Погрешность связи тригонометрических сумм и распределения

[fractalon]

Здравствуйте. Буду использовать обоначения $e_p (a) = e^{2 \pi \frac{a}{p} i}$ и $C_f (k, p) = \left\lbrace {x \in {\matbb F}_p : f(x) < k} \right\rbrace$.

Существует классический, как я понимаю, метод вывода точности $C_f (k,p)$ из оценок на тригонометрические суммы, когда в очевидной записи $C_f (k,p) = \frac{1}{p} \sum \limits_{a=0}^{k-1} \sum \limits_{x=0}^{p-1} \sum \limits_{t=0}^{p-1} {e_p ((a-f(x))t)}$ меняют порядок суммирования, отделяют слагаемые с $t=0$ и из оценок вида $\forall a \not \equiv 0 \pmod p :\ \sum \limits_{x=0}^{p-1} {e_p (a f(x))} < R(p)$ выводят что-то типа $\lvert {C_f(k,p)-\frac{k}{p}} \rvert \le R(p) \log{p}$.

Естественно, всё это имеет смысл только при $R(p) \log{p} = o(p)$, логарифм берётся из оценки $\sum \limits_{t=0}^{p-1} {\lvert {\sum \limits_{a=0}^{k-1} {e_p (at)}} \rvert}$ \le p \log{p}.

Ну, и можно в итоге это всё переформулировать в виде теоремы:
Если $\forall a \not \equiv 0 \pmod p :\ \sum \limits_{x=0}^{p-1} {e_p (a f(x))} < R(p) = o(\frac{p}{\log{p}})$, то $\forall \varepsilon > 0:\ C_f (\varepsilon p, p) \sim \varepsilon p$.

Собственно, вопрос - можно ли в теореме выше облегчить условия, подставив вместо $o(\frac{p}{\log{p}})$ что-то больше по порядку роста? И есть ли пределы, выше которых повышать нельзя, то есть можно ли построить контрпример для какой-нибудь $R(p)=o(p)$?