Сходимость операторов

[Spook]

Пусть ${A_n}$ последовательность самосопряженных операторов. Доказать, что если последовательности ${A_n}$, ${A^2_n}$слабо сходятся к операторам ${A}$, ${A^2}$ соответсвенно, то $A_n\to A$ сильно.

Странно вообще как-то получить сильную сходимость из слабой, хотя у меня получилось вот что:
${||A_nx||}^2=(A_nx,A_nx)=(x,A^2_nx)\to (x,A^2x)={||Ax||}^2$.
Вроде логично, но вводит в сомнение то, что я использовал только $A^2_n\to A^2$.

[AD]

Так, ну ведь из $\|x_n\|\xrightarrow[n\to\infty]{}\|x\|$ не следует $x_n\xrightarrow[n\to\infty]{}x$.

[Spook]

Пожалуй что не следует, а где я это использовал?

[AD]

Ну вы доказали, что
${||A_nx||}\xrightarrow[n\to\infty]{}{||Ax||}$. $(1)$
Из жалобы на неиспользованность условия $A_n\xrightarrow[n\to\infty]{w}A$ я делаю вывод, что вы считаете это решением задачи. Но надо-то доказать, что
$A_nx\xrightarrow[n\to\infty]{}Ax$. $(2)$

Вот я и обращаю внимание, что из $(1)$ не следует $(2)$.

[Spook]

Хм...Да, Вы правы. И как же быть?

Добавлено спустя 2 часа 7 минут 44 секунды:

Вроде разобрался:
$||A_nx||\to ||Ax||$, откуда следует, что $||(A_n-A)x||\to 0$ то есть доказана равномерная сходимость, из которой как известно следует сильная.

[Henrylee]

Spook писал(а):

Вроде разобрался:
$||A_nx||\to ||Ax||$, откуда следует, что $||(A_n-A)x||\to 0$ то есть доказана равномерная сходимость

Во-первых не следует, во-вторых не равномерная (равномерная - это по операторной норме). Рассматривайте сразу разности.

[Spook]

Henrylee писал(а):

Spook писал(а):

$||A_nx||\to ||Ax||$, откуда следует, что $||(A_n-A)x||\to 0$

Во-первых не следует...

Это почему же не следует? Согласно неравенству треугольника:
$||A_nx-Ax||\leqslant ||A_nx||-||Ax||$. Касательно второго замечания не понял, объясните пожалуйста, что за разности.

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Это почему же не следует? Согласно неравенству треугольника:
$||A_nx-Ax||\leqslant ||A_nx||-||Ax||$

Вас не смущает, что справа может получиться отрицательное число?

[Spook]

Начало смущать.Brukvalub может можно как-нибудь все-таки получить эту сильную сходимость из двух слабых?

[Henrylee]

Spook писал(а):

Касательно второго замечания не понял, объясните пожалуйста, что за разности.

Вот эти разности

Spook писал(а):

$||A_nx-Ax||$

Попробуйте использовать в своей первой выкладке.

[Spook]

Вы про это:

Spook писал(а):

${||A_nx||}^2=(A_nx,A_nx)=(x,A^2_nx)\to (x,A^2x)={||Ax||}^2$.

?
Так там же рассматривается норма самосопряженного оператра.
А вообще $||A_nx||^2-||Ax||^2=||A_nx-Ax||||A_nx+Ax||=||(A_n-A)x||||(A_n+A)x||\leqslant|||A_n-A|||x||^2||A_n+A||\to 0$

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Henrylee, Вы согласны с этим?

[Dan B-Yallay]

Spook писал(а):

...
А вообще $||A_nx||^2-||Ax||^2=||A_nx-Ax||||A_nx+Ax||=......$

С таким трудно согласиться.

Пусть $||A_{2008}x|| = 4.97, ||Ax|| = 5.00$

Вас не смущает, что слева опять может оказаться отрицательное число? В пределе может это и не является проблемой, но ...

Попробуйте расписать $||A_nx - Ax||^2=...$

[Spook]

Да, что-то вчера я нес чушь.
$||A_nx-Ax||=||(A_n-A)x||\leqslant|||A_n-A|||x||\to 0$ Это имеется ввиду?
Кстати, это эквивалентно этому:
$||A_nx-Ax||=||(A_n-A)x||\to||0x||=0$?

Ночью пришла в голову еще такая идея
$||A_n-A||^2=||A_n||^2+||A||^2-(A_n,A)-(A,A_n)$
В силу слабой сходимости $(A,A_n)\to (A,A)=||A||^2$. В пределе получим $||A_n-A||^2=||A_n||^2-||A||^2=0$
Я начинаю запутываться, но не сходимость ли по норме(операторной) я сейчас доказал? Уже смущает то, что справа может быть отрицательное число(((.

[Henrylee]

Spook писал(а):

Да, что-то вчера я нес чушь.
$||A_nx-Ax||=||(A_n-A)x||\leqslant|||A_n-A|||x||\to 0$ Это имеется ввиду?

Нет, тут Вы пользуетесь равномерной сходимостью, которой у Вас нет.

Spook писал(а):

Кстати, это эквивалентно этому:
$||A_nx-Ax||=||(A_n-A)x||\to||0x||=0$?

А здесь сильной, которой тоже еще нет (да еще для того, чтобы доказать ее саму).

Spook писал(а):

Ночью пришла в голову еще такая идея
$||A_n-A||^2=||A_n||^2+||A||^2-(A_n,A)-(A,A_n)$

А вот это как раз то, что нужно, если записать аккуратно с иксами. И воспользоваться обеими слабыми сходимостями.

Добавлено спустя 6 минут 6 секунд:

Spook писал(а):

не сходимость ли по норме(операторной) я сейчас доказал?

Не доказали. Скалярное произведение $(A,A_n)$ для операторов здесь не определено и имеет смысл только если иксы поставить.

[Spook]

Итак, окончательный вариант:
${||A_nx||}^2=(A_nx,A_nx)=(x,A^2_nx)\to (x,A^2x)={||Ax||}^2$.
Кроме того,
$||A_nx-A||^2=||A_nx||^2+||Ax||^2-(A_nx,Ax)-(Ax,A_nx)$.
В силу слабой сходимости: $(Ax,A_nx)\to (Ax,Ax)=||Ax||^2,$ и также $(A_nx,Ax)\to ||Ax||^2$. Следовательно, $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||A_nx-Ax||^2=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||A_nx||^2-||Ax||^2=0$ Что означает равномерную сходимость(по норме).