Задача Дирихле

[Sicker]

Пусть у нас есть замкнутая поверхность с заданной на ней функцией $g(x), x\in S$, где $S$-поверхность.
И надо найти распределение $\psi$ внутри и снаружи это поверхности (внешняя и внутренняя задача Дирихле), которое удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \psi=0$ (или Кирхгофа, если рассматривать оптику).
Решение имеет вид $\psi(x)=\int g(y)\frac{\partial G(x-y)}{\partial n} dS$, где $G(x-y)$ - функция Грина оператора Лапласа (потенциал единичного точечного заряда).
У меня следующие вопросы: если рассмотрим точку, которая находится на очень маленьком расстоянии от какой-то точки поверхности с граничным значением $g(x)$, то значение в этой точке должно быть близко к $g(x)$ из соображений непрерывности. Но ведь это значение получается из вкладов всех точек поверхности $S$ согласно интегралу, т.е. грубо говоря каждая точка поверхности "излучает" свою функцию, и путем интегрирования получаем наше поле. И полученное значение, которое складывалось из сигналов всех точек не будет равно значению в точке на границе поверхности.
И еще, иногда в уравнении Пуассона справа вводят множитель $\frac{1}{4\pi}$, и тогда функция Грина будет в $\frac{1}{4\pi}$ раз меньше, и тогда наш интеграл в $\frac{1}{4\pi}$ меньше, и тогда значение в точках будут в $\frac{1}{4\pi}$, и это неизбежно рассогласует их со значениями на границе.
Лично у меня получилось, что все хорошо только когда у нас есть бесконечная плоскость с заданными значениями $g(x)$, и нулевые граничные условия на бесконечности, тогда значение в точке, бесконечно близкой к граничной зависит только от значения в этой граничной точке, а вклады от остальных точек нулевые, т.к. $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ (производная по направлению к нормали для потенциала точечного заряда).
А что делать в случае других поверхностей?

[Munin]

Sicker в сообщении #1209967 писал(а):

У меня следующие вопросы: если рассмотрим точку, которая находится на очень маленьком расстоянии от какой-то точки поверхности с граничным значением $g(x)$, то значение в этой точке должно быть близко к $g(x)$ из соображений непрерывности. Но ведь это значение получается из вкладов всех точек поверхности $S$ согласно интегралу, т.е. грубо говоря каждая точка поверхности "излучает" свою функцию, и путем интегрирования получаем наше поле.

Отличное упражнение! Докажите, что это одно и то же. Это как раз повод поупражняться в векторном анализе.

[Sicker]

Попробую)
А это точно верно? Просто если например мы в какой-то точке поверхности сделаем дельта-образный скачок $g(x)$, то это неизбежно приведет к изменению значения в нашей точке, которое пропорционально $a$(и имеет такой же порядок), если скачок $a\delta(x)$

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1209967 писал(а):

функция Грина оператора Лапласа (потенциал единичного точечного заряда).

Это неверно. Д.б. "функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа (в данной области)", и она не совпадает с потенциалом единичного заряда. Даже в случае полупространства $G(x,y)=\Phi (x-y) -\Phi (x,y')$, где $\Phi (z)$ это потенциал единичного заряда в 0, а $y'$ зеркальный образ $y$ (по отношению к границе).

[Sicker]

У вас одна и та же функция имеет разное количество аргументов.

-- 16.04.2017, 22:20 --

Ну функция Грина будет определяться из $\Delta G(y-x)=\delta(x)$, и совпадет с потенциалом точечного заряда, нет?

-- 16.04.2017, 22:21 --

Red_Herring

-- 16.04.2017, 22:29 --

Red_Herring в сообщении #1209986 писал(а):

$G(x,y)=\Phi (x-y) -\Phi (x,y')$

А там не плюс должен быть? А то ноль выходить из за симметричности потенциала.
И у меня как раз для полупространства получалось, что моя функция Грина должна быть в два раза больше) (или в два пи, смотря какое уравнение рассматривать)

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1209987 писал(а):

Ну функция Грина будет определяться из $\Delta G(y-x)=\delta(x)$, и совпадет с потенциалом точечного заряда, нет?

Из задачи Дирихле: т.е. уравнение должно выполняться в области, и $G(x,y)$ обращается в 0 на границе. А потенциал удовлетворяет уравнению во всем пространстве.

Sicker в сообщении #1209987 писал(а):

А там не плюс должен быть? А то ноль выходить из за симметричности потенциала.

Плюс для задачи Неймана, минус для Дирихле. Разумеется, при наличии симметрии.

[Sicker]

Red_Herring
Кстати, тут близкая тема зоны Френеля. Может быть дурацкий вопрос, но вклад в амплитуду в какой-то точке будет лишь давать первая зона Френеля, но ведь ее площадь очень мала по сравнению с площадью остальной сферы, тогда при подстановке в наш интеграл у нас амплитуда почти нулевая, в чем загвостка?

[Red_Herring]

Я не знаю, что Вы имеете в виду, но как правило, решение дается сингулярным интегралом и важны не только длина/площадь/объем зоны, но и тип сингулярности. Посмотрите например асимптотику $\iiint (x^2+y^2+z^2 + h^2)^{-p}\,dxdydz$ при $h\to 0$

[Sicker]

Red_Herring
А там же никакой сингулярности не будет, если мы рассматриваем точку на каком-то удаленном расстоянии от сферы (уже другая задача)

[Vince Diesel]

Sicker в сообщении #1209967 писал(а):

Но ведь это значение получается из вкладов всех точек поверхности $S$ согласно интегралу, т.е. грубо говоря каждая точка поверхности "излучает" свою функцию, и путем интегрирования получаем наше поле. И полученное значение, которое складывалось из сигналов всех точек не будет равно значению в точке на границе поверхности.

Когда точка $x$ стремится к точке $y\in S$ ядро $\frac{\partial G(x,y)}{\partial n}$ стремится к дельта функции (на $S$). Так что вклад $g$ в далеких от $y$ точках исчезает.

[Sicker]

Асимптотика будет $h^{-2p+3}$

-- 16.04.2017, 23:09 --

Vince Diesel в сообщении #1210008 писал(а):

Когда точка $x$ стремится к точке $y\in S$ ядро $\frac{\partial G(x,y)}{\partial n}$ стремится к дельта функции (на $S$). Так что вклад $g$ в далеких от $y$ точках исчезает.

Да, получается что-то типа интеграла от дельта-функции плюс интеграл от обычной ненулевой функции, чей вклад сравним с дельта-функцией. Почему вклады исчезают?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1210011 писал(а):

Почему вклады исчезают?

Потому что это функция Грина задачи Дирихле.

[Sicker]

Red_Herring
Т.е. решение уравнения Лапласа с граничными условиями на сфере, где поле всюду ноль, и имеет дельта-окрестность в какой-то точке? Тогда очевидно.
Тогда зачем производная по нормали нужна?

[Vince Diesel]

А это уже отдельный факт, что ядро, дающее решение задачи Дирихле с нулевой правой частью, выражается через функцию Грина задачи Дирихле.

[Red_Herring]

Sicker
Давайте разберитесь: У нас есть область $X$, её граница $S$ и задача Дирихле: $\Delta u= f$ в $X$ и $u|_S=g$. Т.е. у нас есть две функции, одна в $X$, а вторая на $S$, и соответственно два интегральных оператора:
$u=\hat{G} f + \hat{P}g$. Я ставлю шапочки исключительно из уважения к физикам. У одного из них интегральное ядро будет $G(x,y)$ с $x,y \in X$, а вот у второго оно будет $P(x,y)=\partial_{n_y}G|_{y\in S}$ с $x\in X,y\in S$. И вот именно второе и будет удовлетворять $P|_{x\in S} =\delta(x-y)$, и эта дельта поверхностная, а не пространственная. А если бы мы не брали производную, то по определению бы получили не дельту, а ноль!

(Оффтоп)

На самом деле там будут ещё операторы: из на функций $X$ в функции на $S$: $\hat{P}^*: f\to \partial_{n_x}\hat{G}f|_S$, и так называемый Дирихле-в-Нейман $\hat{N}:g\to \partial_{n_x}\hat{P}g|_S$.

-- 16.04.2017, 15:34 --

Vince Diesel в сообщении #1210026 писал(а):

А это уже отдельный факт, что ядро, дающее решение задачи Дирихле с нулевой правой частью, выражается через функцию Грина задачи Дирихле.

Который наш друг Sicker должен выучить из учебника.