Коэффициент $\frac{1}{10}$ перед $E_{m}$ во втором уравнении как раз и уменьшает ее в 10 раз. Тут я немного запутался.

А вы правильные уравнения напишите.
Навроде

$E_1=E_m\exp(\ldots)$
$E_2=E_m\exp(\ldots)$
$E_2 = E_1/10,$

и должно стать понятнее.

-- 27.04.2017, 20:34 --

LifeDeath в сообщении #1212800 писал(а):

Как правильно назвать $E_{m}$ в уравнениях волны?

Я бы назвал начальной амплитудой.