Симметрия отражения пространства. ФЛФ вып. 4 гл. 52

[Uchitel'_istorii]

Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, вып. 4 (djvu), лекция 52, §§ 4--7 (стр. 243--254 gif), ПО для просмотра djvu/pdf

(Оффтоп)

http://foto.meta.ua/allsize/9044057/orig/

Почему Фейнман в отраженном мире использует правило правого винта, а не левого (фиг. 52.3, стр. 248). И почему и результат векторного произведения , и само векторное произведение меняют знак в отраженном мире? Это противоречит первому утверждению.

Лекция похожа на вводную, нет четкой формализации зеркальной симметрии. В начале § 4 Фейнман приводит пример с нормальными часами и зеркально сконструированными часами. Но часы будут работать, если 2-й з-н Ньютона не меняется. Насколько понимаю, отражение для полярных векторов -- это изменение знака одной или нескольких координат. Т.е. если, напр., поменять во всех векторах знак координаты $y$ , то уравнения движения не изменятся. Этого достаточно?

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1209179 писал(а):

Почему Фейнман в отраженном мире использует правило правого винта, а не левого (фиг. 52.3, стр. 248).

Потому что если левый винт отразить в зеркале, то получится правый винт :-)

Uchitel'_istorii в сообщении #1209179 писал(а):

И почему и результат векторного произведения , и само векторное произведение меняют знак в отраженном мире?

Потому что само векторное произведение вычисляется через правило правого винта, а правый должен замениться на левый. Это приводит к изменению знака. И вычисление результата тоже должно получить другой знак.

Uchitel'_istorii в сообщении #1209179 писал(а):

Насколько понимаю, отражение для полярных векторов -- это изменение знака одной или нескольких координат.

Нет, только одной. (Ещё можно изменить знак у трёх координат, это то же самое, что изменить у одной координаты, плюс совершить поворот на 180°.)

Uchitel'_istorii в сообщении #1209179 писал(а):

Т.е. если, напр., поменять во всех векторах знак координаты $y$ , то уравнения движения не изменятся. Этого достаточно?

Этого достаточно в механике. Потому что в механике можно не использовать вообще векторного произведения.
А там, где есть векторное произведение, к нему везде надо приписать знак "−".

[Uchitel'_istorii]

Munin в сообщении #1209194 писал(а):

Потому что если левый винт отразить в зеркале, то получится правый винт

Согласен. Но ведь Фейнман использует одно и то же правило для левого и правого миров. Напр. на фиг. 52.3 почему вектор $\omega$ направлен в одну и ту же сторону? На стр. 248 Фейнман пишет: "Условимся теперь представлять зеркальное враще- ние с помощью того же самого правила."

Цитата:

Потому что само векторное произведение вычисляется через правило правого винта, а правый должен замениться на левый. Это приводит к изменению знака. И вычисление результата тоже должно получить другой знак.

Направление вектора - результата векторного произведения определяется правилом правого (или левого) винта. Поэтому если в зеркальном мире правый винт меняется на левый, и правило правого винта меняется на правлило левого винта (с чем я согласен), то вектор - результат должен поменять направление (т.е. знак). Само же векторное произведение не вижу, почему должно поменять знак. Чтоб уравнение осталось верным?

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1209219 писал(а):

Само же векторное произведение не вижу, почему должно поменять знак. Чтоб уравнение осталось верным?

Да, конечно! Наша изначальная цель - сохранить уравнения. Иначе нам придётся для зеркального мира писать все уравнения заново.

Допустим, возьмём такое уравнение: $\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.$ Это уравнение верно в нашем мире. А в зеркальном? Мы должны отразить векторы, например, взять у них проекцию на ось $x$ с обратным знаком. Получится $\mathbf{v}'=\boldsymbol{\omega}'\times\mathbf{r}'$... ? Нет, не получится. Нарушится правило векторного произведения.

Поэтому мы должны исправить само уравнение. Мы можем сделать это двумя способами: или просто посчитать, сколько будет $\boldsymbol{\omega}'\times\mathbf{r}'.$ Оказывается, этот вектор поменяет направление на противоположное. Тогда мы должны внести в уравнение знак минус:

$\mathbf{v}'=-\boldsymbol{\omega}'\times\mathbf{r}'.$

Или мы можем сказать "в зеркальном мире мы вычисляем векторное произведение по другому правилу". И тогда мы должны изменить и саму операцию. И получится что-то вроде

$\mathbf{v}'=\boldsymbol{\omega}'\mathbin{\times'}\mathbf{r}'.$

Тогда мы говорим "новое векторное произведение должно вычисляться не по правилу правого винта, а по правилу левого винта".

[se-sss]

Очень интересно в этом фрагменте вводится понятие аксиального вектора.
Оно связывается с зеркалированием просессов. По сути речь идёт о паре векторов, соответствующей друг другу (рис 52.3).

То, как обычно вводится это понятие (например в википедии на примере векторного произведения), у меня вызывает категорическое отторжение.
Они почему-то заявляют, что результат векторного произведения зависит от системы координат (правая-левая ортонормированная).
Но вектор-то не зависит от системы координат.

[arseniiv]

Просто аксиальный вектор — это вектор не из того же пространства, что обычные. На него действие преобразований этого пространства надо распространять отдельно, потому что по умолчанию линейные операторы над одним пространством с операторами над другим никак не связаны. Проще всего определить псевдовектор как $(n-1)$-вектор — элемент внешней степени $\Lambda^{n-1}(V)$, где $n = \dim V$ и $V$ — линейное пространство «нормальных» векторов. Для любого линейного оператора $A\colon V\to V$ существуют его внешние степени $\wedge^k A\colon\lambda^k(V)\to\lambda^k(V)$ (для определений см. напр. т. 2 «Линейная алгебра» Введения в алгебру Кострикина, задачи после параграфа о внешней алгебре главы «Тензоры»).

[Munin]

arseniiv
Я так понимаю, если из преобразований пространства исключить несохраняющие ориентацию, то результат векторного произведения можно считать законным вектором?

[Metford]

На этот счёт можно, кстати, прочитать у Хамермеша в книге по теории групп. Векторное произведение двух "обычных" (полярных) векторов не является вектором по отношению к группе $O(3)$, но является вектором по отношению к $SO(3)$.

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii

(На школьно-наглядном уровне различие между полярным (т.е. обычным) и аксиальным (т.е. псевдо) вектором можно очень просто пояснить)

1). Примем наглядное определение обычного вектора $\vec{v}:$ это направленный отрезок прямой линии между двумя точками; например, $\vec{v}=\overrightarrow{P_1P_2}.$

Тогда отражение обычного вектора в любой заданной плоскости наглядно тоже легко определяется: нарисуем по обычным правилам отражения в плоскости (опусканием перпендикуляров из точек на плоскость и т.д.) новую пару точек, $P'_1$ и $P'_2$, и соединим их отрезком $\vec{v'}=\overrightarrow{P'_1P'_2}.$ Никакого "зеркального мира" здесь не надо придумывать; это просто линейная операция, которой мы из вектора $\vec{v}$ получаем другой вектор $\vec{v'}$ в том же самом нашем родном трёхмерном мире.

2) Наглядное определение псевдовектора $\vec{a}$ чуть более многословное: это отрезок воображаемой "оси вращения чего-нибудь", колеса например. Причём, направление псевдовектора условились выбирать по специальному правилу (но я не помню его точное название - правило буравчика, или штопора, или правой руки, или задней ноги, или ещё как-то в том же духе); вот само правило: направление аксиального вектора $\vec{a}$ мы выбираем так, чтобы глядя с его острия мы видели бы вращение против часовой стрелки.

Вместо "вращения колеса", можно рассматривать виток, петельку, замкнутый контур, окружность и т.п., но обязательно с заданным направлением обхода. Например, проведём перпендикуляр к элементу площади на какой-нибудь поверхности, и выберем направление $\vec{a}$ на этом перпендикуляре так, чтобы глядя с острия мы видели бы, что граница элемента площади обходится против часовой стрелки.

Тогда отражение аксиального вектора в любой заданной плоскости тоже легко определяется наглядно: мы сначала отражаем обычным образом сам виток, а затем рисуем отрезок $\vec{a'}$ перпендикуляра к получившемуся отражённому витку. Здесь тоже не надо придумывать никакого "зеркального мира". Для ясности можно разбить исходный виток на маленькие отрезки точками $p_1,$ $p_2,$ ... $p_n,$ пронумерованными в направлении обхода витка. Виток будет выглядеть составленным из обычных векторков: $\overrightarrow{p_1p_2},$ $\overrightarrow{p_2p_3},$ ... $\overrightarrow{p_np_1}.$ Мы их отражаем в плоскости по обычному правилу отражения полярных векторов (см. пункт 1), и тем самым возникает новый виток - составленный из получившихся $\overrightarrow{p'_1p'_2},$ $\overrightarrow{p'_2p'_3},$ ... $\overrightarrow{p'_np'_1},$ с автоматически получившимся направлением обхода: в порядке нумерации точек. Направление $\vec{a'}$ выбираем так, чтобы с его острия обход выглядел обходом против часовой стрелки, т.е. не выдумываем новых правил для отражённых объектов.

3) А теперь выполните интересные эксперименты:

Возьмите какую-нибудь пару точек $P_1,$ $P_2$ и такой виток, чтобы соответствующие полярный вектор $\vec{v}=\overrightarrow{P_1P_2}$ и аксиальный вектор $\vec{a}$ оказались параллельными друг другу, сонаправленными. Отразите их (каждый по своему правилу, см. выше) в перпендикулярной к ним плоскости. Что вышло? Вышло, что... они отразились по-разному: $\vec{v'}$ направлен противополжно исходному вектору, т.е. направлен как $-\vec{v},$ но $\vec{a'}$ направлен в прежнюю сторону, как $\vec{a}.$

Повторим опыт, но теперь отразим оба вектора в параллельной им плоскости. Что вышло? Вышло, что теперь всё наоборот: направление полярного вектора не изменилось, а направление аксиального вектора стало противоположным. И главное: они опять отразились по разному.

Ладно, тогда возьмём произвольную плоскость отражения - под произвольным углом к нашим векторам $\vec{v}$ и $\vec{a}.$ Не поленившись всё хорошенько начертить, увидим, что теперь при отражении изменились направления обоих векторов, но, опять-таки, по-разному. Будучи до отражения сонаправленными, аксиальный и полярный векторы после любого отражения становятся противоположно направленными.

Вот в этом экспериментальном факте и состоит основное различие между аксиальным и полярным векторами - они по-разному ведут себя при отражениях: аксиальный вектор при отражении приобретает дополнительный минус по сравнению с тем, как изменяется так же направленный полярный вектор.

Не поленившись выполнить аналогичные эксперименты с поворотами пары точек и витка вокруг всяких разных осей, увидим, что при поворотах полярный и аксиальный векторы преобразуются одинаково. Так что, если в игре нет отражений, то можно вообще не упоминать о различии между векторами и псевдовекторами.

Это пока половина всей истории. Во второй половине речь должна идти о том, как с помощью простого языка формул избавиться от утомительного рисования картинок. И да, конечно же, всё это есть в лекциях Фейнмана; надо только их воспринимать не как перечень отточенных формулировок, а скорее как хороший обзор взаимосвязанных сюжетов для обдумывания и дальнейшего изучения с более сложной литературой.

[Uchitel'_istorii]

Munin в сообщении #1209225 писал(а):

Получится $\mathbf{v}'=\boldsymbol{\omega}'\times\mathbf{r}'$... ?

-- Неизвестно, т.к. неясно, как преобразуются аксиальные векторы. Если отражаются по показанному на фиг. 52.3 правилу, то вектор $\mathbf{v'}$ оказывается отраженным правильно.
Возьмем пример из §5 $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$: png.
На рисунке слева -- векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{p}$ для частицы какого-то устройства. Справа зеркально сконструированное устройство в том же мире. Мы придумали нотацию $r_x p_y - r_y p_x = (r\times p)_z$. Оказалось, что полученные три числа $(r\times p)_z ,\, (r\times p)_x ,\, (r\times p)_y $ удовлетворяют преобразованию поворота осей (гл.11 §5, гл. 20 §1). Значит можно назвать это вектором $\mathbf{(r\times p)} $. Угловой момент в трех плоскостях вычисляется той же формулой, поэтому угловой момент искусственно можно назвать вектором. По этой нотации получается: $\mathbf{(r' \times p')} = - \mathbf{(r\times p)} = -\mathbf{L}$. Теперь мы говорим: пусть $\mathbf{L'} = -\mathbf{L}$ , а значит $\mathbf{L'} = - \mathbf{(r\times p)} = \mathbf{r' \times p'} $.
Так а где доказательство, что симметрия уравнений соблюдается? "Пусть теорема доказана" -- это ж не доказательство.

[madschumacher]

Uchitel'_istorii в сообщении #1209616 писал(а):

Неизвестно, т.к. неясно, как преобразуются аксиальные векторы.

Вы же понимаете, что это можно вычислить в явном виде, исходя из того, как преобразуются вектора {\omega}$ и $\mathbf{r}$? Сделать это можно, например, двумя простыми, но нудными способами:
1. расписать векторное произведение через тензор Леви-Чивиты, преобразовать его компоненты, и узнать куда он переходит;
2. тупо расписать действие преобразования на $\bm{\omega}$ и $\bm{r}$, а после вычислить результат векторного перемножения этих векторов.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1209616 писал(а):

-- Неизвестно, т.к. неясно

Это была фигура речи. "Будет ли это так? Нет, не будет." То есть, я показал, что простейшая наивная идея не работает.

Никаких "неизвестно" тут нет. Всё ясно.

Uchitel'_istorii в сообщении #1209616 писал(а):

Так а где доказательство, что симметрия уравнений соблюдается? "Пусть теорема доказана" -- это ж не доказательство.

Что значит, "где доказательство"? Вы сами написали, что $\mathbf{L}'=\mathbf{r}'\times\mathbf{p}'.$ Это и есть "отражённое уравнение", и вы доказали, что оно соблюдается.

Непонятно, чего вы хотите. Объясните подробнее, в чём сейчас ваши затруднения.

[Cos(x-pi/2)]

Влезу c пояснением ещё раз (хоть и не уверен в успешном прочтении топикстатртером моего предыдущего пояснения :-).

(Возможно, топикстартер вот что хотел бы услышать:)

В физике не "доказывается теорема", а делается предположение (гипотеза) и ведётся проверка экспериментами; при этом форму записи уравнений физических законов мы стараемся выбрать такую, чтобы она выражала собой проверенное опытами предположение.

Конкретный пример: опыты подтвердили гипотезу о том, что в механике и в электродинамике всякое явление оказывается равноправным (равновероятным или реализуемым) с другим явлением, которое можно представить себе в виде зеркального отражения первого. Как этот факт выразить в уравнениях?

Очень просто. Уравнения в механике и в электродинамике мы обычно записываем с помощью векторов (в более общем случае - с помощью тензоров разных рангов, включая тензоры нулевого ранга, т.е. скаляры; вектор это тензор первого ранга). Их поведение при отражении (и при поворотах тоже) чётко определено, причём, есть два типа векторов: полярные и аксиальные, или, другими словами, "истинные" и "псевдо". Поэтому в уравнении физики с векторами все слагаемые должны быть векторами одного и того же типа (в общем случае - тензорами одного и того же ранга и типа). Тогда при отражении все слагаемые в уравнении преобразуются по одному и тому же правилу, и, следовательно, уравнение сохраняет свою форму. Такой сохранностью формы уравнения и выражена симметрия явлений к отражению.

Пример уравнения, из нерелятивистской механики:

$\dfrac{d \mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}.$

Здесь время $t$ - истинный скаляр (т.е. не псевдоскаляр: $t'=t$ при отражении), импульс $\mathbf{p}$ - полярный вектор (потому что он выражается через скорость - полярный вектор, и массу - истинный скаляр), поэтому $d \mathbf{p} / dt$ - тоже полярный вектор. И, следовательно, вектор силы $\mathbf{F}$ обязан быть полярным вектором, а не аксиальным. Именно тогда обе части уравнения преобразуются по одному и тому же правилу, так что уравнение после отражения сохраняет свою форму:

$\dfrac{d \mathbf{p'}}{dt'}=\mathbf{F'}.$

Вот пара простых примеров того, как реализуется векторность $\mathbf{F}.$ В механике потенциальная энергия частицы $U(\mathbf{r})$ - истинный скаляр (скалярное поле). Легко математически доказать, что градиент скалярного поля - полярный вектор (точнее, векторное поле). А вектор силы, действующей на частицу, в этом примере как раз и определяется как градиент скаляра: $\mathbf{F}=-\nabla U.$ Всё хорошо.

Второй пример: допустим, на частицу с электрическим зарядом $q$ (это скаляр: $q'=q$ при отражении) действует электрическое поле $\mathbf{E}$ и магнитное поле $\mathbf{B}.$ Тогда $\mathbf{F} = q\mathbf{E}+(q/c)[\mathbf{v \times B}].$ Замечаем, что: $\mathbf{E}$ - полярный вектор, вектор скорости частицы $\mathbf{v}=d \mathbf{r} / dt$ - полярный вектор, $\mathbf{B}$ - аксиальный вектор, а векторное произведение полярного и аксиального векторов - полярный вектор. Поэтому $\mathbf{F}$ оказывается, как и должно быть, полярным вектором. Опять всё хорошо.

Ещё пример: момент импульса вращающегося маховика $\mathbf{L}$ - аксиальный вектор. Каким может быть уравнение для скорости его изменения со временем? Те же соображения подсказывают нам простейший возможный вариант:

$\dfrac{d \mathbf{L}}{dt}=\mathbf{K},$

где $\mathbf{K}$ обязательно должен быть аксиальным вектором, чтобы всё было хорошо. ($\mathbf{K}$ называют "моментом сил".)

Теперь пример (очень упрощённый) из физики элементарных частиц. Энергия частицы $E$ - скаляр, константа $c$ ("скорость света") - скаляр, импульс частицы $\mathbf{p}$ - полярный вектор. Пусть вектор $\mathbf{s},$ имеющий безразмерную величину, связан со спином частицы (т.е. с её собственным моментом импульса) и поэтому является псевдовектором. Задача: можно ли из этих векторов составить линейное по ним выражение для энергии $E?$

Замечаем, что $c \mathbf{p}$ имеет размерность энергии, но это вектор. Тогда возьмём скалярное произведение $\mathbf{p} \cdot \mathbf{s},$ при этом появляется возможность написать два разных уравнения ("уравнения Вейля", говоря очень упрощённо): $E= c \mathbf{p} \cdot \mathbf{s} $ или $E= -c \mathbf{p} \cdot \mathbf{s}. $ Хорошо?

Нехорошо, если предполагать, что в физике таких частиц есть симметрия к зеркальному отражению, и требовать, чтобы каждое из двух упомянутых уравнений имело смысл само по себе. Нехорошо потому, что $E$ - истинный скаляр (не меняется при отражении), а $\mathbf{p} \cdot \mathbf{s}$ - псевдоскаляр, т.е. эта величина меняет свой знак при отражении: $\mathbf{p'} \cdot \mathbf{s'}=-\mathbf{p} \cdot \mathbf{s}.$ Так что, при отражении эти уравнения не сохраняют свою форму, они переходят друг в друга.

В теории Дирака оба уравнения некоторым образом объединяются в единую систему уравнений, так что при отражении система уравнений в целом сохраняет свою форму и оказывается пригодной для физики частиц с зеркальной симметрией. А "уравнения Вейля" были физиками отброшены... до тех пор, пока не обнаружились процессы слабого взаимодействия, в которых зеркальная симметрия нарушается!

P.S.
На практике в задачах для различения полярных и аксиальных векторов бывает удобнее рассматривать не отражение, а так называемую пространственную инверсию: это отражение в произвольной плоскости с последующим (или предшествующим, не важно) поворотом на угол $\pi$ вокруг оси, препендикулярной к плоскости отражения.

Дело в том, что результат одного только отражения не универсален, он зависит от направления векторов относительно выбранной плоскости отражения; не конкретизируя плоскость отражения, можно лишь сказать, что аксиальный вектор приобретает дополнительный знак минус по сравнению с тем, как преобразуется при том же отражении полярный вектор с тем же исходным направлением.

При инверсии же, как легко убедиться, преобразование векторов совсем простое: полярный вектор меняет свой знак, а аксиальный вектор не изменяется.

[Uchitel'_istorii]

madschumacher в сообщении #1209625 писал(а):

Вы же понимаете, что это можно вычислить в явном виде, исходя из того, как преобразуются вектора {\omega}$ и $\mathbf{r}$?

Мы не можем вычислить в явном виде \boldsymbol{\omega'}\times\mathbf{r'}$, т.к. $\boldsymbol{\omega}$ -- аксиальный вектор,-- и мы не знаем, как такие векторы преобразуются. Мы можем вычислить в явном виде только $\mathbf{r'} \times \mathbf{v'} $. Но не факт, что полученный вектор -- это отраженный $\mathbf{r} \times \mathbf{v} $, т.е. $(\mathbf{r} \times \mathbf{v} )'$, -- поскольку мы не знаем, как должен выглядеть отраженный.
Мне непонятно, как доказать симметрию. Мы знаем преобразование для полярных векторов:
$\text{Reflection rule:}$
$r_{x'} = - r_x;\,\, F_{x'} = - F_x$
$r_{y'} = \,\,\,\,\,r_y;\,\, F_{y'} = \,\,\,\,\,F_y$
$r_{z'} = \,\,\,\,\,r_z;\,\, F_{z'} = \,\,\,\,\,F_z$
Для механики мы знаем , что $m\tfrac{d^2}{dt^2}\mathbf{r} = \mathbf{F}$ -- верно, и надо доказать, что $m\tfrac{d^2}{dt^2}\mathbf{r'} = \mathbf{F'}$ верно. Это легко сделать, подставляя величины из преобразования. Но для векторного произведения всё , что мы имеем, -- это даже не уравнение $r_x p_y - r_y p_x = (r\times p)_z$, а выражение $r_x p_y - r_y p_x$, поскольку правую часть мы выдумали и доказывать через неё нельзя. Правило правого винта мы не можем использовать, потому что оно также выдумано на основании выражения $r_x p_y - r_y p_x$. Т.е. надо доказать $(r_x p_y - r_y p_x)' = (r_{x'} p_{y'} - r_{y'} p_{x'})$, и в правую сторону мы сможем подставить преобразование, но проверить, соответствует ли это левой стороне, невозможно. Ну и отсюда неясно, почему променяв знаки аксиального вектора и векторного произведения, он доказал симметрию, да еще обосновывая замену знака векторного произведения правилом левого винта (а замену знака аксиального вектора -- вообще ничем не обосновывая).
Да, мы можем выдумать для $r_x p_y - r_y p_x$ букву или набор букв, и тогда мы получим $r_{x'} p_{y'} - r_{y'} p_{x'} = - (r\times p)_z $. И тут мы говорим "Так это и есть отраженный $(r\times p)_z$". Это, извините, не доказательство.

[madschumacher]

Uchitel'_istorii в сообщении #1209727 писал(а):

Мы не можем вычислить в явном виде \boldsymbol{\omega'}\times\mathbf{r'}$, т.к. $\boldsymbol{\omega}$ -- аксиальный вектор,-- и мы не знаем, как такие векторы преобразуются. Мы можем вычислить в явном виде только $\mathbf{r'} \times \mathbf{v'} $. Но не факт, что полученный вектор -- это отраженный $\mathbf{r} \times \mathbf{v} $, т.е. $(\mathbf{r} \times \mathbf{v} )'$, -- поскольку мы не знаем, как должен выглядеть отраженный.

Я что-то упустил, что под $\bm{\omega}$ имелся в виду аксиальный вектор. Извините...
Я имел в виду следующее:

• мы знаем как преобразуются вектора при действии на них симметрии;
• мы можем представить псевдовектор $\mathbf{c}$ как векторное произведение некоторых векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ ($\mathbf{c} = [\mathbf{a} \times \mathbf{b}]$),
• следовательно, поскольку при применении некоторой операции симметрии
  
  • $\mathbf{a} \rightarrow \mathbf{a}'$,
  • $\mathbf{b} \rightarrow \mathbf{b}'$,
    
  то $\mathbf{c} \rightarrow \mathbf{c'} = [\mathbf{a}' \times \mathbf{b}']$, и вот это вот можно вычислить в явном виде, и в результате мы получим закон преобразования псевдовекторов $\mathbf{c} \rightarrow \mathbf{c'}$ под действием операции симметрии.

(НАРУШЕНИЕ ПРАВИЛ ФОРУМА)

Поскольку у Вас как-то муторно всё записано, поясню это для операции отражения (обозначения в соответствии с введёнными в данном сообщении выше).

Пусть для обычных векторов:
$\underbrace{\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}}_\mathbf{a} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} a_x' \\ a_y' \\ a_z' \end{pmatrix}}_{\mathbf{a}'} = \begin{pmatrix} -a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} $
и
$\underbrace{\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}}_\mathbf{b} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} b_x' \\ b_y' \\ b_z' \end{pmatrix}}_{\mathbf{b}'} = \begin{pmatrix} -b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} $,
тогда, поскольку
$\mathbf{c}=[\mathbf{a} \times \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} $, то
$\mathbf{c}'=[\mathbf{a}' \times \mathbf{b}'] = \begin{pmatrix} a_y' b_z' - a_z' b_y' \\ a_z' b_x' - a_x' b_z' \\ a_x' b_y' - a_y' b_x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ -(a_z b_x - a_x b_z) \\ -(a_x b_y - a_y b_x) \end{pmatrix} $
т.е., если преобразование обычных векторов при отражении в плоскости $\mathbf{y}0\mathbf{z}$ происходит как
$ \mathbf{a}' = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{a} $, то для псевдовекторов закон этот имеет вид:
$ \mathbf{c}' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \mathbf{c} $.