Симметрия отражения пространства. ФЛФ вып. 4 гл. 52

[madschumacher]

Uchitel'_istorii в сообщении #1210117 писал(а):

Для скалярного произведения это можно доказать.

Это доказательство один в один совпадает по своей логике с тем, что писалось для векторного произведения.

Uchitel'_istorii в сообщении #1210117 писал(а):

Известно, что скаляры не меняются при отражении (напр. длина вектора),

Откуда Вам это известно? это просто одно из требований к преобразованию симметрии: унитарность. Например, существует куча всяких преобразований, не сохраняющих скалярное произведение (например, проектор на ось $x$).

[Uchitel'_istorii]

Хорошо. Допустим, правило правого винта верно при отражении, и аксиальные векторы преобразуются по нему, т.е. $\mathbf{r' \times p'} = (\mathbf{r \times p})'$ верно. Я доработал предыдущий рисунок, сделав ненулевой $z$- компоненту импульса: png
Во-первых, если ось $z$ направить вниз , то вектор $\mathbf{r \times p}$ будет направлен по правилу левого винта. Это нормально?
Во-вторых, преобразованный вектор $\mathbf{r \times p}$ не равен $-\mathbf{(r \times p)}$, т.е. $\mathbf{L'} \neq -\mathbf{L}$ и $\mathbf{r' \times p'} \neq -\mathbf{(r \times p)}$. А Фейнман , как я понимаю, для доказательства симметрии использовал именно эти минусы.

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii
Всё правильно получилось. Действительно:

У Вас аксиальный вектор $\mathbf{L}$ с компонентами $(-5;-12;87)$ после отражения в плоскости $YZ$ превратился в $\mathbf{L'}$ с компонентами $(-5;12;-87).$

Этот результат теперь надо сравнить с тем, который получился бы при отражении какого-нибудь полярного вектора (обозначим его, например, буквой $\mathbf{V})$ с такими же исходными компонентами, какие были у аксиалного $\mathbf{L},$ то есть $(-5;-12;87).$ При отражении полярного вектора в плоскости $YZ$ лишь изменяется знак его $X$-компоненты, а остальные две компоненты не изменяются. Т.е. отражённый полярный вектор $\mathbf{V'}$ есть $(5;-12;87).$

Видно, что $\mathbf{L'}$ отличается от $\mathbf{V'}$ дополнительным минусом, т.е. компоненты у аксиального вектора $\mathbf{L'}$ получились такие же, как у вектора $(-1)\mathbf{V'}.$ В этом минусе как раз и состоит отличие преобразования аксиального вектора от преобразования полярного вектора при отражениях. Именно такой минус имеет ввиду Фейнман. (На целесообразность сравнений с преобразованиями полярного вектора Фейнман фактически указал своим рисунком фиг. 52.2, определив с его помощью понятие полярного вектора).

[arseniiv]

Munin в сообщении #1209293 писал(а):

Я так понимаю, если из преобразований пространства исключить несохраняющие ориентацию, то результат векторного произведения можно считать законным вектором?

Мне думалось, низя. Вы же знаете, что звёздочек у Ходжа не одна.

Правда, это не очень связано с темой. В свете ответа Alex-Yu мне надо подкорректироваться: я написал, как будто аксиальные векторы и псевдовекторы — одно и то же. На самом деле они одно и то же только в размерности 3. Действительно, всё проще и для описания наборов плоскостей вращения нам нужны только бивекторы (которые, конечно, и есть ровно антисимметричные тензоры 2-го ранга, если мы определяем внешнее произведение через тензорное, а в другом случае полностью взаимозаменяемы). И всё сложнее, потому что теперь аксиальные векторы в нетрёхмерии вообще никаким векторам нельзя будет сопоставить; и ведь известно, что на плоскости у них всего одна компонента (что я уж точно должен был вовремя вспомнить) (и они тогда псевдоскаляры).

[Munin]

arseniiv в сообщении #1210334 писал(а):

Мне думалось, низя.

Я так понял, что это признание, что "всё-таки можно"? :-)

Насчёт 3-мерия: да, мой вопрос, как и вся тема, посвящён случаю $D=3.$ Случаи $D>3$ редко используются в физике (не считая СТО), случай $D=2,$ конечно, привлекателен, но в физике обычно рассматривается не как самостоятельный:
- либо как "плоский" подслучай $D=3$ (и вращения плоскости считаются векторами вдоль "стоящей за сценой" оси $z$);
- либо как комплексная плоскость с её отдельной идеологией.
Для "технического" понимания этого достаточно, можно не лезть глубоко в "идеологию".

[Alex-Yu]

arseniiv в сообщении #1210334 писал(а):

потому что теперь аксиальные векторы в нетрёхмерии вообще никаким векторам нельзя будет сопоставить;

И не надо сопоставлять. Я что-то не припоминаю, чтобы в физике где-то использовались аксиальные векторы не в трехмерии. Я не прав? Пример?

И вообще, что такое аксиальный вектор, к примеру, в четырехмерии? Где инверсия вообще сводится к вращениям. В пятимерии (и вообще в нечетномерии), правда, не сводится. Но оно нам надо, это пятимерие и дальше?

[Munin]

Ещё в одномерии :-) Правда, в этом одномерии вообще часто путают скаляры и векторы (например, градиент обзывают производной, и воображают скаляром).

[Uchitel'_istorii]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1210210 писал(а):

Uchitel'_istorii
Всё правильно получилось. Действительно:

У Вас аксиальный вектор $\mathbf{L}$ с компонентами $(-5;-12;87)$ после отражения в плоскости $YZ$ превратился в $\mathbf{L'}$ с компонентами $(-5;12;-87).$

Этот результат теперь надо сравнить с тем, который получился бы при отражении какого-нибудь полярного вектора (обозначим его, например, буквой $\mathbf{V})$ с такими же исходными компонентами, какие были у аксиалного $\mathbf{L},$ то есть $(-5;-12;87).$ При отражении полярного вектора в плоскости $YZ$ лишь изменяется знак его $X$-компоненты, а остальные две компоненты не изменяются. Т.е. отражённый полярный вектор $\mathbf{V'}$ есть $(5;-12;87).$

Видно, что $\mathbf{L'}$ отличается от $\mathbf{V'}$ дополнительным минусом, т.е. компоненты у аксиального вектора $\mathbf{L'}$ получились такие же, как у вектора $(-1)\mathbf{V'}.$ В этом минусе как раз и состоит отличие преобразования аксиального вектора от преобразования полярного вектора при отражениях. Именно такой минус имеет ввиду Фейнман. (На целесообразность сравнений с преобразованиями полярного вектора Фейнман фактически указал своим рисунком фиг. 52.2, определив с его помощью понятие полярного вектора).

Не знаю, насколько это эквивалентно, но Фейнман делает по-другому (последний абзац стр. 248 gif).
Он сначала переходит в левую систему координат, т.е. направляет в противоположную сторону одну из осей png1 > png2. При этом все полярные векторы, как объекты , остаются без изменений, но меняют одну координату именно в этой системе, векторное произведение получается по правилу левого винта (и ориентировано, как $-\mathbf{(r \times p)}$ по старой системе). Если перерисовать в привычном виде с сохранением координат, то опять получится правый винт png3.

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1210455 писал(а):

Не знаю, насколько это эквивалентно...

Ну не знаете и не знаете... ничего больше не могу поделать с вашим незнанием. Смотрите ещё и другие абзацы. А также учебники по векторной алгебре читайте, задачки решайте - в них про векторное произведение всё написано с математическими выводами, с доказательствами, гораздо подробнее, чем в этой краткой лекции Фейнмана.

Кстати, в предыдущем абзаце у Фейнмана написано про отражение векторов (цитирую то, что верно при отражениях в любых плоскостях, а не только в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, как было на рис. 52.3): <<... В результате мы получим "вектор", который ... оказывается перевёрнутым по отношению к полярному вектору и геометрии всего пространства. Такой вектор мы называем "аксиальным">>

Перевёрнутый это и означает "с минусом".

[arseniiv]

Alex-Yu в сообщении #1210406 писал(а):

И не надо сопоставлять. Я что-то не припоминаю, чтобы в физике где-то использовались аксиальные векторы не в трехмерии. Я не прав? Пример?

Я тоже, так что не могу дать пример. Я просто решил себя поправить, всё-таки это было не совсем правдой. Теперь же и комар носа не подточит.

Alex-Yu в сообщении #1210406 писал(а):

И вообще, что такое аксиальный вектор, к примеру, в четырехмерии? Где инверсия вообще сводится к вращениям.

Да, начиная с четырёхмерия может быть две и больше инвариантных плоскостей, а так же случаи типа этой инверсии, когда бивектор не представляется в виде суммы разложимых единственным образом. Геометрически неразложимые поливекторы действительно не очень ясно как представлять, кроме как формальные суммы, рассматриваемые ещё и с точностью до.

Munin в сообщении #1210426 писал(а):

Правда, в этом одномерии вообще часто путают скаляры и векторы (например, градиент обзывают производной, и воображают скаляром).

Да, тут опять же, если ориентация задана, они взаимозаменяемы, а если не задана, это они зря.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1210474 писал(а):

А также учебники по векторной алгебре читайте

Не хочет он. Троллить на форумах - это пожалуйста, а книжку открыть - не барское дело.